Arithm´etique

FMMA143 - Compl´ ements d’alg` ebre 2010-2011
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Arithm´ etique
Terminologie :
Divisibilité dans . Division euclidienne. PGCD, nombres premiers entre eux. PPCM. Nombre premiers, dé-
composition en facteurs premiers. Congruences, anneau /n .
Propriétés de base à connaître :
1. Les sous-groupes (additifs) de sont les noù n∈.
2. Théorème de Bézout.
3. Algorithme d’Euclide (calcul du PGCD).
4. Lemme de Gauss.
5. Relation entre PGCD, PPCM et produit.
6. Les idéaux de sont les noù n∈.
7. Caractérisation des éléments inversibles de /n.
8./nest un corps si et seulement si nest premier.
9. Théoreme d’Euler et petit théorème de Fermat.
10. Lemme chinois.
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Exercice 1.
Montrer qu’il existe un nombre de la forme 111111···111 (un rep-unit) divisible par 2009.
Exercice 2. (Ordinateur télépathe)
Expliquer ce qui se passe quand on va sur : http://www.k-netweb.net/projects/mindreader/
Exercice 3.
Soient d,m∈∗.
a. Donner une condition nécessaire et suffisante sur det mpour qu’il existe (a,b)∈2tels que a∧b=det
a∨b=m.
b. Résoudre ce problème pour d=50 et m=600.
Exercice 4.
Déterminer les couples d’entiers (x,y)∈2tels que x∨y+11(x∧y)=203.
Exercice 5.
Soient a,b,c∈, avec aet bnon nuls. Soit l’équation d’inconnues xet y:
(E) : ax +by =c,
dont on cherche à déterminer l’ensemble SEdes solutions entières.
a. Montrer que SE,∅si et seulement si a∧bdivise c.
b. Supposons SE,∅. Soit (x0,y0) est une solution particulière (quelconque) de (E). Montrer que :
SE=nx0+kb
a∧b,y0−ka a∧bk∈o.
Exercice 6.
Déterminer les solutions entières des équations suivantes :
a. 2520x−3960y=6480.
b. 20x+53y=3.

Exercice 7.
Soient pun nombre premier et soit kun entier compris entre 1 et (p−1). Montrer que pdivise p
k. En déduire le
petit théorème de Fermat : si pest un nombre premier et un entier n∈, alors np≡n[p].
Exercice 8.
Soient a,b∈∗premiers entre eux tels que ab est un carré parfait. Montrer que aet bsont des carrés parfaits.
Exercice 9.
Montrer que n7≡n[42] pour tout n∈.
Exercice 10.
Soit Mn=2n−1 le n-ième nombre de Mersenne.
a. Montrer que si Mnest premier, alors nest premier.
b. Vérifier que M11 n’est pas premier.
Exercice 11.
Quel est le dernier chiffre de 7777777 ?
Exercice 12.
Montrer que pour tout n∈, 32n+1+2n+2est divisible par 7.
Exercice 13.
Déterminer, pour n∈∗, le reste de la division euclidienne de 210n−7+35n−2par 11.
Exercice 14.
Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.
Exercice 15.
Montrer (sans calculatrice !) que 232 +1 est divisible par 641.
Exercice 16.
Montrer qu’un entier est divisible par :
•2 si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
•3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
•4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
•5 si et seulement s’il se termine par 0 ou 5.
•6 si et seulement s’il est divisible à la fois par 2 et par 3.
•7 si et seulement si le nombre de dizaines moins le double du chiffre des unités est divisible par 7.
•8 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
•9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
•10 si et seulement si son chiffre des unités est 0.
•11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
•12 si et seulement s’il est divisible par 3 et par 4.
•13 si et seulement si la somme du nombre de dizaines et du quadruple du chiffre des unités est divisible par 13.
Exercice 17.
Soient n∈N∗,k∈et d=k∧n.
a. Déterminer l’ordre de kdans /n.
b. Montrer que ¯ ket ¯ dengendrent le même sous-groupe de /n.
c. Quels sont tous les sous-groupes de /n?
Exercice 18.
Montrer qu’un entier strictement positif pest premier si et seulement s’il divise (p−1)!+1 (théorème de Wilson).

Exercice 19.
Déterminer l’inverse de 49 dans /72 .
Exercice 20.
Résoudre dans l’équation 7x≡2 [9].
Exercice 21.
Soient m,n∈∗et a,b∈.
a. Montrer que le système :
(Σ)(x≡a[m]
x≡b[n]
possède des solutions si et seulement si m∧ndivise a−b. (Indication : Vérifiez que si u0,v0∈sont tels que
mu0+nv0=a−b, alors x0=a−mu0=b+nv0est solution de (Σ)).
b. Montrer que si x0est une solution de (Σ), alors (Σ) équivaut à l’équation : x≡x0[mn/(m∧n)].
d. En déduire une méthode pour résoudre (Σ).
Exercice 22.
Résoudre dans les systèmes suivants :
(x≡ −3 [99]
x≡2 [140] ,(3x≡2 [11] 3x≡4 [7] ,
x≡3 [4]
x≡ −2 [3]
x≡7 [5]
.
Exercice 23.
Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de Npièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager
également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates
sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment; le cuisinier reçoit
alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à
nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut
espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?
Exercice 24. (Indicatrice d’Euler)
Soit n≥1. On note ϕ(n) le nombre d’entiers compris entre 1 et nqui sont premiers avec n:
ϕ(n)=#{1≤k≤n|k∧n=1}.
La fonction ϕ:∗→∗ainsi définie s’appelle la fonction indicatrice d’Euler.
a. Vérifier que ϕ(n) est égal au nombre d’éléments inversibles de /n. En déduire le théorème d’Euler : si
a∈est un entier premier avec n, alors aϕ(n)≡1 [n].
b. Soit pun nombre premier et α≥1. Calculer ϕ(pα). En déduire le petit théorème de Fermat : si pest un
nombre premier et un entier a∈, alors ap≡a[p].
c. Montrer que ϕest multiplicative, c’est à dire : si a,b≥1 sont premiers entre eux, alors ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b).
d. Montrer que si n=pα1
1···pαr
rest la décomposition en nombre premiers de n, alors :
ϕ(n)=
r
Y
i=1
pαi−1
i(pi−1) =nr
Y
i=11−1
pi.
e. Montrer que si d|n, alors ϕ(d) est égal au nombre d’éléments d’ordre dd’un groupe cyclique d’ordre n. En
déduire : n=X
d|n
ϕ(d).