- Théses en Ligne

République algérienne démocratique et populaire
Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique
UNIVERSITE DE BATNA
FACULTE DES SIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
MEMOIRE DE MAGISTER
Spécialité : ELECTROTECHNIQUE
Option : MACHINES ELECTRIQUES
Présenté et soutenu publiquement par :
MAIOUFI ATIKA
(Ingénieur d’état en électrotechnique)
Le : 20 /04 /2006
à l’université de BATNA
THEME
Modélisation des phénomènes électromagnétiques non linéaires par la méthode
des volumes finis
Devant le jury composé de :
LOUAI F.Z
Maître de conférences
SRAIRI . K
Maître de conférences
AZZOUI . B
Maître de conférences
DIB .A
Maître de conférences
GUETTAFI .A
Maître de conférences
AGGOUNNE M.S M.C.C
ALLOUI .L
Maître Assistant
université de Batna
université de Biskra
université de Batna
université d’oum Bouaghi
université de Batna
université de Batna
université de Biskra
2005 / 2006
président
rapporteur
examinateur
examinateur
examinateur
invité
invité
Sommaire
Introduction générale
Chapitre I : Formulation mathématique en électromagnétisme
I-1 Introduction
I-2 Les modèles mathématiques en électromagnétisme
I-2-1 : Equations générales de MAXWELL
I-2-2 : Interprétation physique des équations électromagnétiques
I-2-2-1 : Equation de couplage électromagnétique
I-2-2-2 : Les équations de conservation
I-2-3 Loi de comportement des matériaux (milieu physique )
I-3 Formulation des équations électromagnétiques
I-3-1 : Le modèle électrostatique
I-3-2 : Le modèle électrocinitique
I-3-3 : Le modèle magnétostatique
I-3-3-1 : Le modèle magnétostatique scalaire
I-3-3-2 : Le modèle magnétostatique vectoriel
I-3-4 : Le modèle magnétodynamique
I- 4 Formulation de l’équation magnétodynamique
I- 5 Le modèle cylindrique axisymétrique en électromagnétisme
I- 6 Différentes techniques de résolution des équations aux dérivées partielles
I-6-1 : Méthode des éléments finis ( M.E.F )
I-6-2 : Méthode des différences finis ( M.D.F )
I-6-3 : Méthode des intégrales de frontières ( M.I.F )
I-6-4 : Méthode des circuits couplés
I-6-5 : Méthode des volumes finis ( M.V.F)
Chapitre II : Modèle numérique
II-1 Introduction
II-2 Formulation volumes finis
II-2-1 : Discrétisation de l’équation magnétodynamique non linéaire
II-2 Méthodes de résolutions des systèmes d’ équations algébriques
II-2-1 : Méthodes directes
II-2-2 : Méthodes itératives
II-2-2-1 : Méthode de JACOBI
II-2-2-2 : Méthode de GAUSS SEIDEL
II-2-2-3 : Méthode de relaxation
II-3 Modèle de JILES ATHERTON
II- 4 Conclusion
Chapitre III : Implémentation sous l’environnement matlab des modèles
mathematico-numeriques
III-1 Introduction
III-2 Présentation des modules du code de calcul pour la résolution de l’équation
électromagnétique
III-2-1 : Structure générale
III-2-1-1 : Introduction des données
III-2-1-2 : Procédure de calcul
III-2-1-3 : Visualisation des résultas
III-2 Conclusion
Chapitre IV : Applications et validation
IV-1 Introduction
IV-2 Présentation de l’Application
IV-2-1 : Modèle géométrique
IV-2-2 : Modèle physique
IV-2-3 : Maillage de domaine d’étude de résolution
IV-2-4 : Résultats
VI-2-5 : Interprétation des résultats
Conclusion générale
Bibliographie
Introduction générale
INTRODUCTION GENERALE
i. Introduction
La majorité des dispositifs électrotechniques sont réalisés par des matériaux
ferromagnétiques qui sont caractérisés par le fonctionnement en régime non
linéaire[1].
Les ferromagnétiques jouent un rôle primordial en électricité industrielle où les deux
propriétés fondamentales des circuits magnétiques sont : la conservation du flux du
champ magnétique B et le théorème d’AMPERE .
Chaque matériau magnétique est caractérisé par la courbe d’aimantation B(H) dont les
deux grandeurs essentielles sont l’ excitation et l’induction qui sont liées par une
relation de proportionnalité qui dépend du point de fonctionnement,c’est la
perméabilité magnétique pour les ferromagnétiques ou la non linéarité importante de
la relation entre B et H rend cette grandeur variable avec H.
La modélisation de ces dispositifs électrotechniques fait appel à la compréhension des
phénomènes physiques et exige une bonne connaissance de fonctionnement de ses
dispositifs dans les différentes zones .cependant la non linéarité des caractéristiques
des matériaux magnétiques augmente considérablement la complexité de calcul et le
temps de résolution nécessaire pour prendre en compte le comportement physique du
dispositif à analyser
Ainsi, la méthode des éléments finis a fait ses preuves comme outil efficace
dans la résolution des équations différentielles ,elle permet autre de tenir compte des
géométries complexes et des non linéarités éventuelles , seulement sa mise en ouvre
est par contre assez compliquée. Nous avons donc ôpter dans notre étude pour la
méthode de volumes finis qui est moins difficile à réaliser et simple à concevoir
i i . Structure de la thèse
(
Un premier chapitre sera consacré à un rappel sur les équations
Mathématiques en électromagnétique plus précisément les équations de Maxwell ;
1
Introduction générale
ainsi
que
leurs
interprétations
physiques
pour
formuler
l
‘équation
magnétodynamique .
(
Dans le deuxième chapitre nous présentons les modèles numériques adoptés
pour la résolution des équations des champs électromagnétiques ; il s’agit de
la méthode des volumes finis .
(
Une implémentation sous environnement matlab des modèles mathemateco
numériques développés sera présentée dans le troisième chapitre .
( La validation des résultats obtenues est présentée dans le dernier chapitre
(
En fin nous tirons une conclusion générale résumant notre travail et on
donne les perspectives à envisager comme suite à ce travail.
2
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
FORMULATION MATHEMATIQUE
DES PHENOMENES ELECTROMAGNETIQUES
I .1 Introduction
L’effet de champ électrique ou magnétique (ou de leurs combinaison) détermine le
fonctionnement des machines tournantes, des transformateurs, et de l’appareillage de
coupures de hautes ou de basses tensions.
La connaissance de ses champs permet dans tous les appareilles électromagnétiques
d’avoir accès au calcul de ses performances globales et au détail des conditions de son
fonctionnement, soit en régime permanent, soit en régime transitoire.
