TP cordeuse Corrige - CPGE Saint Stanislas

Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes
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TP 2.1 Cordeuse de raquette : Fonction de transfert Corrigé
1- Structure de l’asservissement
+-Carte de
commande
u
C
(t)f
C
(t)
u
R
(t)
Adap-
tateur
ε(t) Moteur
u
m
(t) Réduc-
teur
c
m
(t) Pignon
chaîne
Potentio-
métre
linéaire
N V
V
VV N.m
Ressort
Chariot f
t
(t)c
p
(t)
N.m
f
R
(t)
N
N
λ(t)
m
2- Fonction de transfert du capteur
2.1- En mesurant la pente de la droite obtenue expérimentalement on en déduit la raideur du ressort:
k = 32 N.mm
−
−−
−1
= 32 000 N.m
−
−−
−1
2.2- Le dossier technique annexe 6 donne une course électrique du potentiomètre : C
E
= 15 mm
On en déduit le gain du potentiomètre : K
PL
= u
R
λ
λλ
λ
= u
CC
C
E
= 5
15.10
−
−−
−3
= 333 V.m
−
−−
−1
2.3- Pour λ = 0 la force du ressort est nulle donc la force du ressort est de f
R
= k.λ .
On en déduit le gain du ressort : K
R
= λ
λλ
λ
f
R
=
= =
= λ
λλ
λ
k.λ
λλ
λ
= 1
k = 1 32 000 = 3,125.10
−
−−
−5
m.N
−
−−
−1
D'où le gain du capteur d'effort : K
C
= u
R
f
R
= u
R
λ
λλ
λ . λ
λλ
λ
f
R
=
= =
= K
PL
.K
R
= 333 × 3,125.10
−
−−
−5
= 0,0104 V.N
−
−−
−1
3- Gain du chariot
Le phénomène physique qui fait qu’en réalité f
t
(t)<f
R
(t) (soit K
Ch
<1) est le frottement sec dans la
guidage sur chariot sur le bâti de la cordeuse
4- Gain de l’adaptateur : K
A
4.1- Ecart à l'entrée du correcteur ε(t) en fonction de f
C
(t), f
t
(t), K
A
, K
C
et K
Ch
:
ε
εε
ε(t) = u
c
(t) −
−−
− u
R
(t) = K
A
.f
C
(t) −
−−
− K
C
K
Ch
.f
t
(t)
4.2- Lorsque la consigne f
C
(t) et la réponse f
t
(t) sont égales, l’écart ε(t) doit être nul. Donc :
Si : f
C
(t) = f
t
(t) alors : ε(t) = 0 = f
C
(t) 
K
A
− K
C
K
Ch
Soit : K
A
= K
C
K
Ch
= 0,0104
1 = = 0,0104 V.N
−
−−
−1
5- Gain du réducteur
5.1- On a une rendement du réducteur de η = 50%. On en déduit donc : c
P
.ω
P
= η.c
m
.ω
m
Soit : K
Red
= c
P
c
m
= η
ηη
η ω
ωω
ω
m
ω
ωω
ω
P
= η
ηη
η.K
rsf
= 0,5 × 50 = 25

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6- Gain de la transmission Pignon Chaîne
6.1- Le rayon du pignon étant r. La distance est parcourue par le chariot pour un tour est : 2.π
ππ
π.r
6.2- Pour une vitesse de rotation du pignon de : 1tr.s
−1
= 2.π rad.s
−1
, on a donc une vitesse du chariot
de : 2.π.r m.s
−1
. On en déduit par une règle de trois : v = 2.π
ππ
π.r . 2.π
ππ
π
ω
ωω
ω
p
= r.ω
ωω
ω
P
6.3- On a une rendement de la transmission pignon chaîne de. On en déduit donc : f
r
.v = c
P
.ω
P
Soit : K
T
= f
R
c
P
= ω
ωω
ω
P
v = 1 r = 1
10.10
−
−−
−3
= 100 m
−
−−
−1
7- Fonction de transfert du moteur
7.1- Equations qui régissent le fonctionnement du moteur à courant continu :
Domaine temporel :
Equation électriques : u
m
(t) = e(t) + R.i(t) + L.d i(t)
dt Equation du couple : c
m
(t) = K
M
.i(t)
Equation mécanique : c
m
(t) −
−−
− f.ω
ωω
ω
m
(t) = J. d ω
ωω
ω
m
(t)
dt Equation de la fcem : e(t) = K
E
.ω
ωω
ω
m
(t)
Domaine de Laplace :
Equation électriques : U
m
(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p) Equation du couple : C
m
(p) = K
M
.I(p)
Equation mécanique : C
m
(p) −
−−
− f.Ω
ΩΩ
Ω
m
(p) = J.p.Ω
ΩΩ
Ω
m
(p) Equation de la fcem : E(p) = K
E
.Ω
ΩΩ
Ω
m
(p)
7.2- Donc pour un frottement visqueux négligeable (f≈0) on en déduit le schéma bloc ci-dessous :
+-
U
m
(p)
E(p)
I(p) C
m
(p)
1
R + L.p K
M
K
E
1
J.p
Ω
m
(p)
7.3- D'où la fonction de transfert du moteur : H
m
(p) :
H
m
(p) = C
m
(p)
U
m
(p) =
K
M
R + L.p
1 + K
E
.K
M
J.p.(R + L.p)
= K
M
.J.p
K
E
.K
M
+ J.R.p + J.L.p
2
8- Fonction de transfert du système
8.1- Le correcteur est un intégrateur de gain K
I
. On a donc le schéma bloc du système ci-dessous :
U
m
(p) C
m
(p)
K
I
p
+-
ε(p)
K
C
K
A
F
C
(p) U
C
(p)
U
R
(p)
C
P
(p) 1 F
R
(p)
K
T
K
Red
H
m
(p) F
t
(p)

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8.2- Ayant K
A
= K
C
, on en déduit la fonction de transfert du système H(p)
H(p) = F
t
(p)
F
C
(p) = K
C
.
K
I
.K
M
.J.p.K
Red
.K
T
p.(K
E
.K
M
+ J.R.p + J.L.p
2
)
1 + K
C
. K
I
.K
M
.J.p.K
Red
.K
T
p.(K
E
.K
M
+ J.R.p + J.L.p
2
)
H(p) = F
t
(p)
F
C
(p) = K
C
.K
I
.K
M
.J.K
Red
.K
T
K
E
.K
M
+ K
C
.K
I
.K
M
.J.K
Red
.K
T
+ J.R.p + J.L.p
2
8.3- On pose la constante A = K
C
.K
I
.K
M
.J.K
Red
.K
T
. On en déduit :
H(p) = F
t
(p)
F
C
(p) = A A + K
E
.K
M
+ J.R.p + J.L.p
2
H(p) = F
t
(p)
F
C
(p) =
A
K
E
.K
M
+ A
1 + J.R
K
E
.K
M
+ A.p + J.L K
E
.K
M
+ A.p
2
8.4- Cette fonction de transfert est donc : d'ordre 2 et de classe : 0
8.5- On pose H(p) = G
1 + a
1
.p + a
2
.p
2
et on néglige l'inductance L On a donc :
Gain : G = A
K
E
.K
M
+ A
a
1
= J.R
K
E
.K
M
+ A
a
2
=J.R
A = J.L
K
E
.K
M
+ A