Identités remarquables

Identités remarquables, équations produit nul
I – Rappels :
1. Définitions :
• Développer c’est transformer des produits de facteurs en une somme algébrique
(addition ou soustraction) de termes.
• Réduire c’est regrouper les termes semblables.
• Factoriser c’est transformer une somme algébrique en produits de facteurs.
2. Propriété :
La multiplication est distributive sur l’addition .
Quels que soient les nombres k, a, b, c et d les égalités suivantes sont toujours vraies :
Produits de facteurs = Sommes de termes
k (a + b) = k a + k b
k (a – b) = k a – k b
(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d
On applique cette propriété pour développer ou factoriser
3. Vocabulaire :
Une égalité qui est toujours vraie quelles que soient les valeurs données aux lettres dans cette
égalité est une identité.
Une égalité qui n’est vraie que pour certaines valeurs données aux lettres dans cette égalité est
une équation.
Résoudre une équation c’est chercher les valeurs qui données aux lettres rendent vraie
l’égalité, ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.
II – Identités remarquables :
Il existe beaucoup d’identités trois sont particulièrement remarquables, on les appelle
Identités remarquables
Carré d’une somme (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Carré d’une différence (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
le terme « 2ab » est appelé « double produit » de a par b .
(a + b)(a – b) = a2 – b2 différence de deux carrés

III – Équations du premier degré à une inconnue :
1. Définition :
Une équation qui ne comporte qu’une lettre inconnue à la puissance 1 est une équation
du premier degré à une inconnue.
(Si la lettre est à la puissance 2 l’équation est du deuxième degré)
2. Propriétés des équations :
SI on ajoute un même nombre aux deux membres d’une équation on obtient une
équation qui a les mêmes solutions.
Si on multiplie par un même nombre non nul, les deux membres d’une équation on
obtient une équation qui a les mêmes solutions.
3. Application :
Soit!l!̩quation:!!!!!
𝟑𝒙 +𝟓=𝟓𝒙 −𝟐!!
!on!ajoute −5x!aux!deux!membres!de!l!̩quation!
𝟑𝒙 −𝟓𝒙 +𝟓=𝟓𝒙 −𝟓𝒙 −𝟐!
on!r̩duit!
−𝟐𝒙 +𝟓=−𝟐!
on!ajoute −5!aux!deux!membres!de!l!̩quation!
−𝟐𝒙 +𝟓−𝟓=−𝟐−𝟓!
on!r̩duit!
−𝟐𝒙 =−𝟕!
on!divise!les!deux!membres!de!l!̩quation!par −2!!
−𝟐𝒙
−𝟐=
−𝟕
−𝟐!!donc!𝒙=
𝟕
𝟐!
IV – Équation produit nul :
1. Définition :
Une « équation produit nul » est une équation dont un membre est un produit de
facteurs, et l’autre est égal à 0.
2. Propriété :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
Traduction en langage mathématique :
3. Conséquence :
Si on sait transformer une équation en une équation « produit nul », où chaque facteur
est du premier degré (ex : 3x+1) , on sait résoudre cette équation puisqu’on sait
résoudre toutes les équations du premier degré à une inconnue.