FMMA143 - Compléments d’algèbre 2010-2011 —— Arithmétique Terminologie : Divisibilité dans Z. Division euclidienne. PGCD, nombres premiers entre eux. PPCM. Nombre premiers, décomposition en facteurs premiers. Congruences, anneau Z/nZ. Propriétés de base à connaître : 1. Les sous-groupes (additifs) de Z sont les nZ où n ∈ N. 2. Théorème de Bézout. 3. Algorithme d’Euclide (calcul du PGCD). 4. Lemme de Gauss. 5. Relation entre PGCD, PPCM et produit. 6. Les idéaux de Z sont les nZ où n ∈ N. 7. Caractérisation des éléments inversibles de Z/nZ. 8. Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. 9. Théoreme d’Euler et petit théorème de Fermat. 10. Lemme chinois. ———– Exercice 1. Montrer qu’il existe un nombre de la forme 111111 · · · 111 (un rep-unit) divisible par 2009. Exercice 2. (Ordinateur télépathe) Expliquer ce qui se passe quand on va sur : http://www.k-netweb.net/projects/mindreader/ Exercice 3. Soient d, m ∈ N∗ . a. Donner une condition nécessaire et suffisante sur d et m pour qu’il existe (a, b) ∈ a ∨ b = m. b. Résoudre ce problème pour d = 50 et m = 600. N2 tels que a ∧ b = d et Exercice 4. Déterminer les couples d’entiers (x, y) ∈ N2 tels que x ∨ y + 11(x ∧ y) = 203. Exercice 5. Soient a, b, c ∈ Z, avec a et b non nuls. Soit l’équation d’inconnues x et y : (E) : ax + by = c, dont on cherche à déterminer l’ensemble SE des solutions entières. a. Montrer que SE , ∅ si et seulement si a ∧ b divise c. b. Supposons SE , ∅. Soit (x0 , y0 ) est une solution particulière (quelconque) de (E). Montrer que : o n b a SE = x0 + k , y0 − k k∈Z . a∧b a∧b Exercice 6. Déterminer les solutions entières des équations suivantes : a. 2520x − 3960y = 6480. b. 20x + 53y = 3. Exercice 7. Soient p un nombre premier et soit k un entier compris entre 1 et (p − 1). Montrer que p divise kp . En déduire le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier et un entier n ∈ Z, alors n p ≡ n [p]. Exercice 8. Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux tels que ab est un carré parfait. Montrer que a et b sont des carrés parfaits. Exercice 9. Montrer que n7 ≡ n [42] pour tout n ∈ Z. Exercice 10. Soit Mn = 2n − 1 le n-ième nombre de Mersenne. a. Montrer que si Mn est premier, alors n est premier. b. Vérifier que M11 n’est pas premier. 7 Exercice 11. 77 77 7 Quel est le dernier chiffre de 7 ? Exercice 12. Montrer que pour tout n ∈ N, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7. Exercice 13. Déterminer, pour n ∈ N∗ , le reste de la division euclidienne de 210n−7 + 35n−2 par 11. Exercice 14. Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9. Exercice 15. Montrer (sans calculatrice !) que 232 + 1 est divisible par 641. Exercice 16. Montrer qu’un entier est divisible par : • 2 si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. • 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. • 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. • 5 si et seulement s’il se termine par 0 ou 5. • 6 si et seulement s’il est divisible à la fois par 2 et par 3. • 7 si et seulement si le nombre de dizaines moins le double du chiffre des unités est divisible par 7. • 8 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8. • 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. • 10 si et seulement si son chiffre des unités est 0. • 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11. • 12 si et seulement s’il est divisible par 3 et par 4. • 13 si et seulement si la somme du nombre de dizaines et du quadruple du chiffre des unités est divisible par 13. Exercice 17. Soient n ∈ N ∗ , k ∈ Z et d = k ∧ n. a. Déterminer l’ordre de k dans Z/nZ. b. Montrer que k̄ et d̄ engendrent le même sous-groupe de Z/nZ. c. Quels sont tous les sous-groupes de Z/nZ ? Exercice 18. Montrer qu’un entier strictement positif p est premier si et seulement s’il divise (p− 1)!+ 1 (théorème de Wilson). Exercice 19. Déterminer l’inverse de 49 dans Z/72Z. Exercice 20. Résoudre dans Z l’équation 7x ≡ 2 [9]. Exercice 21. Soient m, n ∈ N∗ et a, b ∈ Z. a. Montrer que le système : x ≡ a [m] x ≡ b [n] possède des solutions si et seulement si m ∧ n divise a − b. (Indication : Vérifiez que si u0 , v0 ∈ Z sont tels que mu0 + nv0 = a − b, alors x0 = a − mu0 = b + nv0 est solution de (Σ)). b. Montrer que si x0 est une solution de (Σ), alors (Σ) équivaut à l’équation : x ≡ x0 [mn/(m ∧ n)]. d. En déduire une méthode pour résoudre (Σ). (Σ) ( Exercice 22. Résoudre dans Z les systèmes suivants : ( x ≡ −3 [99] , x≡2 [140] ( 3x ≡ 2 [11] , 3x ≡ 4 [7] x≡3 [4] x ≡ −2 [3] . x≡7 [5] Exercice 23. Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de N pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ? Exercice 24. (Indicatrice d’Euler) Soit n ≥ 1. On note ϕ(n) le nombre d’entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec n : ϕ(n) = # { 1 ≤ k ≤ n | k ∧ n = 1 }. La fonction ϕ : N → N ainsi définie s’appelle la fonction indicatrice d’Euler. a. Vérifier que ϕ(n) est égal au nombre d’éléments inversibles de Z/nZ. En déduire le théorème d’Euler : si a ∈ Z est un entier premier avec n, alors aϕ(n) ≡ 1 [n]. b. Soit p un nombre premier et α ≥ 1. Calculer ϕ(pα ). En déduire le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier et un entier a ∈ Z, alors a p ≡ a [p]. c. Montrer que ϕ est multiplicative, c’est à dire : si a, b ≥ 1 sont premiers entre eux, alors ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). d. Montrer que si n = pα1 1 · · · pαr r est la décomposition en nombre premiers de n, alors : r r Y Y 1 ϕ(n) = pαi i −1 (pi − 1) = n 1− . p i i=1 i=1 ∗ ∗ e. Montrer que si d | n, alors ϕ(d) est égal au nombre d’éléments d’ordre d d’un groupe cyclique d’ordre n. En déduire : X n= ϕ(d). d|n