La complexité croissante des matériels, la sévérité des contraintes qui leurs sont imposée,
l’optimisation de plus en plus poussée des appareils rendent délicat l’emploi d’hypothèse
simplificatrice, le choix d’un modèle approprié devient donc difficile.
Nous allons essayer d’éclaircir ce choix en présentant les modèles les plus utilisés.
I-2 Les Modèles mathématiques de l’électromagnétisme
I-2-1 Equations générales de MAXWELL
Les quatre équations de MAXWELL sont la formulation mathématique complète qui
régit tous les phénomènes électromagnétiques de tous dispositif. Ces équations sont
généralement interdépendantes de faite que les phénomènes magnétiques et électriques
sont couplés.[2]
Ainsi qu’elles sont valables dans les différents milieux (air, milieu non homogènes, non
linéaires et anisotropes…)
Ces équations sont :
3
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
rot E =− ∂B
∂t
rot H = J c +
( I-1 )
∂D
∂t
( I-2 )
div B = 0
(I-3)
div D = ρ
(I-4)
- Lois constitituves des milieux
B = µ(H) . H ou H = ν (B) B
( I-5 )
D= εE
( I -6 )
Avec :
JD =
∂D
∂t
densité des courants de déplacement négligeable à basse
fréquence [A/m2]
E : Vecteur champ électrique [v/m]
B : Vecteur induction magnétique [T]
H : Vecteur Champ magnétique [ A/m]
D : Vecteur induction électrique (vecteur déplacement électrique [C/m2]
ρ : densité volumique de charge électriques [C/m3]
4
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
Jc : Vecteur densité du courant électrique de conduction [A/m2]
ε : permittivité électrique [F/m]
µ : perméabilité magnétique [H/m]
σ : conductivité électrique [S / m]
ν : réluctivité magnétique [m/H]
à ces équations doit être associer la loi d’ohm généralisée
J C = J ex + σ E + σ (V ∧ B )
(I-7)
Avec :
V : Vecteur vitesse des pièces conductrices susceptible de se déplacer [m /s]
σ : conductivité électrique [s/m]
J ex : densité du courant d’excitation ( source ) [A/m2]
σ. E : densité des courants induits du champ électrique E [A/m2]
σ (v ∧ B) : densité des courants induits par mouvement [A/m2].
I-2-2 Interprétation physique des équations de MAXWELL
I-2-2-1 Equations de couplages électromagnétiques
-
Loi d’induction de FARADAY
5
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
rot E = −
∂B
∂t
Cette équation exprime le couplage électrique – magnétique en régime dynamique où la
variation temporelle de B détermine le rot E .
-
Démonstration :
La force électromotrice induite dans un circuit (c) placé dans un champ magnétique
[3] est déterminée par l’intégrale curviligne suivante :
e = ∫ E dl
(I-8)
c
Où ( c ) est une boucle fermée
De la même manière, une (f e m ) est aussi induite , si le flux φ varie dans le temps à
travers un circuit fixe tel que :
e=−
Où
dφ
dt
(I-9)
ϕ = f ( x,y,z,t )
Donc :
e=−
dφ
∂
= − ∫ B ds
dt
∂t s
(I-10)
où (s ) est une surface s’appuyant sur le contour ( c )
Et d’après le théorème de STOKES on a :
6
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
∫ E dl = ∫ rot E ds
(I-11)
s
C
On obtient donc
−
∂
B ds = ∫ rot E ds
∂t ∫s
s
( I-12)
Ainsi, nous aurons :
rot E = −
∂B
∂t
-
rot H = J C +
Théorème d’AMPERE
∂D
∂t
Cette équation exprime la dépendance du champ magnétique de la densité de courant
totale (conduction + déplacement)
-
Démonstration :
∫ H dl = ∫ J ds
c
( I-13)
S
( s) : est la surface qui s’appuie sur le contour ( c )
J : est la densité de courant.
D’après le théorème de STOKES nous avons :
∫ H dl = ∫ rot H ds
c
( I-14)
s
Donc :
7
Chapitre I
∫ rot H ds
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
=
s
∫ J ds
( I-15)
s
D’où
rot H = J
( I-16)
I-1-2-2 Les équations de conservations
-
Divergence de l’induction magnétique
div B = 0
Cette relation traduit mathématiquement, qu’il n’existe pas de charges magnétiques
car les seules sources de champ magnétique sont les courants électriques.
C’est pourquoi les lignes du champ sont toujours fermées sur elles –mêmes, elles forment
des boucles .ces boucles n’ont; ni points de départs, ni points d’arrivées, ni points de
convergences, D’où, la nomination d’induction conservative (champ conservatif)
-
Theoréme de GAUSS
div D = ρ
Si on considère une surface ( s) fermée , le flux de vecteur de déplacement électrique
D sortant de cette surface est égale à la charge totale contenue à l’intérieur de cette dernière
[4]
∫ Dds = φ int = ∫ ρdv
( I-17)
v
D’après le théorème d’OSTROGRADSKI –GREEN nous avons
8
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
∫ Dds=∫divDdv
s
( I-18)
v
D’où
∫divDdv=∫ ρdv
v
( I-19)
v
Ainsi
div D = p
I-2-3 Loi de comportement des matériaux ( milieu physique )
-
Induction électrique et champ électrique
D =εE
Où
ε = ε rε 0
ε 0 : Permittivité absolue du vide [ F / m ]
ε r : Permittivité relative du milieu [U S I ]
Cette équation décrit la relation entre le vecteur induction électrique D et le champ
électrique E , elle est linéaire si ε est constante
dans le cas des conducteurs non polarisés nous avons :
ε0 =
1
36π 10
9
[F / M ]
la détermination de D de l’équation (I-6) et de rotE de l’équation (I-1) détermine
complètement E
-
Induction magnétique et champ magnétique
9
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
B = µH
(I-20)
C’est la relation entre le champ magnétique et l’induction magnétique .cette dernière
donne la courbe d’aimantation B = f ( H )
Cette variation de H conduit à une variation de l’induction B , on trouve par la suite le
cycle d’hystérésis dont la forme se différé d’un matériaux à un autre , donc d’un dispositif
électrotechnique à un autre .
I-3 Formulation des équations électromagnétiques
Les équations de MAXWELL se découplent donnant naissance à des modèles plus
simples [5]
I-3-1 Modèle électrostatique
Dans ce modèle la répartition des charges électriques ne dépend pas de temps (régime
stationnaire : cas de courant continu) de ce faite le champ magnétique crée ne varie pas
dans le temps [6] :
∂B
=0
∂t
( I-21)
Les équations de ce modèle se simplifient comme suit :
div D = ρ
( I-22)
rot E = 0
( I-23)
D =εE
(I-24)
La relation (I-23) permet de définir une fonction potentiel scalaire électriqueV ,telle que
v
v
E = gradV
10
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
Le modèle se ramène alors à l’équation
v
div(εgradV ) + ρ = 0
(I-25)
I-3-2 Modèle électrocinétique
Ce type de problèmes concerne l’étude de la répartition des courants dans des
conducteurs hétérogènes (connexion, jeu de barres, contact…) soumis à des tensions
continues.
