11 Exercices - Nombres entiers. Arithmétique.nb

 . Arithmétique.
1) Démontrer que "nœ
*
,S
k
=
1
n
1
k
H
k+
1
L
H
k+
2
L
=
n
H
n+3
L
4
H
n+
1
L
H
n+
2
L
.
2) Soit
H
u
n
L
la suite définie par: u
0
=2, u
1
=3 et "nœ,u
n+
2
=3u
n+
1
-2u
n
.
Calculer les premiers termes de cette suite puis l’expression de u
n
en fonction de n.
3) Calculer le terme général de la suite
H
u
n
L
définie par u
0
=1 et "nœ,u
n+1
= S
k
=
0
n
u
k
.
4) Montrer que pour tout entier
n
, n
H
n+1
L
H
2n+1
L
est divisible par 6 .
5) Prouver que "nœ, 3
2
n
+
1
+2
n
+
2
est divisible par 7.
6) Prouver que "nœ, 25
n
+2
3
n
+
4
est divisible par 17.
7) Prouver que 2
10
ª1
@
11
D
et que 3
5
ª1
@
11
D
et en déduire que
A
=2
123
+3
121
est divisible par 11.
8) a) Montrer qu'un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
b) En s’inspirant du a), trouver un critère de divisibilité par 11.
9) Soit u
n
= S
k
=
1
n
k
2
k!. Trouver les entiers
n
pour lesquels u
n
n'est pas divisible par 9.
10) Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.
11) Montrer que pour tout entier
n
, 30 divise n
5
-n .
12) Prouver que 4 n
3
+6n
2
+4n+1 n’est jamais premier pour nœ
*
.
13) Prouver par récurrence forte que tout entier nr2 peut s’écrire comme un produit de nombre premiers
15) On pose M
n
=2
n
-1 (Nombre de Mersenne) . Prouver que
M
n
premier fl
n
est premier mais que la réciproque est fausse.
16)a) Montrer que "nr2, n
4
+4 n'est pas un nombre premier.
b) Montrer que "nr2, n
4
+4
n
n’est pas un nombre premier.
17) Soient a,nœ avec ar2 et nr2. On pose
A
=a
n
-1.
a) Prouver que si ar3 alors
A
n’est pas un nombre premier.
b) Prouver que si a=2 et
n
n’est pas premier alors
A
n’est pas un nombre premier.
c) Prouver que si a=2 et
n
est premier alors
A
peut être un nombre premier ou non.
18) Trouver un intervalle de 100 nombres consécutifs non premiers. (Penser aux factorielles)
19) Soient ar2 , nr1 deux entiers tels que
A
=a
n
+1 soit un nombre premier. Montrer que
n
est une puissance de 2.
20) Résoudre dans  l'équation
x
3
-y
3
=999 . (Limiter le nombre de valeurs possibles)
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