TERMINALE ES PROBABILITÉ 1/3 Conditionnement et indépendance

TERMINALE ES
PROBABILITÉ 1/3
Conditionnement et indépendance
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I. CONDITIONNEMENT
1. Probabilité d’un événement A sachant un événement B
Exemple
Un sac contient 10 boules rouges et 7 boules jaunes. À l’intérieur de chaque boule, il y a une
bille en terre ou une bille en verre. Toutes les boules ont le même poids, quelle que soit la
nature de la bille à l’intérieur.
Terre Verre
Rouge
3
7
Jaune
5
2
On tire une boule au hasard, on l'ouvre et on observe la bille qu’elle contient.
On considère les événements :
R : « La boule tirée est rouge » ; V : « La boule tirée contient une bille en verre »
On constate que la boule tirée est rouge. On se demande quelle est la probabilité qu’elle
contienne une bille en verre.
Solution :
Parmi les 10 boules rouges, il y en a 7 qui contiennent une bille en verre. La probabilité
7
cherchée est donc
. On dit que c’est la « probabilité de l’événement V sachant que
10
l’événement R est réalisé » et on la note PR(V).
10
7
P(R  V)
On constate que P(R) =
et P(R  V) =
, donc que PR(V) =
17
17
P(R)
Définition :
Une loi de probabilité P est définie sur l’ensemble E des issues d'une expérience aléatoire. A
et B sont deux événements et P(B)  0.
La probabilité de l’événement A sachant que B s'est réalisé, notée PB(A) est définie par
P(A B)
PB(A) =
p(B)
Conséquence : probabilité de P(A  B)
P(A B)
, on tire P(A  B) = PB(A)  P(B) avec P(B)  0.
p(B)
On a aussi P(A  B) = PA(B)  P(A) avec P(A)  0.
De PB(A) =
2. Représentation à l’aide d’un arbre de probabilité
On représente la situation probabiliste étudiée à l’exemple par l’arbre pondéré suivant.
II. Indépendance – Probabilités totales.
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues E.
1. Indépendance de deux événements
Définition
Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que : P(A  B) = P(A)  P(B)
Remarques
• Si A et B sont indépendants et de probabilités non nulles, alors : PA(B) =
P(A  B)
=
P(A)
P(A)  P(B)
= P(B). Et aussi bien-sûr, PB(A) = P(A)
P(A)
• Si A et B sont deux événements incompatibles avec P(A)  0 et P(B)  0 alors ils ne sont
pas indépendants car P(A  B) = 0 et P(A)  P(B)  0
2. Indépendance de deux variables aléatoires
Définition
X et Y sont des variables aléatoires sur E.
On note x1, x2, ..., xn les valeurs prises par X et y1, y2, ..., ym celles prises par Y.
Dire que X et Y sont indépendantes signifie que pour tous i et j, les événements (X = xi) et
(Y = yj) sont indépendants.
3. Formule des probabilités totales
Définition
Dire que les événements B1, B2, ..., Bn forment une partition de E signifie qu’ils sont deux à
deux incompatibles et que leur réunion est E.
Théorème
Les événements B1, B2, ..., Bn forment une partition de E. Alors, pour tout événement A,
P(A) = P(A  B1) + P(A  B2) + … + P(A  Bn) c’est-à-dire :
P(A) = PB1 (A)  P(B1) + PB2 (A)  P(B2) + … + PBn (A)  P(Bn)
Démonstration
Les événements A  B1, A B2, ..., A  Bn sont deux à deux incompatibles et leur réunion
est A, la formule en découle