Chapitre EM 1 : Charge électrique et champ

Chapitre EM1: Charge électrique et champ électrostatique
Sciences Physiques - ATS
I Origine, première loi
1. Charge électrique q
Définition : la charge qd’une particule est une grandeur extensive qui caractérise
les interactions électromagnétiques qu’elle exerce ou qu’elle subit.
Propriétés :
•qpeut être positive ou négative, elle s’exprime en Coulomb : C.
•Quantification : q=ne avec nun entier relatif et ela charge élémentaire e'1,60.10−19 C.
Remarque : la quantification de la charge n’intervient plus à l’échelle macroscopique car la
charge totale d’un corps chargé est en général très supérieure à e: on a continuité de la charge
à l’échelle macroscopique.
•Conservation : la charge d’un système physique fermé se conserve (au cours de tout type de
transformation du système). De même, elle est invariante par changement de référentiel.
2. Loi de Coulomb (1785)
Loi de Coulomb :
M1
q1
M2
q2
~
F2/1
~
F1/2
~u1/2
deux particules ponctuelles M1et M2, de charge respec-
tives q1et q2exercent l’une sur l’autre des forces di-
rectement opposées, dirigées suivant la droite (M1M2),
d’intensité proportionnelle aux charges et inversement
proportionnelle au carré de leur distance.
~
F1/2=1
4πε0
q1q2
−−−−→
M1M2
M1M3
2
=1
4πε0
q1q2
r2~u1/2avec 1 4πε0
= 9.109SI
Remarques :
•~ Fobéit au principe des actions réciproques : ~ F1/2=−~ F2/1et ~ F1/2∧−−−−→ M1M2=~ 0.
•Dans tout autre milieu que le vide, on doit remplacer ε0, la permittivité absolue du vide par
ε=εr.ε0la permittivité du milieu.
εrest la permittivité relative. Pour l’air εr'1,0006 à 20°C⇐⇒ ε'ε0et pour l’eau εr'80
à 20°C→pouvoir dissociant de l’eau : dissolution des cristaux ioniques (sels).
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•On a une analogie forte avec la loi de l’attraction universelle : ~ F1/2=−Gm1m2
r2~u1/2à ceci près
qu’ici, la force peut être attractive (si q1q2<0) ou répulsive (si q1q2>0).
II Champ électrostatique ~ E
1. Notion de champ
Définition : le champ d’une grandeur Gdans un domaine de l’espace Dest l’en-
semble des grandeurs Gaux divers points de D.
Exemples :
•champ scalaire : champ de température T(~r)dans une pièce
•champ vectoriel : champ de gravitation dans le système solaire ~ G(~r)
Remarque : Un champ peut également dépendre du temps : T(~r,t)
2. Champ créé par une charge ponctuelle
y
z
x
P
~
E(M)
M
~eθ
~er
~eϕ
I
r
ϕ
θ
Toute particule Mde charge qMplacée au voisinage de P
de charge qPsubit de la part de cette dernière une force
~
FP→M(qMest la charge d’essai placée au point champ M
et qPest placée au point source P).
~
FP→M=1
4πε0
qMqp
r2~uP→M
avec r=P M e~uP→M=
−−→
P M
r=~erle vecteur radial du
système de coordonnées sphériques (~er,~eθ,~eϕ)en prenant
Pcomme origine.
On peut définir le vecteur ~ E(M)tel que
~
FP→M=qM~
E(M)⇐⇒ ~ E(M) = ~
FP→M
qM
indépendant de qMla charge d’essai.
Définition : ~ E(M)est le vecteur champ électrostatique créé par Pau point M.
~
E(M) = qP
4πε0r2~uP→M
•L’unité de Eest le Volt par mètre V.m−1.
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•Ordre de grandeur :
?maximum admissible dans l’air sec : champ disruptif 106V.m−1.
?subi par l’électron très proche du proton d’un atome d’hydrogène : 1011 V.m−1.
?produit dans des accélérateurs de particules : 35 MV.m−1.
?proche d’une ligne à haute tension : 10 kV.m−1.
?produit par une antenne de téléphone portable : 10 à 30 V.m−1.
•Si qP>0, le champ diverge à partir de Pet si qP<0, le champ converge vers P.
Si qP>0Si qP<0
•Dans tous les cas, son intensité décroît avec la distance et ~ En’est pas défini sur les charges
(r= 0).
3. Champ d’une distribution de charges
3.a. Distributions discrètes : échelle microscopique. D
M
q
Pi
qi
~
Ei
P1
q1
~
E1
P2
q2<0
PN
qN
Soit une distribution Dde charges ponctuelles {P1(q1)...Pi(qi)...PN(qN)}.
La charge totale est Q=PN
i=1 qi.