Le terme (
∂B
) reste nul.
∂t
Ce modèle régit par les équations suivantes :
rotE =0
( I-26)
divJ =0
( I-27)
J =σ E
( I-28)
Où :
σ : Est la conductivité d’un conducteur.
L’équation (I,26) implique que le champ électrique dérive d’un potentiel
Scalaire V:
E = − gradV
( I-29)
Et en tenant compte de l’équation (I-28) on trouve :
J =−σ gradV
( I-30)
Injectant cette dernière équation dans l’équation (I,27) , on abouti alors à l’équation
globale du modèle :
div(σ gradV ) = 0
( I-31)
11
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
La résolution numérique de ce genre d’équations est bien maîtrisée ; cela est due
particulièrement à la simplicité de la détermination des conditions aux limites .
1--3-3 Modèle magnétostatique
1-3-3-1 Modèle magnétostatique scalaire
Dans ce modèle on admet que les courants électriques sont négligeables dans la pièce à
étudier, et que le champ magnétique ne dépend pas de temps
∂B
=0
∂t
On abouti aux relations suivantes :
div B = 0
( I-32)
rot H = 0
(I-33)
B = µ H + Br
(I-34)
Dans ce cas le champ dérive d’un potentiel magnétique scalaire (φ) :
H = − gradΦ
( I-35)
Les équations de ce modèle sont regroupées pour former l’équation globale suivante :
div( µ gradφ ) = div Br
( I-36)
12
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
Ce modèle pose peu de problèmes particuliers et la technique actuelle le permet de le
traiter même dans les cas tridimensionnels complexes.
1-3-3-2 Modèle magnétostatique vectorielle
Comme dans le modèle précédent, on suppose que le champ magnétique est produit
par des sources indépendantes du temps le terme
∂B
est alors nul et les champs électrique
∂t
E et magnétique B sont découplés, par contre, on désire modéliser un objet parcouru par
des courants non nuls.
On obtient alors les équations suivantes :
On obtient alors les équations suivantes :
rr v
rot H = J
(I-37)
div B = 0
( I-38)
B = µ H + Br
( I-39)
La relation div B = 0 permet de définir une fonction vectoriel A appelée potentiel vecteur
magnétique, tel que :
B = rot A
(I-40)
Pour que cette fonction soit totalement définie, il faut également fixer sa divergence, on
ajoute alors la condition :
div A = 0
( I-41)
Cette condition est appelée JAUGE DE COULOMB
13
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
D’où le système d’équation est :
1
1
rot ( rot A) = J + rot ( Bre)
µ
( I-42)
µ
I-3-4 le Modèle magnétodynamique
Contrairement aux autres modèles le terme (
∂B
) n’est pas nul.
∂t
Par conséquent les phénomènes magnétiques et électriques sont couplés, c'est-à-dire que la
variation de champ magnétique dans le temps induit des courants de Foucault et des f.e.m
ce qui est le cas de tous les dispositifs dans les quels les courants et les tensions électriques
ne sont pas stationnaires.
Le potentiel vecteur A Joue un rôle primordial dont la connaissance de A implique la
connaissance de tous les grandeurs physiques où :
B = rot A
En terme d’équations nous avons :
rot E = −
∂B
∂t
( I-43)
rot H = J
( I-44)
B = rot A
( I-45)
à ces équations nous ajoutons les lois caractéristiques au milieu
B = µH
( I-46)
D =εE
( I-47)
C’est à partir de ces équations de base de ce modèle que nous pouvons déterminer
l’équation décrivant l’évolution des phénomènes électromagnétiques dans un dispositif où
l’ensemble des champs présents sont en fonction explicite de l’espace et du temps
14
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
L’utilisation de ce modèle est très répondue dans l’étude des machines électriques, des
dispositifs du chauffage par induction, des transformateurs …etc.
I-4 Formulation de l’équation magnétodynamique
On se basant sur les équations de J.C.MAXWELL, on peut formuler l ‘équation qui
décrit l’évolution spatiale –temporelle des phénomènes électromagnétiques
nous avons :
rot E =− ∂B
∂t
avec :
B=rot A
on obtient :
rot E =−
∂(rot A)
=−rot(∂ A)
∂t
∂t
( I-48)
⇒ rot ( E + ∂ A ) = 0
∂t
Ceci implique E +
( I-49)
∂A
est un champ conservation, il drive donc d’un potentiel scalaire
∂t
électrique U
Tel que :
E + ∂ A =−gradU ⇒E =−(∂ A + gradU)
∂t
∂t
(I-50)
A partir de l’équation (I-1) et de l’équation (I-5) nous avons :
rot( 1 B)= J
(I-51)
µ
Et à partir des équations (I-2) et (I-7) nous avons :
15
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
rot( 1 rot A)= Jex +σ..E +σ(ϑΛrot A)
(I-52)
µ
1
∂A
+ gradU ) + σ (ϑΛ rot A)
⇔ rot ( rot A) = J ex − σ (
µ
∂t
(I-53)
1
∂A
rot ( rot A) + σ
+ σ gradU − σ (ϑΛ rot A) = J ex
∂t
µ
(I-54)
Le potentiel vecteur A ne peut pas être défini par la seule condition B = rot A
On doit fixer sa divergence pour assurer l’unicité de la solution de l’équation aux dérives
partielle (E.D.P)
On ajoute alors la condition div A = 0 , appelée JAUGE DE COULOMB [1]
Nous aurons ainsi :
rot( 1 rot A)+σ ∂ A +σ gradU −σ(ϑΛrot A)= J ex
µ
∂t
(I-55)
div A = 0
Les termes − σ
∂A
et σ (ϑΛ rot A) représentent les densités des courants induits il
∂t
traduisent le caractère dynamique dans le temps et dans l’espace des phénomènes
électromagnétiques
Le terme − σ gradU décrit la densité des courants dépendante des conditions électriques
impose aux extrêmes des conducteurs
Dans le cas ou la pièce est immobile par rapport à l’inducteur et v est uniformément nul
l’équation (I-10) devient
rot (ν rot A) + σ
∂A
= J ex
∂t
(I-56)
div A = 0
I-5 Le Modèle cylindrique axisymétrique en électromagnétisme
16
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
Rappelant l’équation magnétodynamique (I-56) dans le cas où la charge est immobile
Par rapport à l’inducteur
rot (ν rot A) + σ
∂A
= J ex
∂t
(I-57)
div A = 0
Lorsque le courant est orienté suivant la direction (oϕ) ,il s’agit de la composante
azimutale (Aϕ) du vecteur A
Dans une telle configuration les courants sont perpendiculairement au plan d’étude
( r,z ) Les différentes grandeurs vectorielles s’écrivent alors de la manière suivante :
