Probabilités (2)

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Variables aléatoires
Exercice 1.
Un couple récemment marié projette d’avoir 3 enfants.
1. Après la naissance des trois enfants, déterminez les valeurs possibles du nombre X de filles qu’ils
auront eues.
2. La nature est ainsi faite que pour chaque naissance, la probabilité d’avoir une fille est de 0.48
et que le sexe de l’enfant à venir est indépendant du sexe de l’enfant déja né.
(a) Pour une naissance donnée, quelle est la probabilité d’avoir un garçon ?
(b) Déterminez, à l’aide d’un arbre, la probabilité qu’à l’issue des trois naissances, X soit égal
à 2.
(c) Complétez le tableau suivant :
Valeurs k possibles pour X
......
......
......
......
TOTAL
Probabilité que X = k
......
......
......
......
......
Définition : À l’issue d’une expérience aléatoire, il est parfois intéressant de compter le nombre
de fois où un certain résultat s’est produit, de mesurer le gain ou la perte d’argent qu’un résultat
a occasionné... Le résultat de ces comptages, de ces mesures est appelé une variable aléatoire.
Une variable aléatoire est souvent dénotée par une lettre majuscule : X, Y , Z, N , etc.
Si les valeurs d’une variables aléatoires sont isolées les unes des autres, on dit que cette variable
aléatoire est discrète.
Si une variable aléatoire peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle, on dit qu’elle est
continue.
Remarques
On peut retenir que lorsque une variable aléatoire est le résultat d’un comptage, cette variable aléatoire est discrète.
Lorsqu’elle est le résultat d’un mesurage, cette variable aléatoire est continue.
Définition [Distribution de probabilité pour une variable aléatoire discrète] : On appelle
ainsi le tableau qui donne la probabilité qu’une variable aléatoire X prenne la valeur k, lorsque k
décrit l’ensemble des résultats possibles pour X. On note cette probabilité P (X = k).
Remarques
On a toujours :
X
P (X = k) = . . . . . .
Exercice 2. Une variable aléatoire Y prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 et on sait que pour tout
y ∈ {1, . . . , 6}, P (Y = y) = ny 2 .
Trouvez la valeur de n.
Définition [Espérance d’une variable aléatoire discrète] : Imaginons qu’on observe un grand
nombre de familles de 3 enfants, comme dans l’exercice 1. Le nombre moyen d’enfants par famille
est appelé espérance de la variable aléatoire X.
Il se note E(X) et se calcule ainsi :
X
E(X) =
kP (X = k)
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Exercice 3. Trouvez E(X) pour la variable aléatoire X de l’exercice 1 et E(Y ) pour la variable
aléatoire Y de l’exercice 2.
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Loi binomiale
Exercice 4. Une pièce est truquée : quand on la lance, la probabilité d’avoir face (F) est 0.3 et
celle d’obtenir pile (P) est 0.7 ; les résultats des différents lancés sont indépendants les uns des autres.
A l’issue de 4 lancers, N est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où pile est apparu.
1. Quelle sont les valeurs possibles pour N ?
2. Donnez, sous la forme d’un tableau, la distribution de probabilité pour N .
3. Calculez E(N ).
Définition [Distribution binomiale] : On considère une expérience aléatoire ne menant qu’à
deux issues A et A′ : on note p la probabilité de A et q la probabilité de A′ .
Si on effectue n répétitions de cette expérience aléatoire dans des conditions identiques et indépendantes, alors la probabilité d’avoir obtenu exactement k fois le résultat A est donnée par :
n k n−k
p q
k
On dit que la variable aléatoire X qui compte le nombre de fois où A s’est realisé au cours des n
expériences suit la loi binomiale de paramètres n et p. On note : X ∼ B(n, p).
Remarques
Bien sûr, q = . . . . . . . . . . . ..
n X
n k n−k
De plus,
p q
= (. . . + . . .)... = . . . . . ..
k
k=0
Propriété : Si X ∼ B(n, p), alors E(X) = np.
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Loi normale
Exercice 5. On a mesuré la taille de 300 élèves dans une école. On obtient les résultats suivants,
regroupés par classe d’amplitude 5 cm :
T en cm
Fréq.
Fréq.
relative
(%)
T en cm
Fréq.
Fréq.
relative
(%)
140 6 T < 145
3
145 6 T < 150
16
150 6 T < 155
53
155 6 T < 160
79
160 6 T < 165
73
165 6 T < 170
50
170 6 T < 175
23
175 6 T < 180
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1. Achevez de remplir ce tableau.
2. Contruisez un histogramme dont l’aire des rectangles est proportionnelle à la fréquence relative
de chaque classe.
3. Estimez la moyenne et la variance de cette série de taille.
Définition : L’histogramme obtenu est sensiblement symétrique autour de la moyenne, avec un pic
autour de cette moyenne. On dit que les données qu’il représente sont normalement distribuées.
Il existe une courbe qui modélise la distribution de fréquences ci-dessus : cette courbe est celle de
la loi normale.
Choisissons un élève au hasard dans la population du lycée : la taille de cette élève est une variable
aléatoire continue. On dit que cette variable aléatoire suit une loi normale.
Pour des données normalement distribuées d’une moyenne µ = 0 et de variance σ 2 = 1, cette courbe
à l’allure suivante :
0.4
0.3
B
b
b
A
0.2
0.1
−3
−2
−1
1
2
3
−0.1
Son équation que vous n’avez pas à connaître a été découverte par le mathématicien Gauss.
Cette courbe est parfaitement symétrique par rapport à l’axe des y. Son maximum est en x = 0 et les
points A et B sont les points d’inflexion de la courbe. Ils ont pour abscisses 1 et −1.
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Lorsqu’une variable aléatoire suit la normale de moyenne 0 et de variance 1, on écrite X ∼ N (0; 1)
et la probabilité P (X 6 t) est donnée par la valeur de l’aire ci-dessous, notée Φ(t) et donnée par la
calculatrice :
L’aire totale de la surface délimitée par la courbe
et l’axe des abscisses vaut . . . . . . . . ..
Φ(t)
Remarques
Lorsque une variable aléatoire X est continue, on a toujours :
P (X 6 t) = P (X < t)
P (X > t) = P (X > t)
Cela signifie en particulier que P (X = t) = . . . . . ..
Exercice 6.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1)
1. Que vaut P (X < 0) ? P (X > 0) ?
2. Exprimez les probabilités suivantes en utilisant la fonction Φ : (On pourra s’aider d’un dessin.)
(a) P (X > t) ;
(b) P (s 6 X 6 t).
3. Comparez P (X < −t) et P (X < t).
Voici maintenant la courbe modélisant la loi normale de moyenne µ et de variance σ 2 quelconques :
entre les abscisses des points d’inflexion de la courbe et de la moyenne µ, il y a 1 écart-type σ.
b
b
x=µ
b
b
σ
b
σ
Définition et propriété : Lorsque une variable aléatoire Z est normalement distribuée autour
d’une moyenne µ avec une variance σ 2 , on dit que Z suit la loi normale N (µ, σ 2 ) et on écrit
Z ∼ N (µ, σ 2 ).
Z −µ
Dans ce cas, la variable aléatoire Z ∗ =
suit la loi N (0, 1) : Z ∗ est appelée variable centrée
σ
réduite associée à Z. On peut écrire : Z = σZ ∗ + µ.
Exercice 7.
La variable aléatoire suit la loi N (µ, σ 2 ) et on sait que P (Z < 60) = 0.33 et
P (Z < 80) = 0.6. Trouvez µ et σ.
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