Principe de superposition : le champ résultant ~ Eexercée par D
au point champ Mest la somme des Nchamps ~ Eiexercées par
chaque charge qiprise seule. En posant PiM=riet ~ui=
−−→
PiM
ri,
Champ créé en Mpar D:par application du principe de superposition,
~
E=
N
X
i=1
~
Ei=
N
X
i=1
qi
4πε0r2
i
~ui
Remarques :
•Ce principe découle directement de la propriété d’additivité des forces : ~ F=q~ E=PN
i=1 ~
Fi=
PN
i=1 q~
Ei=qPN
i=1 ~
Ei.
•Il s’agit d’une somme vectorielle, l’utilisation des symétries permettra de simplifier les calculs.
•~ Ene dépend pas de la charge d’essai, on ne la représente pas en général.
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~
E
z
r
~er
P1
q
P2
q
M
~
E2
~
E1
α
r
O
Exemple : champ créé par deux charges distantes de
2aen un point de la médiatrice.
On pose r=OM,r1=P1M=P2M=r2.
cos α=r
r1et r2
1=a2+r2.
~
E=~ E1+~ E2= 2E1r~er= 2E1cos α~er.
Les composantes de ~ Es’annulent suivant z, on dit que
Erest la "composante utile".
~
E=2q
4πε0r2
1cos α~er=qr
2πε0r3~er=qr
2πε0(a2+r2)3
2
~er
3.b. Distributions continues : échelle mésoscopique, densité de charges.
Une distribution continue est volumique mais peut parfois être modélisée par une distribution surfa-
cique ou linéique.
Distribution Volumique Distribution Surfacique Distribution Linéique
V
M
P
dτ
d~ E
S
M
P
ds
d~ E
C
M
P
d`
d~ E
Soit une région (dτ,ds ou d`) de dimension très inférieure à celle de la distribution et centrée sur P.
Elle contient un nombre dN très grand de charges élémentaires, sa charge est dq.
Définition : Le champ élémentaire créé en Mpar ces charges placées autour de P
est :
d~ E(M) = 1
4πε0
dq
r2~uP→M
En se plaçant à l’échelle mésoscopique on peut définir des grandeurs nivelées comme la densité de
charge (par exemple volumique ρ(P) = dq
dτ en C.m−3).
charge volumique ρ(C.m−3) charge surfacique σ(C.m−2) charge linéique λ(C.m−1)
dq =ρ(P)dτ dq =σ(P)ds dq =λ(P)d`
d~ E(M) = 1
4πε0
ρ(P)dτ
r2~uP→Md~
E(M) = 1
4πε0
σ(P)ds
r2~uP→Md~
E(M) = 1
4πε0
λ(P)d`
r2~uP→M
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3.c. Échelle macroscopique.
Pour obtenir la charge totale Qcontenue dans la distribution Dou le champ total ~ E(M)créé en M,
on intègre dq ou d~ E(M)sur D:Q=Pqi→Q=RDdq
Distribution Volumique Distribution Surfacique Distribution Linéique
Q=ZZZV ρ(P)dτ Q =ZZS σ(P)ds Q =ZL λ(P)d`
~
E=1
4πε0ZZZV
ρ(P)dτ
r2~uP→M~
E=1
4πε0ZZS
σ(P)ds
r2~uP→M~
E=1
4πε0ZL
λ(P)d`
r2~uP→M
Remarques :
•Si la distribution de charges est homogène, alors λ(P),σ(P)ou ρ(P)ne dépend plus du point
Pconsidéré et on peut le sortir de l’intégrale.
Par exemple, si Vest le volume de la distribution. Q=RRRVρ(P)dτ =ρRRRVdτ =ρV .
•Pour calculer une intégrale, on choisira un système de coordonnées adéquat :
Coord. Cartésiennes (x,y,z)Coord. Cylindro-polaires (r,θ,z)Coordonnées Sphériques (r,θ,ϕ)
R
y
z
x
O~ey
~ez
~ex
dy dx
dz
y
z
x
O
r
z
θ
H
rdθ
dz
dr
dθ
y
z
x
O
rsin θdϕ
dr
rdθ
r
ϕ
θ
dϕ
d~r =dx~ex+dy~ey+dz~ezd~r =dr~er+rdθ~eθ+dz~ezd~r =dr~er+r.dθ~eθ+rsin θdϕ~eϕ
ds1=dx.dy ds1=dr.dz ds1=r.rdθ
ds2=dx.dz ds2=dr.rdθ ds2=rsin θdrdϕ
ds3=dy.dz ds3=r.dz.dθ ds3=r2sin θdθdϕ
dτ =dx.dy.dz dτ =dr.r.dθ.dz dτ =dr.r.dθ.r. sin θ.dϕ
Exemple : calcul de la charge contenue dans une sphère de rayon Ret telle que ρ=ρ0constante :
On se place dans le système de coordonnées sphériques :
Q=ZZZV ρ(P)dτ =Zπ
θ=0 Z2π ϕ=0 ZR r=0
ρr2dr sin θdθdϕ =ZR
r=0
4πr2ρ0dr =ρ0
4
3πR3=ρ0V
De même, pour un cercle Q= 2πRλ et pour un disque, Q=σπR2.
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