0

Jex :  Jϕ
0

0

E :  Eϕ
0

er
eϕ
ez
er
eϕ
ez
0

A :  Aϕ
0

er
eϕ
ez
 Br

B: 0
B
 z
er
eϕ
ez
H r

H : 0
H
 z
er
eϕ
ez
Comme le vecteur A est confondu avec sa composante Aϕ , sa divergence est donc
naturellement nulle (Jauge de coulomb) div A = 0
Sachant qu’en coordonnées cylindriques axisymétriques [7] nous avons :
er
1 ∂
rot A =
r ∂r
0
r eϕ
∂
∂ϕ
rAϕ
eZ
∂
∂z
0
(I-58)
1
1  ∂ (rAϕ ) 
1  ∂ (rAϕ ) 
rot A = −
er + ( .0)eϕ + −
ez

r
r
r
∂r 
∂z 
(I-59)
1  ∂ (rAϕ ) 
1  ∂ (rAϕ ) 
rot A = −
er + −
ez

r
r
∂r 
∂z 
(I-60)
17
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
et
 ∂  ν ∂ (rAϕ )  ∂  ∂Aϕ 
 eϕ
 − ν
rot (ν rot A) = − 
 ∂r  r ∂r  ∂z  ∂z 
(I-61)
Remplaçant la grandeur rAϕ = rA par la grandeur A*
L’équation électromagnétique (I-56) prenne l0a forme :
*
σ ∂A *
∂ ν ∂A
∂ ν ∂A *
(
)+ (
)−
= − J ex
∂z r ∂ z
∂ r r ∂r
r ∂t
(I-62)
A* = A* (r , z , t ) Est le potentiel vecteur magnétique
C’est une équation aux dérivées partielles, décrivant le comportement d’un dispositif
cylindrique axisymétrique
I-6 Différentes techniques de résolution des équations aux dérivées partielles
Nous donnerons un aperçu sur les différentes méthodes utilisées pour résoudre un
système d’équations aux dérivées partielles
I-6-1 Méthode des éléments finis ( M E F )
La méthode des éléments finis (finite element methode ) fut développer et appliquée
en premier lieu en génie civil et en mécanique ,elle n’a trouvé sa place qu’aux années 70 en
électricité [8]
Elle est utilisée pour la résolution des équations aux dérivées partielles (EDP), dans tous
les domaines des sciences de l’ingénieur
Celle ci est très puissante pour la résolution des EDP de MAXWELL
Surtout dans les domaines complexes.
Toute fois elle ne s’applique pas directement aux ( EDP) , mais à une formulation intégrale
qui est équivalente aux problèmes à résoudre , en utilisant l’une des deux approches
suivantes [9]:
18
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
( La méthode variationelle consiste à minimiser une fonctionnelle qui représente
généralement l’énergie du système étudier.
Celle ci n’est donc applicable que si on connaît une fonctionnelle équivalente aux
problème différentielle que l’on veut résoudre.
( La méthode des résidus pondérés ou méthode projective de GALERKINE , consiste à
minimiser le résidu induit par l’approximation de la fonction inconnue
I-6-2 Méthode de différence finis (MDF)
La (MDF) est basée sur un maillage du domaine d’étude et le développement limite
en série de TAYLOR de la fonction à déterminer, en chacun des nœuds [10].
L’écriture de cette transformation pour tous les nœuds du maillage. Conduit à un système
algébrique dont la solution permet d’obtenir la distribution de l’inconnu dans le domaine
d’étude.
La mise en œuvre de cette méthode est simple, mais elle s’adapte mal aux objets de
géométrie complexe à cause de la « rigidité »du maillage. D’autre part, la prise en compte
des conditions de passage d’un milieu physique à un autre (Fer - air) par exemple et des
non linéarités (saturation …), nécessite un traitement spécifique.
I–6- 3 Méthode intégrale de frontière (MIF)
La MIF utilisée les élément finis pour discuter les frontières du domaine d’étude
lorsque le milieu constituant ce domaine est homogène et que ses propriétés physiques
sont constantes. Elle est basée sur une application directe du théorème de GREEN qui
permet de ramener l’intégration de l’EDP de domaine d’étude à celle considérée sur la
frontière du domaine.
Cette méthode peut être intéressante pour l’étude de structure 3D lorsque l’air ou les
milieux passifs occupe une grande partie du domaine d’étude. D’autre part, la MIF
s’adapte bien aux problèmes à frontières « ouvertes » (par exemple) potentiel A nul à
l’infini). Cependant, elle a l’inconvénient de conduire à un système algébrique à matrice
pleine (pas de termes nuls) ce qui fait augmenter le coût de calcul.
19
Chapitre I
Formulation Mathématique Des Phénomènes Electromagnetiques
Lorsque la (MIF) est couplée à la (MEF) qui discrétise les régions actives, la méthode
mixte se réveil efficace pour la modélisation des problèmes électromagnétiques.
I-6-4 Méthode de circuits couples (MCC)
La (MCC) permet de fournir la solution d’une (EDP) par une expression intégrale de
type lois de BIOT et SAVARD. Dans ce cas on associe à la forme intégrale à la solution,
une subdivision de l’inducteur en spire élémentaire [11]. En appliquant les lois de
KIRCHOFF à ces circuits élémentaires, on abouti à un système algébrique dont la
solution conduit à la distribution des densités de courant.
La (MCC) peut être coupler à une autre méthode numérique de discrétisation (MEF ou
MDF) de la charge.
I-6-5 Méthode des volumes finis (MVF)
La (MVF) se déduit à partir de la (MDF) , le domaine d’étude ( Ω ) est subdivisé en
volumes élémentaires de telle manière que chaque volume entoure un nœud de maillage (
celui des différences finis ).
Cette méthode a connu un progrès important non seulement pour la modélisation en
mécanique des fluides , mais aussi pour la modélisation d’autres branches de l’ingénierie
scientifique : électromagnétisme , transfert thermique ..etc .
I-7 CONCLUSION
Dans ce chapitre , partant des lois de base caractérisant les phénomènes
électromagnétiques dans les dispositifs magnétiques , des modèles mathématiques ont été
Etablis dans leurs formes générales , ensuite , et en liaison avec le type d’application
à traiter , Le cas cylindrique axisymétrique considéré comme un cas particulier a été
détaillé
Une fois ce modèle mathématique établi nous proposons de décrire dans le prochain
Chapitre, Le modèle numérique opté pour la résolution des équations mathématiques
finales décrivant l’évolution spatiale et temporelle des phénomènes physiques présent dans
les dispositifs électrotechniques.
