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Exercice 7.
Soient pun nombre premier et soit kun entier compris entre 1 et (p−1). Montrer que pdivise p
k. En déduire le
petit théorème de Fermat : si pest un nombre premier et un entier n∈, alors np≡n[p].
Exercice 8.
Soient a,b∈∗premiers entre eux tels que ab est un carré parfait. Montrer que aet bsont des carrés parfaits.
Exercice 9.
Montrer que n7≡n[42] pour tout n∈.
Exercice 10.
Soit Mn=2n−1 le n-ième nombre de Mersenne.
a. Montrer que si Mnest premier, alors nest premier.
b. Vérifier que M11 n’est pas premier.
Exercice 11.
Quel est le dernier chiffre de 7777777
?
Exercice 12.
Montrer que pour tout n∈, 32n+1+2n+2est divisible par 7.
Exercice 13.
Déterminer, pour n∈∗, le reste de la division euclidienne de 210n−7+35n−2par 11.
Exercice 14.
Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.
Exercice 15.
Montrer (sans calculatrice !) que 232 +1 est divisible par 641.
Exercice 16.
Montrer qu’un entier est divisible par :
•2 si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
•3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
•4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
•5 si et seulement s’il se termine par 0 ou 5.
•6 si et seulement s’il est divisible à la fois par 2 et par 3.
•7 si et seulement si le nombre de dizaines moins le double du chiffre des unités est divisible par 7.
•8 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
•9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
•10 si et seulement si son chiffre des unités est 0.
•11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
•12 si et seulement s’il est divisible par 3 et par 4.
•13 si et seulement si la somme du nombre de dizaines et du quadruple du chiffre des unités est divisible par 13.
Exercice 17.
Soient n∈N∗,k∈et d=k∧n.
a. Déterminer l’ordre de kdans /n.
b. Montrer que ¯
ket ¯
dengendrent le même sous-groupe de /n.
c. Quels sont tous les sous-groupes de /n?
Exercice 18.
Montrer qu’un entier strictement positif pest premier si et seulement s’il divise (p−1)!+1 (théorème de Wilson).