Le calcul et les nombres Définition et propriétés 1. Les nombres

Le calcul et les nombres
Définition et propriétés
1. Les nombres entiers naturels :
Un nombre s’écrit soit sous la forme de numéral arabe (avec
l’emploi des chiffres indo-arabes), soit sous la forme de numéral verbal
écrit (on parle aussi d’écriture littérale).
Dans le cadre d’écriture chiffrée, le système numérique est basé sur la
numération en base dix. Celle-ci définit quelques règles simples de
production :
- Le chiffre le plus à droite représente le chiffre des unités de premier
ordre.
- Chaque chiffre à l’intérieur du nombre représente 10 fois plus que celui
qui est à sa droite.
- Le chiffre 0 tient la place des ordres qui manquent.
Il est important de ne pas confondre chiffre et nombre. Le chiffre est
de l’ordre du signifiant puisqu’il permet d’écrire un nombre. Un nombre
renvoie au concept de signifié puisqu’il représente la notion de quantité.
Exemple : 268 est un nombre qui s’écrit au moyen des chiffres 2, 6 et 8.
Mais il pourrait s’écrire d’une autre façon telle « deux cent soixante-huit ».
Second exemple : 5 est à la fois un nombre et un chiffre (nombre à un seul
chiffre renvoyant à la quantité de 5 unités : celle-ci peut s’écrire d’autres
façons comme cinq, five, cinco, V….)
2. Les nombres décimaux :
Les nombres décimaux sont très utilisés dans la vie courante et
demandent donc une bonne compréhension de leur fonctionnement.
Lorsqu’on a besoin de mesurer, de connaître une grandeur précise, on est
amené à partager l’unité en dix, cent, mille… parties égales.

La partie située à gauche de la virgule est nommée la partie entière,
alors que la partie située à droite de la virgule sera nommée la partie
décimale. Les chiffres de cette partie décimale sont appelés chiffres
décimaux.
- A noter : un nombre entier est un nombre décimal dont l’écriture
décimale est réduite et ne comporte donc pas de virgule.
- Ne pas confondre la notion de nombre décimal avec la notion de
nombre à virgule. En effet, si nous considérons le nombre 0,33333….,
résultat du quotient de 10 par 3, nous trouvons une infinité de chiffres
après la virgule. Ce nombre n’est donc pas un nombre décimal car le
nombre de chiffres significatifs après la virgule ne s’arrête pas.
3. Les nombres en écriture fractionnaire :
Une fraction est un nombre écrit sous la forme 𝑎
𝑏 où (a ; b) désigne un
couple d’entiers naturels avec b non nul.
Les nombres a et b s’appellent les termes de la fraction :
a est le numérateur et b le dénominateur.
o Propriété : tout nombre entier peut s’écrire sous forme d’une
fraction. Quel que soit l’entier a, a = 𝑎
1 .
Une fraction est décimale quand son dénominateur est 10 ou une puissance
de 10 (100, 1000 …).
o Propriété : tout nombre décimal peut s’écrire sous forme d’une
fraction décimale.

Prendre la fraction d’un nombre :
Pour prendre la fraction d’un nombre, on multiplie le nombre par le
numérateur et on divise le résultat par le dénominateur :
n x 𝑎
𝑏 = 𝑛 x 𝑎 𝑏
Exemple : 15 x 2
3 = 15 x 2 3 = 10
Simplifier des fractions :
Simplifier une fraction, c’est la remplacer par une fraction égale dont le
numérateur et le dénominateur sont plus petits. Pour ce faire, il faudra diviser
les deux termes de la fraction par le même nombre, si cela est possible.
Exemple :
700
420 = 700 ∶ 10 420 ∶ 10 = 70 ∶ 7 42 ∶ 7 = 10 ∶ 2 6 ∶ 2 = 5 3 .
On arrive in fine à une fraction qui ne peut plus être simplifiée. On dit alors
de cette fraction qu’elle est irréductible.
4. Les nombres relatifs :
Un nombre relatif se compose d’un signe (+ ou -) et d’une partie numérique
que l’on appelle distance à zéro.
Deux nombres sont opposés lorsqu’ils ont la même distance à 0 et qu’ils sont
de signes contraires.
Exemple : 4,5 et – 4,5 sont deux nombres opposés (à noter que 0 est son
propre opposé).
Comparaison des nombres relatifs :
Le plus grand de deux nombres négatifs est celui qui a la plus petite distance
à zéro (exemple : - 7 < - 3 car – 3 est le nombre le plus proche de 0.
Si l’on compare un nombre relatif positif et un nombre relatif négatif, le plus
grand est le nombre positif (exemple : - 16 < 5).

5. Les nombres inverses :
Deux nombres sont dits inverses lorsque leur produit est égal à 1.
Par exemple, 4 et 0,25 sont des nombres inverses car 4 x 0,25 = 1.
A noter que 1 est son propre inverse (1 x 1 = 1) et 0 est le seul nombre qui
n’a pas d’inverse.
Dans le cadre d’un quotient, le quotient 𝑎
𝑏 a pour inverse le quotient 𝑏 𝑎.
Exemple : la fraction 5
3 a pour inverse 3 5. Car 5 x 3 3 x 5 = 15 15 = 1.
6. Les puissances :
o Les puissances de 10 :
La notation 10n désigne le produit de n facteurs 10 où n désignent un
entier naturel supérieur ou égal à 2.
10n = 10 x … x 10 = 10…0
n facteurs n zéros
n s’appelle l’exposant : 10n se lit 10 exposant n ou 10 puissance n.
Exemple : 1 000 = 10 x 10 x 10 = 103. Le nombre 3 indique de ce fait le
nombre de facteurs 10.
A noter les deux cas particuliers : 101 = 10
100 = 1

Propriétés :
n et m sont deux entiers relatifs.
10n x 10m = 10n + m (on additionne ici les deux exposants).
10n / 10m = 10n - m (on soustrait ici les deux exposants).
(10n )m = 10n x m (on multiplie ici les deux exposants).
o Les puissances d’un nombre :
a est un nombre quelconque et n est un entier supérieur à 2. Le nombre
an se définit alors par an = a x a x … x a, a étant écrit n fois.
Cette écriture se lit a exposant n (et a2 se lit a au carré, a3 se lit a au cube
et an se lit a puissance n).
A noter : si a ≠ 0, a0 = 1.
00 = 0 x … x 0 = 0, mais 00 n’a pas de signification.
a-1 est l’inverse de a.
Attention : deux puissance trois est différent de trois puissance deux !
23 = 2 x 2 x 2 = 8 et 32 = 3 x 3 = 9
7. Comparaison de nombres :
- Comparaison de nombres entiers :
Lorsque deux nombres ont un nombre de chiffres différents, le plus
grand des deux nombres est le nombre qui a le plus de chiffres.
Lorsque les deux nombres ont le même nombre de chiffres, la
comparaison se fait sur les chiffres de même rang à partir de la gauche :
Exemples : 6 856 > 4 845 car 6 est plus grand que 4.
7 637 > 7 598 car 6 est plus grand que 5.
Ce principe est dit lexicographique car il s’inspire du rangement
proposé dans un dictionnaire.