20
Chapitre II
Modèle Numérique
CHAPITRE II
MODELE NUMERIQUE
II-1 Introduction
Nous présentons dans ce chapitre la méthode utilisée pour la résolution de
l’équation aux dérivées partielles,( l’équation magnétodynamique non linéaire )
II–2 Formulation volume finis
La méthode des volumes finis peut être vue comme étant une variante de la
méthode de collocation par sous domaines . le domaine d’étude (Ω) est devisé en un
nombre d’éléments ,chaque élément contient quatre nœuds de maillage.
- Description d’un volume fini
Un volume fini entoure chaque nœud de maillage (voir figure II.1) dont celui ci
est entouré par quatre nœuds voisins : celui du nord N , du sud S ,du l’est E et celui
du l’ouest W.
Le volume fini est délimité par les points (e :est, w :ouest ,n :nord , s : sud )
∆r
(δr)w
(δr)e
N
Eléments
finis
W
w
e
E
(δz)s
∆z
(δz)n
n
S
Figure II.1 Description d’un volume fini
21
Volume fini
Chapitre II
Modèle Numérique
L’équation aux dérivées partielles est intégrée dans chacun des volumes élémentaires.
L’analyse mathématique de cette méthode a récemment permis de développer les
principes fondamentaux qui font d’elle une méthode de discrétisation performante.
II-2-1- discrétisation de l’équation magnétodynamique non linéaire en régime
transitoire
Rappelons l’équation magnétodynamique (I-62 ) dans le cas où la charge est
immobile par rapport à l’inducteur
∂ (ν ∂A* )+ ∂ (ν ∂A* )−σ ∂A* =−Jex
∂z r ∂ z ∂r r ∂ r r ∂ t
Pour résoudre cette équation , on applique la méthode des volumes finis [12]
On intègre cette équation dans le temps et dans l’espace sur le volume fini
correspondant au nœud P est délimité par les frontières ( e,w , n , s ) voir figure II.1
e n t + ∆t
∫∫ ∫
w s
t
e n t + ∆t
∂ ν ∂A
(
)drdzdt + ∫ ∫
∂z r ∂z
w s
∫
t
e n t + ∆t
∂ ν ∂A∗
(
) drdzdt − ∫ ∫
∂r r ∂r
w s
terme A
e n t + ∆t
A = −∫ ∫
w s
t + ∆t
∫J
t
ex
drdzdt
e
r2 
A = ∫ − J ex   z sn dt
 2 w
t
t + ∆t
A=
∫
t
 re2 − rw2 
− J ex 
 [z n − z s ]dt
 2 
avec :
22
∫
t
(
σ ∂A∗
r ∂t
e n t + ∆t
)drdzdt = − ∫ ∫
w s
∫J
t
ex
drdzdt
Chapitre II
Modèle Numérique
∆r
2
re =r p +
r2
⇒
e
2
r w=rp − ∆r
2
zn = z p +
−
rw2
= rp ∆ r
2
(II-2)
∆z
2
⇒
∆z
z s = zp −
2
zn − zs =∆z
(II-3)
donc on a :
t + ∆t
A=
∫ − Jexrp∆r∆zdt = − Jexrp∆r∆z∆t
t
A = − Jexrp∆r∆z∆t
(II-4)
Terme B
e
n t+ ∆t
∫∫ ∫
B =
w
σ
B =
r
σ
B =
r
s
t
(
σ ∂A∗
r
∂t
t+ ∆t
rp ∆ r ∆ z
∫
t
rp ∆ r ∆ z ( A
∗
p
) rdrdzdt
∂A∗
dt
∂t
(II-5)
− A ∗p )
Terme C
t + ∆t
C=
∫ν∆r (
t
t + ∆t
C=
∫
t
( AN∗ − AP∗ ) ( AP∗ − AS∗
)dt
−
(δz ) n
(δz ) s
ν n ∆r ∗ ν s ∆r ∗ ν n ∆r ν s ∆r ∗ 
+
) AP dt
AN +
AS − (

(δz ) s
(δz ) n (δz ) s
 (δz ) n

23
Chapitre II
Modèle Numérique
Posons :
an = νn∆r
(δ z)n
(II-6)
νs∆r
(δ z)s
(II-7)
as
=
t + ∆t
∫
C=
t + ∆t
an An*dt +
t
∫
t + ∆t
as As*dt −
t
∫ (a
n
+ as ) AP* dt
t
Pour l’intégration de ce terme dans le temps nous appliquons la formule
suivante :
t + ∆t
∫ A dt =[fA +(1− f)A
*
P
*p
]∆t
(II-8)
*°
P
t
∆t: le pas de temps adopté pour la discrétisation temporelle
f : facteur appartenant à l’intervalle [0,1]
A : le vecteur potentiel au pas de temps précédent à l’instant t = to
C = a n [ fA N* + (1 − f ) AN*° ]∆ t + a s [ fA S* + (1 − f ) AS*° ]∆ t − ( a n + a s )[ fA *p + (1 − f ) A *p° ]∆ t
(II-9)
Terme D
D =[
νe∆z * νw∆z *
νe∆z
οw∆z *
+
) A p ]dt
Aw − (
AE +
(δ r ) e
(δ r ) w
(δ r ) e (δ r ) w
posons :
ae =
νe∆z
(δ r ) e
(II-10)
24
Chapitre II
aw
t + ∆t
D=
∫
Modèle Numérique
νe∆z
(δ r)e
=
ae AE* dt +
t + ∆t
t
∫
t
(II-11)
t + ∆t
aw AW* dt − ∫(ae +aw)AP* dt
t
= a e [ fAE* + (1 − f ) AE*° ]∆t + aw [ fAw* + (1 − f ) Aw*° ]∆t − (ae + aw )[ fA*p + (1 − f ) A*p° ]∆t (II-12)
D’où l’équation discrète prenne la forme suivante :
an[fAN* +(1− f)AN*°]∆t + as[fAs* +(1− f)As*°]∆t −(an + as)[fA*p +(1− f)A*p°]∆t +
a e[fAE* +(1− f)AE*°]∆t + aw[fAw* +(1− f)Aw*°]∆t −(ae + aw)[fA*p +(1− f)A*p°]∆t - σ rp∆r∆z(AP* − AP*°) =
r
-Jex rp ∆r∆z∆t
(II-13)
Pour la simplicité et les satisfactions physiques , une formulation implicite de
l’équation discrète précédente est nécessaire , le facteur f prend alors la valeur 1
f =1
ainsi l’équation discrète devient
:
a n AN* ∆t + a s As* ∆t − (a n + a s ) A *p ∆t + a e AE* + aw Aw* -
σ
r
rp∆r∆z ( AP* − AP*° ) =
-Jex rp ∆r∆z∆t
(II-14)
la division par le pas de temps ∆t ,nous permet d’écrire :
σ
[r
rp∆r∆z
∆t
σ
+ a n + a s + a e + a w ] A = an A + as A + a e A + a w A + r
*
P
*
N
Jex rp ∆r∆z
*
s
*
E
*
w
rp∆r∆z
∆t
A*p° +
(II-15)
On pose :
25
Chapitre II
σ
a 0p = r
Modèle Numérique
rp∆r∆z
(II-16)
∆t
a p =a0p + ( an + as + ae + aw )
(II-17)
b=a0p A*p° + Jexrp ∆r∆z
(II-18)
donc l’équation (I-62) devient :
a p A *P = an AN* + as As* + a e AE* +aw Aw* +b
(II-19)
si la discrétisation du domaine comporte N noeuds on est amené à étudier un système
de N équations à N inconnues
la forme matricielle de ce système d’équations s’écrit sous la forme :
[M+iL] { A* }= {F}
où :
[ M + iL ] : matrice coefficients
{ A* }
: vecteur inconnu
{F}
: vecteur source.
