notes de cours (format A4) - Département de physique

MÉCANIQUE II
PHQ310
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
10 août 2016

2

Table des matières
1 Mécanique de Lagrange 9
A Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.1 Coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.2 Forces de contrainte et déplacements virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B Applications élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
C Principe de la moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.1 Énoncé et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.2 La brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
C.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D Application aux petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
D.1 Système masses-ressorts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
D.2 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Mécanique de Hamilton 39
A Équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.1 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.2 Moments conjugués et hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.3 Exemples élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.4 Principe de la moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B Formalisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.1 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.2 Théorèmes de Liouville et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.3 Lois de conservation et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
C Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.1 Définitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.2 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C.3 Transformations canoniques infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
D Théorie de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
D.1 Équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
D.2 Fonction caractéristique de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
D.3 La mécanique classique comme limite de la mécanique ondulatoire . . . . . 61
3 Mouvement des corps rigides 69
A Cinématique des corps rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.1 Matrices de Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.2 Rotations passives et actives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B Vitesse angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.1 Rotations infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.2 Caractère vectoriel de la vitesse angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.3 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.4 Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D Tenseur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3

4 TABLE DES MATIÈRES
D.1 Relation entre vitesse angulaire et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . 79
D.2 Tenseurs et axes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
E Mouvement libre d’un objet rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
E.1 Équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
E.2 Rotation libre d’un objet symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
E.3 Rotation libre d’un objet asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
F Mouvement d’une toupie symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
F.1 Lagrangien, hamiltonien et problème effectif à une variable . . . . . . . . . 86
F.2 Précession uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
F.3 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
F.4 Toupie dormante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
G Précession des équinoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
G.1 Énergie potentielle d’un objet plongé dans un champ gravitationnel . . . . 93
G.2 Fréquence de précession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Forces centrales 103
A Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.1 Réduction du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2 Problème radial effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.3 Intégrale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.4 Théorème du viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B Le problème de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.1 Sections coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.2 Équation de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.3 Repérage des orbites dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
C Théorie classique de la diffusion par un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C.1 Section efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C.2 Formule de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
D Forces centrales et équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
D.1 Équation de Hamilton-Jacobi dans le cas d’un potentiel azimutal . . . . . . 119
D.2 Cas d’un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
D.3 Variables d’action-angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D.4 Variables d’action-angle dans le problème de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 124
E Introduction à la théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
E.1 Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
E.2 Précession des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 Relativité et électromagnétisme 135
A Théorie de la relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.1 Espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2 Exemples d’invariants et de quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.1 Action d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.2 Particule chargée dans un champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . 140
B.3 Forme covariante de l’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.4 Tenseur de Faraday et transformation des champs . . . . . . . . . . . . . . . 145
C Théorie des circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.1 Description générale des circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.2 Lagrangien et hamiltonien d’un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6 Introduction aux systèmes chaotiques 157

TABLE DES MATIÈRES 5
A Problème de Hénon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.1 Potentiel de Hénon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.2 Sections de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.3 Stabilité et exposant de Liapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B Dynamique discrète et approche du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A Rappels d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.1 Notations indicielle et matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.2 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.3 Vecteurs et valeurs propres d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B Vecteurs et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173