1 Introduction

Les circuits électriques en régime transitoire
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1 Introduction
1.1 Définitions
1.1.1 Régime stationnaire
Un régime stationnaire est caractérisé par des grandeurs indépendantes du temps. Un circuit en
courant continu est donc en régime stationnaire.
1.1.2 Régime variable
Régime dans lequel ces grandeurs dépendent du temps; elles sont notées par des lettres
minuscules v(t), i(t)…
Elles désignent la valeur à l’instant t ou encore la valeur instantanée de ces grandeurs.
1.1.3 Régime permanent
Régime dans lequel ces grandeurs peuvent dépendre du temps, les variations étant permanentes
au cours du temps; exemple : régime permanent sinusoïdal.
1.1.4 Régime transitoire
Généralement régime qui précède l’établissement du régime permanent dans un circuit
électrique. Il décrit l’état intermédiaire d’un circuit électrique évoluant entre deux états
permanents stables.
1.2 Mise en équations des régimes transitoires
L’étude du comportement en régime transitoire s’effectue en appliquant au circuit une
excitation très brève dite perturbation de type impulsion de Dirac, échelon…
Comme les grandeurs électriques sont variables et que leur forme n’est pas connue a priori, il
est nécessaire d’avoir recours aux équations de fonctionnement des dipôles élémentaires.
L’écriture des lois de Kirchhoff dans un circuit électrique en régime transitoire génère des
équations plus complexes qu’en régime continu ou sinusoïdal. Ce sont en général des équations
différentielles linéaires à coefficients constants.
1.2.1 Dipôle purement résistif
On considère le dipôle purement résistif suivant :
R
v(t)
i(t)
A chaque instant, on peut écrire :
v(t) = Ri(t) [1]

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1.2.2 Dipôle purement inductif
On considère le dipôle purement inductif suivant :
v(t)
Li(t)
A chaque instant, la tension aux bornes de l’inductance est :
v(t) = L dt
di(t) [2]
L’intensité qui traverse l’inductance est :
i(t) = L
1∫t
0v(t)dt + i(0) [3]
i(t) ne présente pas de discontinuité, v(t) deviendrait alors infinie.
1.2.3 Dipôle purement capacitif
On considère le dipôle purement capacitif suivant :
v(t)
i(t) C
A chaque instant, l’intensité qui traverse l’inductance est :
i(t) = C dt
dv(t) [4]
La tension aux bornes de l’inductance est :
v(t) = C
1∫t
0i(t)dt + v(0) [5]
v(t) ne présente pas de discontinuité, i(t) deviendrait alors infinie.
1.2.4 Remarque
La résolution des équations différentielles conduit à la résolution de l’équation homogène et de
l’équation particulière. L’équation homogène correspond au régime libre et l’équation
particulière au régime forcé.
La réponse d’un circuit à une excitation est
R = RHomogène + RParticulier = Rlibre + Rforcé [6]
Le régime libre correspond à la réponse du système sans excitation. Dans un réseau de
Kirchhoff cette réponse est due à l’énergie emmagasinée dans les inductances et les capacités.
Le régime forcé correspond à la réponse du système avec excitation. Si l’excitation est continue
ou en échelon, le régime forcé est continu. Si l’excitation est sinusoïdale, de pulsation ω, le
régime forcé est sinusoïdal de même pulsation ω.