conditions aux limites
Parmi les conditions aux limites les plus utilisées on distingue celle de types :
- DIRICHLET : cette condition impose les valeurs de A aux bords du domaine
d’étude ,ces valeurs sont prises nulles par la considération de l’infini physique.
26
Chapitre II
Modèle Numérique
- NEUMANN : elle est utilisée dans le cas où le système à étudier présente des plans
de symétries, cette condition impose
∂A
= 0 au niveau des plans de symétrie où n
∂n
représente la normale au plan de coupe.
II-3 Méthodes de résolutions des systèmes des équations algébriques
pour la résolution des systèmes d’équations algébriques il existe deux grandes
catégories de méthodes
( les méthodes directes
( les méthodes itératives
II-3-1 Méthodes directes
ces méthodes conduisent à une solution en un nombre fini d’étapes (éventuellement
grand ) , cependant, comme l’ordinateur représente chaque nombre par un ensemble
limite de digits , les méthodes directes sont précis mais demandent beaucoup d’espace
mémoire et de temps de calcul
II-3-2 Méthodes itératives
pour les matrices d’ordre relevé , comportant de nombreux éléments nuls (matrice
creuses) , on utilise les méthodes itératives qui font passer d’un estimé x(k) de la
solution à un autre estimé x (k+1) de cette solution , s’il y a convergence la solution ne
pourrait être atteinte qu’après un nombre d’itérations , parmi ces méthodes ,nous
citons :
II 2-2-1 Méthode de JACOBI
elle est basée sur la transformation du système
[A][x] = [B] en X i(k+1) = [bi - ∑ aij xjk] / aii , ( i ≠ j) , i = 1,…n
0
on estime une valeur arbitraire initiale xi pour ( k = 0 ) le calcul sera arrêté si
27
(II-20)
Chapitre II
Modèle Numérique
|xi(k+1) -xik | < ε dans le cas d’une précision absolue
et
xi( k +1) − xik
⟨ε
xik
dans le cas d’une précision relative .
ε : précision imposée par l’utilisateur .
II-3-2-2 Méthode de GAUSS SEIDEL
Cette méthode consiste à transformer le système
[A][x] = [B] en X i(k+1) = [bi - ∑ aij xj(k+1) -∑ aij xjk ] / aii , ( i ≠ j) , i = 1,…n (II-21)
En donnant aux inconnues xjk des valeurs arbitraires initial xi0 (pour k=0) le processus
serra arrêté si :
|xi(k+1) -xik | < ε dans le cas d’une précision absolue
et
xi( k +1) − xik
⟨ε
xik
dans le cas d’une précision relative
ε : précision imposée par l’utilisateur
II-3-2-3 Méthode de relaxation
Pour améliorer la rapidité de la convergence si on est sur qu’il n’y a pas
divergence ,dans le cas des méthodes itératives , on utilise un facteur de relaxation α
tel que
xi(k+1) = xik + α(xi(k+1) -xik)
(II-22)
28
Chapitre II
Modèle Numérique
II-4 Modèle de JILES ATHERTON
Trois paramètres sont particulièrement importants dans cette première courbe
d’aimantation [13]
- L’aimantation de saturation
- L’aimantation rémanente
- Le champ coercif
Le cycle d’hystérésis peut être représenté en termes d’induction B où l’aimantation M
est en fonction du champ H
La relation entre l’induction et l’aimantation est
B = µ0 ( H + M ).
(II-23)
Plusieurs modèles d’hystérésis déterminent la capacité et la variété des cycles
d’hystérésis qu’il peuvent générer de ces modèles qui décrit le comportement
non linéaires des matériaux ferromagnétiques.
Les travaux les plus importants de modélisation du phénomènes ont été effectué par
JILES en se basant sur un calcul d’énergie des moments magnétiques
JILES et ATHERTON ont décomposé l’aimantation M en deux composantes
la composante réversible Mrev et la composante irréversible Mirr.
M = Mrev + Mirr
(II-24)
D’où la formulation différentielle de l’aimantation s’écrit :
dM an ( H e )
M an ( H e ) − M irr
dM
=c
+ (1 − c )
dH
dH
kδ − α ( M an ( H e ) − M irr )
29
(II-25 )
Chapitre II
Modèle Numérique
k : Coefficient liée aux pertes irréversibles
c : Coefficient de réversibilité
α : Couplage inter-domaines , lié à l’énergie d’échange
δ : Paramètre qui prend la valeur ±1
H e : Champ effectif
M an : Aimantation anhystérétique
II-5 Conclusion
Le domaine de calcul est divisé en un certain nombre de volume , l’équation
différentielle est intégrée pour chaque volume , des expressions sont choisies pour
exprimer les variations de potentiel A entre les points du maillage ,le résultat de cette
intégration donne l’équation discrète exprimée à l’aide des valeurs de la fonction A
pour un ensemble de points du maillage .
Les méthodes itératives sont généralement préférées par rapport aux méthodes
dites directes pour les grands systèmes [A][x] = [B] à matrice creuse parce qu’elles
ne modifient pas la matrice de rigidité [A] et que dans un
grand nombre
d’applications cette matrice [A] est creuse et présente une structure particulière
(triangulaire) ce qui lui permet de ne pas être mémorisée explicitement et assurée
pratiquement la convergence .
Dans le cadre de notre travail , la méthode utilisée pour la résolution des systèmes
d’équations algébriques est la méthode de GAUSS SEIDEL couplée à la méthode de
relaxation .
Le chapitre suivant , sera consacré à l’implémentation sous environnement Matlab
le modèle numériques de calcul.
