TD 14 : Probabilité , généralisation

E1 TD 14 : Probabilité , généralisation
TD 14 : Probabilité , généralisation
Exercice 1.
Soit Ω=J1; 5K.
1. L’ensemble B={{1,2},{1,3},{4},{5},{1,2,3,4,5}} est-il une tribu ?
2. Quelle est la plus petite tribu contenant B?
Exercice 2.
1. On pose Ω = {a, b, c}. Peut-on définir une probabilité Psur (Ω,P(Ω)) vérifiant
P({a}) = 1
3;P({b}) = 1 4;P({c}) = 1 5?
2. Peut-on définir une probabilité sur (N∗,P(N∗)) telle que ∀n∈N,
P({n}) = 1
n+ 1 ?
3. Peut-on définir une probabilité sur (N,P(N)) telle que ∀n∈N,
P({n+ 1}) = 1
2P({n}) ?
Exercice 3.
Soit p∈]0,1[. On considère l’application P:P(N)→Rdont la valeur sur les
singletons {k}est donnée par :
∀k∈N,P({k}) = p(1 −p)k.
1. Montrer que Pdéfinit une probabilité sur l’espace probabilisable (N,P(N)).
2. Déterminer la probabilité de Πl’ensemble des nombres pairs lorsque p=1
3.
Exercice 4.
Soit λ∈R∗
+. On considère l’application P:P(N)→Rdont la valeur sur les
singletons {k}est donnée par :
∀k∈N,P({k}) = e−λλk
k!.
1. Montrer que Pdéfinit une probabilité sur l’espace probabilisable (N,P(N)).
2. Déterminer la probabilité de A = {n∈N|n≥3}avec λ= 2.
Exercice 5.
Soit Pune probabilité sur (N,P(N)).
1. Montrer que (P({n}))n∈Nconverge et que : lim
n→+∞
P({n})=0.
2. En déduire qu’il n’existe pas de probabilité uniforme sur (N,P(N)) (on pourra
raisonner par l’absurde).
Exercice 6.
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé.
1. Soit (An)n∈Nune suite d’événements. Montrer par récurrence que
∀n∈N,P n
[
k=0
Ak!≤
n
X
k=0
P(Ak).
2. En déduire que si la série PP(An)converge on a :
P +∞
[
n=0
An!≤
+∞
X
n=0
P(An).
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Exercice 7.
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé. Soient (Fi)i∈N∗une famille d’événements et
Aun événement.
Montrer que PTn
i=1 Fi(A)n∈N∗converge et que
lim
n→+∞
PTn
i=1 Fi(A) = PT+∞
n=1 Fn(A).
Exercice 8.
Dans l’exercice 2 du TD 9, Paulin et Émilie décident de ne pas s’arrêter de jouer
tant qu’aucun d’eux n’a gagné. Quelle est la probabilité que Paulin gagne ?
Exercice 9.
On lance indéfiniment une pièce bien équilibrée, les lancers sont indépendants.
Pour tout entier naturel non nul non pose
•An: « on obtient au moins une fois Pile pendant les npremiers lancers ».
•Πn: « on obtient Pile au n-ème lancer ».
1. Déterminer pour tout entier naturel nnon nul P(An).
2. En déduire que lors de cette expérience on obtient au moins une fois Pile
presque surement.
Exercice 10.
Une urne contient une boule blanche.
Un joueur lance un pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité p
(0<p<1) et face avec la probabilité q= 1 −p.
S’il obtient face il ajoute une boule rouge dans l’urne et relance la pièce ;
s’il obtient pile il tire une boule de l’urne et il a gagné si la boule est blanche,
perdu si la boule est rouge (le jeu s’arrête alors).
On pose :
•pour tout n∈N∗,An: « le jeu s’arrête au n-ème lancer ».
•G: « le joueur gagne ».
1. (a) Déterminer pour tout entier naturel non nul nla probabilité de An.
(b) Montrer que le jeu s’arrête presque surement.
2. (a) Déterminer pour tout entier naturel non nul nla probabilité de An∩G.
(b) En déduire la probabilité que le joueur gagne.
(On pourra utiliser la formule : ∀x∈]−1; 1[,
+∞
X
n=1
xn
n=−ln(1 −x)).
Exercice 11.
On dispose de trois pièces équilibrées dont l’une, truquée, a deux faces.On prend
une pièce au hasard et on effectue des lancers indépendants de cette pièce.
On pose
•T: « La pièce choisie est la pièce truquée. »
•pour tout entier naturel n,Fn« on obtient face au n-ème lancer. »
1. Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer ?
2. Déterminer, pour tout n∈N∗, la probabilité d’obtenir face aux npremiers
lancers.
3. Soit n∈N∗. Sachant que l’on a obtenu nfois face de suite, quelle est la
probabilité pnque l’on ait pris la pièce truquée.
4. Déterminer lim
n→+∞
pn. Comment s’interprète cette limite (on pourra utiliser les
résultats de l’exercice 7) ?
Exercice 12.
On dispose d’une infinité d’urnes indexées par les entiers naturels non nuls.
L’urne icontient iboules noires et 2iboules blanches. On lance un dé équilibré
jusqu’à obtenir un 5 ou un 6. Le nombre total de lancer détermine l’urne que l’on
choisit. On tire une boule au hasard équiprobable dans l’urne choisie.
On pose :
•pour tout entier naturel i,Ui: « on choisit l’urne i».
•N: « on pioche une boule noire ».
On effectue un tirage et le résultat est une boule noire. Quelle est la probabilité
que le tirage ait été effectué dans l’urne i?
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