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2 Réponse de circuit du premier ordre
2.1 Définitions
Un circuit du premier ordre comporte un seul élément réactif, une ou plusieurs résistances et
une ou plusieurs sources. Il est régi par une équation différentielle du premier ordre du type :
ττ dt
ds(t) + s(t) = e(t) [7]
e(t) est le signal appliqué au circuit électrique. Il est aussi le second membre de l’équation
différentielle. s(t) est la réponse en tension ou en courant du circuit au signal appliqué. τ est la
constante de temps du circuit, elle est exprimée en secondes.
La solution générale de l’équation différentielle complète s’écrit : s(t) = s
H+ s P , où s H est la
solution générale de l’équation homogène associée et s
P est une solution particulière de
l’équation complète.
2.2 Réponse à un échelon (de tension ou de courant)
2.2.1 Résolution
On doit résoudre l’équation suivante :
ττ dt
ds(t) + s(t) = A [8]
Recherche de sH :
τdt )t(
s
dH + sH(t) = 0 s’écrit encore : dt )t(
s
dH = - ô
1sH(t).
En intégrant les 2 membres, on obtient : ∫s)t(
s
d
H
H = ∫t
0- ô
1dt ⇔ Ln K
sH = -ô
t
Or exp[Ln K
sH] = K sH = exp[-ô
t] =
e
ô
t
−.
D’où : sH = K
e
ô
t
−
Recherche de sP :
On peut utiliser la méthode de la variation de la constante mais la spécificité du second
membre est ici plus immédiate (second membre constant).
sP = constante ⇒ dt
dsP = 0.
L’équation [8] permet d’écrire : sP = A.
Solution générale :
s(t) = A + K
e
ô
t
− [9]
K est une constante d’intégration qui dépend uniquement des conditions initiales
du circuit à t = 0. En appliquant la condition initiale s(0+) = s
0 dans l’équation
précédente, on a la constante K = s0 – A. La solution générale s’écrit alors :
s(t) = A + (s0 – A)
e
ô
t
− [10]

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Dans cette expression, le premier terme A correspond au régime forcé et le
second terme (s0 – A)
e
ô
t
−correspond au régime libre qui disparaît au bout de 3τ
à 5τ.
2.2.2 Tracé de la courbe de réponse
Soit le signal s(t) = (1 -
e
ô
t
−) avec τ = 0,1, le tracé est le suivant :
s(t)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
On détermine s(t), pour des valeurs particulières de t :
- t = τ, on a s(τ) = (1 – e-1) =0,623 = 62,3 % ;
- t = 3τ, on a s(τ) = (1 – e-1) =0,950 = 95 % ;
- t = 5τ, on a s(τ) = (1 – e-1) =0,993 = 99,3 %.
2.2.3 Exemple
On considère le circuit ci-après alimenté par une source de tension périodique :
Vc(t)
Ri(t)
CVe(t)
La tension Ve(t) est un signal carré tel que :
- 0 ≤ t ≤ 2
T : Ve(t) = + E ;
- 2
T ≤ t ≤ T: Ve(t) = 0.
La loi d’Ohm appliquée au circuit ci-dessus s’écrit :
- Ve(t) = RiC(t) + VC(t)
- Avec iC(t) = C dt )t(
V
dC
D’où l’équation différentielle du circuit RC :
- RC dt )t(
V
dC + VC(t) = Ve(t)
- On pose τ = RC et on retrouve l’équation [8].

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2.3 Réponse à un signal sinusoïdal
2.3.1 Résolution
On doit résoudre l’équation suivante :
ττ dt
ds(t) + s(t) = Aesinωωet [11]
Recherche de sH :
Par analogie avec le cas précédent, la solution de l’équation homogène est :
sH = K
e
ô
t
−, où K est une constante arbitraire.
Recherche de sP :
On peut utiliser la méthode de la variation de la constante mais la spécificité du second
membre est ici plus immédiate.
Comme le second membre est sinusoïdal, la fonction particulière est de la forme :
sP = Apsin(ωet + ϕp).
En reportant les expressions de sP et dt
s
dp dans l’équation différentielle [11], on a :
τApωecos(ωet + ϕp) + Apsin(ωet + ϕp) = Aesinωet.
Après développement, on obtient par identification des coefficients cosωet et sinωet :
Ap [τωecosϕp + sinϕp] = 0 (a)
Ap [cosϕp - τωesinϕp] = Ae (b)
La résolution de ce système d’équation donne :
cosϕp = ])
ù
ô(1[
AA
e2 p
e
+ > 0 et sinϕp = - ])
ù
ô(1[
A
A
ù
ô
e2 p
ee
+ < 0 et tanϕp = - τωe
donc - 2
ð < ϕp < 0
L’addition de (a)2 + (b)2 conduit à Ap :
Ap = )
ù
ô(
1A
e2
e
+
Finalement, on obtient :
sP = )
ù
ô(
1A
e2
e
+sin(ωet + ϕp) avec tanϕp = - τωe.
Solution générale :
La solution générale de l’équation différentielle complète s’écrit alors :
s(t) = )
ù
(ô
1A
e2
e
+sin(ωωet + ϕϕp) + K
e
ô
t
− [12]