Chapitre EM 1 : Charge électrique et champ

Chapitre EM1 : Charge électrique et champ électrostatique
Sciences Physiques - ATS
I
Origine, première loi
1.
Charge électrique q
Définition : la charge q d’une particule est une grandeur extensive qui caractérise
les interactions électromagnétiques qu’elle exerce ou qu’elle subit.
Propriétés :
• q peut être positive ou négative, elle s’exprime en Coulomb : C.
• Quantification : q = ne avec n un entier relatif et e la charge élémentaire e ' 1,60.10 −19 C.
Remarque : la quantification de la charge n’intervient plus à l’échelle macroscopique car la
charge totale d’un corps chargé est en général très supérieure à e : on a continuité de la charge
à l’échelle macroscopique.
• Conservation : la charge d’un système physique fermé se conserve (au cours de tout type de
transformation du système). De même, elle est invariante par changement de référentiel.
2.
Loi de Coulomb (1785)
Loi de Coulomb :
deux particules ponctuelles M1 et M2 , de charge respectives q1 et q2 exercent l’une sur l’autre des forces directement opposées, dirigées suivant la droite (M1 M2 ),
d’intensité proportionnelle aux charges et inversement
proportionnelle au carré de leur distance.
F~1/2 =
−−−−→
1 q1 q2
M1 M2
1
=
q1 q2
~u1/2
3
4πε0
M1 M2
4πε0 r2
avec
M2
q2
F~1/2
F~2/1
M1
q1 ~u1/2
1
= 9.109
4πε0
SI
Remarques :
−−−−→
• F~ obéit au principe des actions réciproques : F~1/2 = −F~2/1 et F~1/2 ∧ M1 M2 = ~0.
• Dans tout autre milieu que le vide, on doit remplacer ε0 , la permittivité absolue du vide par
ε = εr .ε0 la permittivité du milieu.
εr est la permittivité relative. Pour l’air εr ' 1,0006 à 20°C ⇐⇒ ε ' ε0 et pour l’eau εr ' 80
à 20°C → pouvoir dissociant de l’eau : dissolution des cristaux ioniques (sels).
1
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• On a une analogie forte avec la loi de l’attraction universelle : F~1/2 = −G m1r2m2 ~u1/2 à ceci près
qu’ici, la force peut être attractive (si q1 q2 < 0) ou répulsive (si q1 q2 > 0).
II
1.
~
Champ électrostatique E
Notion de champ
Définition : le champ d’une grandeur G dans un domaine de l’espace D est l’ensemble des grandeurs G aux divers points de D.
Exemples :
• champ scalaire : champ de température T (~r) dans une pièce
~ r)
• champ vectoriel : champ de gravitation dans le système solaire G(~
Remarque : Un champ peut également dépendre du temps : T (~r,t)
2.
Champ créé par une charge ponctuelle
F~P →M
~
E(M
)
z
Toute particule M de charge qM placée au voisinage de P
de charge qP subit de la part de cette dernière une force
F~P →M (qM est la charge d’essai placée au point champ M
et qP est placée au point source P ).
~er
M
~eϕ
1 qM qp
=
~uP →M
4πε0 r2
~eθ
θ
r
−−→
PM
r
= ~er le vecteur radial du
avec r = P M e ~uP →M =
système de coordonnées sphériques (~er ,~eθ ,~eϕ ) en prenant
P comme origine.
~
On peut définir le vecteur E(M
) tel que
F~P →M
y
P
ϕ
x
I
F~P →M
~
~
= qM E(M
) ⇐⇒ E(M
)=
qM
indépendant de qM la charge d’essai.
Définition :
~
E(M
) est le vecteur champ électrostatique créé par P au point M .
~
E(M
)=
qP
~uP →M
4πε0 r2
• L’unité de E est le Volt par mètre V.m−1 .
2
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• Ordre de grandeur :
? maximum admissible dans l’air sec : champ disruptif 106 V.m−1 .
? subi par l’électron très proche du proton d’un atome d’hydrogène : 1011 V.m−1 .
? produit dans des accélérateurs de particules : 35 MV.m−1 .