30
Chapitre III
Implémentation sous environnement matlab Des modèles mathematico-numeriques
CHAPITRE III
IMPLEMENTATION SOUS ENVIRENNEMENT MATLAB
DES MODELES MATHEMATICO-NUMERIQUES
III-1 Introduction
Après avoir donné les modèles numériques de calcul , l’étape suivante consiste à les
implémenter sous l’environnement MATLAB[14].
III- 2 Présentation des modules du code de calcul pour la résolution de l’équation
électromagnétique
III-2-1 Structure générale
La figure III-1 présente l’organisation du code de calcul utilisé pour la résolution de
l’équation magnétodynamique [15].
Ce code de calcul est constitué des sous programmes suivants :
Introduction des données
Procédure de calcul
Visualisation des résultats
Figure III-1 . Organisation du code de calcul électromagnétique
31
Chapitre III
Implémentation sous environnement matlab Des modèles mathematico-numeriques
III-2-1-1 Introduction des données
Dans ce sous programme, nous décrivons la géométrie du domaine, en introduisant
les dimensions de la charge , de l’inducteur et des frontières du domaines représentant
l’infini physique , aussi les propriétés physiques des matériaux ainsi que la fréquence et la
densité du courant d’alimentation .
Ensuite vient la fonction suivante qui est la discrétisation en volumes finis.
III-2-1-2 Procédure de calcul et la résolution de l’équation électromagnétique
Le modèle algébrique de l’équation magnétique ,présenté au chapitre précédant sous
une forme matricielle est donné par :
[ M + iL ] :matrice coefficients
{ A* }
{F}
: vecteur inconnu
: vecteur source.
En calculant les coordonnées des nœuds ainsi que les coefficients de la matrice du système
[M+iL] { A* }= {F} à partir du maillage en volume finis et les propriétés physiques en
chaque nœud .
Le modèle algébrique obtenu sera résolu par une méthode itérative ,on suppose connu
à priori une valeur de A* quelconque ( fournie par les conditions initiales ).
La solution à une itération donnée est obtenue à partir de la solution précédente, on
stoppe les itérations lorsque la différence entre les solutions successives A*k et A*k+1 est
inférieure à ε =10-3 .
Notons qu’il est important théoriquement de choisir une estimation de la solution qui soit
suffisamment proche de la solution finale afin de garantir au mieux la convergence
Ensuite, et d’après l’expression :
A = A* / r
(III-1)
On calcule le potentiel A avec :
r : est la coordonnée radiale du nœud
32
Chapitre III
Implémentation sous environnement matlab Des modèles mathematico-numeriques
B est déduit directement de l’équation :
B = rotA
(III-2)
et à partir de la loi constitutive du milieu on tire
H= (B – µ0M) / µ0
(III-3)
Où l’aimantation M est calculée par le modèle de JILES-ATHERTON dont son expression
est donnée par la formule (II-25)
III-2-1-3 Visualisation des résultas obtenus à partir de la résolution de l’équation
magnétodynamique
<
Nous présentons les résultats suivants:
- Le module de potentiel vecteur magnétique A
- L’induction magnétique B
-
le champ magnétique H
33
Chapitre III
Implémentation sous environnement matlab Des modèles mathematico-numeriques
la figure III-2 illustre les différentes fonctions de la procédure du calcul et la résolution de
l’équation électromagnétique
Début
Module de maillage
Il permet de définir suivant chaque direction :
Bloc d’entrée
( Le nombre de domaines géométriques.
( La dimension de chaque domaine géométrique.
( Le nombre d’éléments dans chaque domaine.
( Le nombre et la position des nœuds.
( Le pas de chaque domaine.
Module de base de données
Il permet de définir dans chaque milieu et dans le
cas générale :
( La perméabilité magnétique.
( La densité de courant source.
( La fréquence
Module d’affectation
Il consiste à donner et calculer les
coefficients
des
équations
algébriques
à
résoudre à partir des propriétés physiques et
électromagnétiques.
I
Module des conditions aux limites
Il consiste à donner le type des
conditions aux limites et de modifier
Les coefficients des équations
algébriques suivant le type de limite
34
Chapitre III
Implémentation sous environnement matlab Des modèles mathematico-numeriques
Initialisation de l’erreur
\\
Initialisation de vecteur potentiel
A* :I=1
I
Intégration du modèle de
JILES-ATHERTON
I
= I + 1
Résolution de système algébrique [M+il] {A*} = {f} et
détermination de potentiel vecteur magnétique modifié
A*
A* calculé = A* initiale
Relaxation sur A*
Non
Procédure de
calcul
Test de
convergence
Oui
Déduction du potentiel vecteur
magnétique A.
A*
A= ‫ــــــ‬
r
Il consiste à calculer et à visualiser les
grandeurs électromagnétiques
( Champ magnétique H
( L’induction magnétique B
( Le potentiel vecteur magnétique A
Visualisation des
résultats
Fin
FigureIII-3 :Algorithme de résolution de l’équation
électromagnétique
35
Chapitre IV
Application et validation
CHAPITRE IV
APLICATION ET VALIDATION
IV-1 Introduction
Nous présentons dans tous ce qui suit la validation et l’application de notre modèle
présenté au chapitre précédent
VI-2 Présentation de l’application
Notre application est constituée par une charge cylindrique pleine plongé à l’intérieur
d’un inducteur.
Cette charge est un circuit magnétique
de rayon égale à 29mm et d’une hauteur
égale à 72mm par contre l’inducteur est en cuivre de rayon intérieur égale à 29.5mm
et de rayon extérieur égale à 59.5mm et d’une hauteur égale à 120mm
Notre dispositif est alimenté par un courant de forme sinusoïdale de densité
J = 25.231 e 6 A/m2 sous une fréquence f = 50Hz
Entrefer
Charge (tube)
inducteur
Figure VI-1 Le Modèle d’application
36
Chapitre IV
Application et validation
VI-2-1 Modèle géométrique
En raison de la symétrie axiale du dispositif, seule
une représentation
bidimensionnelle du système sera considéré, ainsi le modèle adopté comprend trois
régions nécessaires :
( La pièce (charge)
( La source (inducteur)
( L’air environnant
le système ci dessous présente le dispositif en coupe dans le plan (r,z)
z(m)
Charge(1)
Inducteur(2)
air environnent (3)
Figure VI-2 Modèle géométrique du dispositif
VI-2-2 Modèle physique
(
inducteur (cuivre )
- courant d’excitation
- perméabilité magnétique
(
J = 25..231 e6 A/m2
µr = 1
charge magnétique
37
r(m)
Chapitre IV
Application et validation
c’est un circuit magnétique dont la première courbe d’aimantation est illustrée dans
la figure 5
VI-2-3 Maillage de domaine d’étude de résolution
A=0
z
A=0
A=0
A=0
r
Figure VI-3 Maillage régionale du domaine d’étude
( Le nombre de nœuds
Nr
= 30
Nz =30
(
Le nombre de points de calcul :
30 × 30 = 900
VI-2-4 Résultats
Nous présentant dans ce chapitre les résultats obtenus après résolution de l’équation
magnétodynamique, ces résultats sont :
38
Chapitre IV
Application et validation
( La variation radiale potentiel vecteur magnétique A pour z = [6 16 18] mm
( La répartition dans le plan (r,z) du potentiel vecteur magnétique A
( La répartition dans le plan (r,z) du l’induction magnétique B
( La répartition dans le plan (r,z) du champ magnétique H
( La représentation des courbes d’aimantation B = f( M) et H = f( M)
39
Chapitre IV
Application et validation
IV-3 Interprétation des résultats
Figure 1 : Présente la variation radiale de potentiel vecteur magnétique pour des
différentes positions.