? proche d’une ligne à haute tension : 10 kV.m−1 .
? produit par une antenne de téléphone portable : 10 à 30 V.m−1 .
• Si qP > 0, le champ diverge à partir de P et si qP < 0, le champ converge vers P .
Si qP > 0
Si qP < 0
~ n’est pas défini sur les charges
• Dans tous les cas, son intensité décroît avec la distance et E
(r = 0).
3.
Champ d’une distribution de charges
3.a.
PN
qN
Distributions discrètes : échelle microscopique.
Soit une distribution D de P
charges ponctuelles {P1 (q1 )...Pi (qi )...PN (qN )}. Pi
qi
La charge totale est Q = N
i=1 qi .
P2
~ exercée par D
Principe de superposition : le champ résultant E
~
au point champ M est la somme des N champs Ei exercées par
q2 < 0 P 1
−−→
q1
,
chaque charge qi prise seule. En posant Pi M = ri et ~ui = Pri M
i
D
~1
E
M
q
~i
E
Champ créé en M par D : par application du principe de superposition,
~ =
E
N
X
i=1
~i =
E
N
X
i=1
qi
~ui
4πε0 ri2
Remarques :
~ = PN F~i =
• Ce principe découle directement de la propriété d’additivité des forces : F~ = q E
i=1
PN ~
PN ~
q
E
=
q
E
.
i
i
i=1
i=1
• Il s’agit d’une somme vectorielle, l’utilisation des symétries permettra de simplifier les calculs.
~ ne dépend pas de la charge d’essai, on ne la représente pas en général.
• E
3
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ATS
z
Exemple : champ créé par deux charges distantes de
2a en un point de la médiatrice.
On pose r = OM , r1 = P1 M = P2 M = r2 .
cos α = rr1 et r12 = a2 + r2 .
~ =E
~1 + E
~ 2 = 2E1r~er = 2E1 cos α~er .
E
~ s’annulent suivant z, on dit que
Les composantes de E
Er est la "composante utile".
qr
~ = 2q 2 cos α~er = qr 3 ~er =
E
er
3 ~
2πε0 r
4πε0 r
2
2
P2
q
~2
E
α
O
2πε0 (a +r ) 2
1
3.b.
P1
q
~er
r
M
~
E
~1
E
r
Distributions continues : échelle mésoscopique, densité de charges.
Une distribution continue est volumique mais peut parfois être modélisée par une distribution surfacique ou linéique.
Distribution Surfacique
Distribution Volumique
V
P
P
dτ
Distribution Linéique
S
P
ds
M
d`
M
~
dE
C
M
~
dE
~
dE
Soit une région (dτ , ds ou d`) de dimension très inférieure à celle de la distribution et centrée sur P .
Elle contient un nombre dN très grand de charges élémentaires, sa charge est dq.
Définition : Le champ élémentaire créé en M par ces charges placées autour de P
est :
1 dq
~
~uP →M
dE(M
)=
4πε0 r2
En se plaçant à l’échelle mésoscopique on peut définir des grandeurs nivelées comme la densité de
dq
charge (par exemple volumique ρ(P ) = dτ
en C.m−3 ).
charge volumique ρ (C.m−3 )
dq = ρ(P )dτ
~
dE(M
)=
1 ρ(P )dτ
~uP →M
4πε0 r2
charge surfacique σ (C.m−2 )
dq = σ(P )ds
~
dE(M
)=
1 σ(P )ds
~uP →M
4πε0 r2
charge linéique λ (C.m−1 )
dq = λ(P )d`
~
dE(M
)=
1 λ(P )d`
~uP →M
4πε0 r2
4
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3.c.
ATS
Échelle macroscopique.
~
Pour obtenir la charge totale Q contenue dans la distribution
D ou le champ total E(M
) créé en M ,
R
P
~
on intègre dq ou dE(M ) sur D :
Q=
qi → Q = D dq
Distribution Surfacique
Distribution Volumique
ZZZ
Q=
1
4πε0
~ =
E
ZZZ
ρ(P )dτ
Q=
V
V
ρ(P )dτ
~uP →M
r2
~ =
E
1
4πε0
ZZ
ZZ
Distribution Linéique
σ(P )ds
Z
Q=
S
S
σ(P )ds
~uP →M
r2
~ =
E
1
4πε0
Z
λ(P )d`
L
L
λ(P )d`
~uP →M
r2
Remarques :
• Si la distribution de charges est homogène, alors λ(P ), σ(P ) ou ρ(P ) ne dépend plus du point
P considéré et on peut le sortir de l’intégrale.
RRR
RRR
ρ(P )dτ = ρ
dτ = ρV .
Par exemple, si V est le volume de la distribution. Q =
V
V
• Pour calculer une intégrale, on choisira un système de coordonnées adéquat :
Coord. Cartésiennes (x,y,z)
z R
z
dy
~ez
O
Coord. Cylindro-polaires (r,θ,z)
~ey
~ex
z
r
H
dz
dx
dτ = dx.dy.dz
dr
dz
dr rdθ
z
y
r sin θdϕ
rdθ
θ
y
O
θ
x
d~r = dx~ex + dy~ey + dz~ez
ds1 = dx.dy
ds2 = dx.dz
ds3 = dy.dz
Coordonnées Sphériques (r,θ,ϕ)
dθ
x
d~r = dr~er + rdθ~eθ + dz~ez
ds1 = dr.dz
ds2 = dr.rdθ
ds3 = r.dz.dθ
dτ = dr.r.dθ.dz
r
y
O
ϕ
dϕ
x
d~r = dr~er + r.dθ~eθ + r sin θdϕ~eϕ
ds1 = r.rdθ
ds2 = r sin θdrdϕ
ds3 = r2 sin θdθdϕ
dτ = dr.r.dθ.r. sin θ.dϕ
Exemple : calcul de la charge contenue dans une sphère de rayon R et telle que ρ = ρ0 constante :
On se place dans le système de coordonnées sphériques :
ZZZ
Z π Z 2π Z R
Z R
4
2
Q=
ρ(P )dτ =
ρr dr sin θdθdϕ =
4πr2 ρ0 dr = ρ0 πR3 = ρ0 V
3
V
θ=0 ϕ=0 r=0
r=0
De même, pour un cercle Q = 2πRλ et pour un disque, Q = σπR2 .
5
Chapitre EM1 : Charge électrique et champ électrostatique
4.
ATS
Topographie du champ électrostatique
(+q ; +q)
(+q ; −2q)
~
E
L
~
E
~
E
• L’ensemble des lignes de champ (orientées)
constitue le spectre électrostatique du champ.
E~
Définitions :
• Les lignes de champ sont des courbes tangentes
en chacun de leurs points au vecteur champ (on
peut les visualiser en soupoudrant de grains de semoule la surface d’un liquide soumis à un champ
électrique ou à l’aide d’un logiciel de simulation).
(+q ; −q)
(+q ; −2q) vu de plus loin
Propriétés
• Les lignes de champ ne se referment jamais sur elles mêmes : courbes ouvertes.
• Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper. Elles divergent à partir des charges positives
et convergent vers les négatives.
• On peut également observer des points de champ.
6
Chapitre EM1 : Charge électrique et champ électrostatique
III
1.
ATS
Propriétés de symétrie et d’invariance
Principe de Curie (1934)
Principe de Curie : tout phénomène physique possède au moins les symétries de
ses causes.
Ici, l’étude des symétries et invariances des distributions de charges permet de prévoir des propriétés
de symétries et d’invariance (pas toujours toutes) du champ électrostatique.
2.