Nous remarquons que le champ ait une valeur maximale au centre de l’inducteur
diminuant progressivement jusqu’à avoir la valeur nulle à la limite du domine d’étude
Figure 2 : Illustre la répartition du module potentiel vecteur dans le plan ( r , z )
Nous constatons qu’il y a une bonne distribution de ce vecteur
Figure 3 : Représente les lignes équipotentielles de A et nous remarquons que ces
lignes pénètrent bien à l’intérieur de la charge et prendre la valeur presque nulle a la
limite de domaines d’étude.
Figure 4 : Illustre la répartition de vecteur champ magnétique, nous remarquons qu’on
a une grande concentration du champ magnétique entre la charge et l’inducteur .
Figure 5 : Donne la première courbe d’aimantation du modèle LILES ATHERTON
Figure 6 : Montre l’évolution de l’aimantation M avec H par le modèle de JILES
ATHERTON
Figure 7 : Présente la première courbe d’aimantation trouvée par la méthode
numérique (MVF)
Cette courbe Traduit que les substances ferromagnétiques présentent une aimantation
très élevée de plus elle n’est pas totalement proportionnelle avec le champ
magnétique.
Cette dernière croit et tend vers une limite dit aimantation de saturation lorsque le
champ H est suffisant.
40
Chapitre IV
Application et validation
Figure 8 : Ces courbes représentent les variations de l’induction B ou de l’intensité
d’aimantation M dans le matériau en fonction de champ H ,lorsque celui ci croit de
zéro données par la méthode numérique (MVF)
Figure 9 et 10 : Montrent la concordance entre résultas (la première courbe
d’aimantation, évolution de l’aimantation M en fonction de champ H) obtenues avec
MVF et celles du modèle de JILES ATHERTON
.
Figure 11 : Illustre la répartition de l’induction B dans le plan ( r , z ) .
Cette induction a une valeur maximale est :B max = 1.8T
Figure 12 : Illustre la répartition du champ H dans le plan ( r , z ) .
Ce champ ait une valeur maximale de :H max = 12 e5 A/m
41
Chapitre IV
Application et validation
Figure 1 : variation radiale du module de potentiel magnétique A
Figure 2 : Répartition du module du potentiel vecteur magnétique dans le plan ( r. z )
42
Chapitre IV
Application et validation
Figure 3 : Lignes équipotentielle A
Z(m)
R (m)
Figure 4 : La répartition de vecteur champ magnétique
43
Chapitre IV
Application et validation
Figure 5: La première courbe d’aimantation B( H ) du modèle de JILES
Figure 6 :Evolution de l’aimantation avec le champ H par le modèle de JILES
44
Chapitre IV
Application et validation
Figure 7: La première courbe d’aimantation B( H ) du modèle numérique
Figure 8 :Evolution de l’aimantation avec le champ H par le modèle numérique
45
Chapitre IV
Application et validation
Figure : 9 : La concordance entre la première courbe d’aimantation obtenue et celle du modèle de JILES
ATHERTON
Figure : 10 La concordance entre la courbe de l’évolution de l’aimantation avec le
champ H par le modèle numérique obtenue et celle du modèle de JILES ATHERTON
46
Chapitre IV
Application et validation
Figure 11 : Répartition de l’induction magnétique dans le plan (r.z)
Figure 12 : Répartition du champ magnétique H dans le plan (r.z)
47
Conclusion générale
CONCLUSION GENERALE
Notre travail a présenté une contribution à la modélisation des phénomènes
électromagnétiques non linéaires en matière d’application ,on s’est intéressé à un
dispositif type dont les conditions géométriques et physique sont choisies de manière
à répondre aux exigences et à l’objectif du sujet , c’est à dire faire fonctionner le
système en un régime magnétique non linéaire .
Vu la non linéarité de l’équation aux dérivées partielles caractéristique de
phénomène traité ( phénomène électromagnétique ) causé par les variations des
identifications physiques la résolution de cette équations ne peut se faire que par une
voie purement numérique, pour ceci la méthode des volumes finis est choisie comme
méthode basée sur un principe de discrétisation celle ci semble économique et simple
à mètre en œuvre .Une méthode de résolution numérique qu’est la méthode de GaussSeidel couplé à la méthode de relaxation étais bien adoptée au traitement des non
linéarité dans l’étude du problème magnétodynamique non linéaire .
Les résultats de la modélisation ainsi
obtenus à caractère magnétique :le
potentiel vecteur magnétique ,l’induction magnétique ,le champs magnétique ,sont
largement présentés et discutés.
En matière de validation ,une comparaison avec des données du problème : lorsque
notre système fonctionne en régime linéaire , et à vide ,en absence totale d’un milieu
ferromagnétique , sont utilisés comme base pour la validation de nos résultats trouvés.
les résultats de la comparaison ,sont largement satisfaisants .
Parmis les difficultés rencontrés durant cette étude nous citons :
(
Les difficultés liées au maillage de l’air qui est une partie passive mais qui
demande un nombre important de nœuds d’où la nécessité d’un maillage
irrégulier pour réduire le nombre de nœuds.
(
Les difficultés liées aux conditions aux limites , ce problème se pose
essentiellement lorsque on a limité le domaine d’étude et annuler la valeur potentiel
Conclusion générale
vecteur magnétique A sur ses frontières ,alors que théoriquement ces frontières sont
infinies Ce problème est influencé sur les résultats de notre étude .
En perspective , nous proposons ,en moyen terme , d’affronter , dans ces
mêmes conditions , la modélisation des dispositifs de chauffage par induction
fonctionnant à bases température , en deux dimensions et en trois dimensions par la
suite.
BIBLIOGRAPHIE
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de Batna ,octobre 1995.
[2] B.SAINT.JEAN , « Electrotechnique et machines électriques »,éditions eyrolles,
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