Symétries simples
Symétrie plane : une distribution de charges admet un plan de symétrie Π si la densité de charge
en P 0 , le symétrique de P par rapport à Π est égale à la densité de charge en P :
ρ(P 0 ) = ρ(P ) avec P 0 = symΠ (P )
~
E(M
)
~
E(M
)
0
~
E(M
)
M
M
0
M
P0
dq
P
dq
ρ
ρ0
P0
dq
P
dq
ρ
ρ0
D
D
Π
Π
• Aux points M et M 0 symétriques par rapport à un plan de symétrie Π d’une distribution de
charges D, les champs électrostatiques sont symétriques l’un par rapport à l’autre :
0
~
~
M 0 = symΠ (M ) ⇒ E(M
) = symΠ (E(M
))
• Le champ électrostatique créé par une distribution de charges D, en un point M appartenant
à un plan de symétrie Π de D, est dans le plan Π :
~
M ∈ Π ⇒ E(M
)⊂Π
Antisymétrie plane : une distribution de charges admet un plan d’antisymétrie Π ∗ si la densité
de charge en P 0 , le symétrique de P par rapport à Π est opposé à la densité de charge en P :
ρ(P 0 ) = −ρ(P ) avec P 0 = symΠ∗ (P )
7
Chapitre EM1 : Charge électrique et champ électrostatique
ATS
~
E(M
)
M0
~
E(M
)
M
M
0
~
E(M
)
P0
−dq
P
dq
P0
−dq
P
dq
ρ
ρ
−ρ
−ρ
D
D
Π∗
Π
• Aux points M et M 0 symétriques par rapport à un plan d’antisymétrie Π∗ d’une distribution
de charges D, le champ électrostatique en M 0 est opposé au symétrique du champ en M :
0
~
~
M 0 = symΠ∗ (M ) ⇒ E(M
) = −symΠ∗ (E(M
))
• Le champ électrostatique créé par une distribution de charges D, en un point M appartenant
à un plan d’antisymétrie Π∗ de D, est normal au plan Π∗ :
~
M ∈ Π∗ ⇒ E(M
) normal à Π∗
~ ayant ces propriétés, il est qualifié de vecteur polaire ou “vecteur vrai”.
Remarque : E
3.
Invariances
Invariance par translation suivant un axe (Oz) : la densité de charge est la même en tout
point P 0 obtenu par translation de P parallèlement à Oz.
ρ(P (x,y,z)) = ρ(P 0 (x,y,z + z0 )) ∀z0 ⇐⇒ ρ(x,y,z) = ρ(x,y)
z
P
z + z0
z
P0
Conséquence : E qui dépend à priori des variables x, y et z mais qui a au moins les mêmes invariances
que D ne dépend plus de z
ρ(x,y,z) = ρ(x,y) ⇒ E(x,y,z) = E(x,y)
Invariance par rotation autour d’un axe (Oz) : la densité de charge est la même en tout point
P 0 obtenu par rotation de P autour de Oz.
ρ(P (r,θ,z)) = ρ(P 0 (r,θ + θ0 ,z)) ∀θ0 ⇐⇒ ρ(r,θ,z) = ρ(r,z)
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Chapitre EM1 : Charge électrique et champ électrostatique
θ0
ATS
P
P0
z
Conséquence : E qui dépend à priori des variables r, θ et z mais qui a au moins les mêmes invariances
que D ne dépend plus de θ
ρ(r,θ,z) = ρ(r,z) ⇒ E(r,θ,z) = E(r,z)
4.
4.a.
Exemples
Retour sur les spectres :
Tracer les plans Π et Π∗ sur les figures et vérifier les affirmations précédentes.
4.b.
Champ dans le plan médiateur d’un segment de droite uniformément chargé
cf. TD EM1 exercice 1
4.c.
Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
cf. TD EM1 exercice 2
9
Chapitre EM1 : Charge électrique et champ électrostatique
ATS
Table des matières
I
Origine, première loi
1. Charge électrique q
2. Loi de Coulomb (1785)
~
II Champ électrostatique E
1. Notion de champ
2. Champ créé par une charge ponctuelle
3. Champ d’une distribution de charges
3.a.
Distributions discrètes : échelle microscopique.
3.b.
Distributions continues : échelle mésoscopique, densité de charges.
3.c.
Échelle macroscopique.
4. Topographie du champ électrostatique
III Propriétés de symétrie et d’invariance
1. Principe de Curie (1934)
2. Symétries simples
3. Invariances
4. Exemples
4.a.
Retour sur les spectres :
4.b.
Champ dans le plan médiateur d’un segment de droite uniformément chargé
4.c.
Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
Lycée F.Arago - Reims