TD 14 : Probabilité , généralisation

E1
TD 14 : Probabilité , généralisation
TD 14 : Probabilité , généralisation
Exercice 4.
Soit λ ∈ R∗+ . On considère l’application P : P(N) → R dont la valeur sur les
singletons {k} est donnée par :
Exercice 1.
∀k ∈ N, P({k}) = e−λ
Soit Ω = J1; 5K.
λk
.
k!
1. L’ensemble B = {{1, 2}, {1, 3}, {4}, {5}, {1, 2, 3, 4, 5}} est-il une tribu ?
1. Montrer que P définit une probabilité sur l’espace probabilisable (N, P(N)).
2. Quelle est la plus petite tribu contenant B ?
2. Déterminer la probabilité de A = {n ∈ N|n ≥ 3} avec λ = 2.
Exercice 2.
1. On pose Ω = {a, b, c}. Peut-on définir une probabilité P sur (Ω, P(Ω)) vérifiant
1
1
1
P({a}) = ; P({b}) = ; P({c}) =
3
4
5
Exercice 5.
Soit P une probabilité sur (N, P(N)).
?
1. Montrer que (P({n}))n∈N converge et que : lim P({n}) = 0.
n→+∞
2. Peut-on définir une probabilité sur (N∗ , P(N∗ )) telle que ∀n ∈ N,
P({n}) =
1
n+1
2. En déduire qu’il n’existe pas de probabilité uniforme sur (N, P(N)) (on pourra
raisonner par l’absurde).
?
3. Peut-on définir une probabilité sur (N, P(N)) telle que ∀n ∈ N,
Exercice 6.
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
1
P({n + 1}) = P({n}) ?
2
1. Soit (An )n∈N une suite d’événements. Montrer par récurrence que
Exercice 3.
∀n ∈ N, P
Soit p ∈]0, 1[. On considère l’application P : P(N) → R dont la valeur sur les
singletons {k} est donnée par :
∀k ∈ N, P({k}) = p(1 − p)k .
n
[
!
Ak
≤
k=0
2. En déduire que si la série
P
1. Montrer que P définit une probabilité sur l’espace probabilisable (N, P(N)).
1
2. Déterminer la probabilité de Π l’ensemble des nombres pairs lorsque p = .
3
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P
n
X
P(Ak ).
k=0
P(An ) converge on a :
+∞
[
n=0
!
An
≤
+∞
X
n=0
P(An ).
E1
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Exercice 7.
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. Soient (Fi )i∈N∗ une famille d’événements et
A un événement.
Montrer que PTni=1 Fi (A)
converge et que
∗
n∈N
lim PTni=1 Fi (A) = PT+∞ Fn (A).
n→+∞
n=1
1. (a) Déterminer pour tout entier naturel non nul n la probabilité de An .
(b) Montrer que le jeu s’arrête presque surement.
2. (a) Déterminer pour tout entier naturel non nul n la probabilité de An ∩ G.
(b) En déduire la probabilité que le joueur gagne.
+∞ n
X
x
(On pourra utiliser la formule : ∀x ∈] − 1; 1[,
= − ln(1 − x)).
n
n=1
Exercice 8.
Exercice 11.
Dans l’exercice 2 du TD 9, Paulin et Émilie décident de ne pas s’arrêter de jouer
tant qu’aucun d’eux n’a gagné. Quelle est la probabilité que Paulin gagne ?
Exercice 9.
On lance indéfiniment une pièce bien équilibrée, les lancers sont indépendants.
Pour tout entier naturel non nul n on pose
• An : « on obtient au moins une fois Pile pendant les n premiers lancers ».
On dispose de trois pièces équilibrées dont l’une, truquée, a deux faces.On prend
une pièce au hasard et on effectue des lancers indépendants de cette pièce.
On pose
• T : « La pièce choisie est la pièce truquée. »
• pour tout entier naturel n, Fn « on obtient face au n-ème lancer. »
1. Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer ?
• Πn : « on obtient Pile au n-ème lancer ».
2. Déterminer, pour tout n ∈ N∗ , la probabilité d’obtenir face aux n premiers
lancers.
1. Déterminer pour tout entier naturel n non nul P(An ).
2. En déduire que lors de cette expérience on obtient au moins une fois Pile
presque surement.
3. Soit n ∈ N∗ . Sachant que l’on a obtenu n fois face de suite, quelle est la
probabilité pn que l’on ait pris la pièce truquée.
4. Déterminer lim pn . Comment s’interprète cette limite (on pourra utiliser les
n→+∞
résultats de l’exercice 7) ?
Exercice 10.
Une urne contient une boule blanche.
Un joueur lance un pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité p
(0 < p < 1) et face avec la probabilité q = 1 − p.
Exercice 12.
On dispose d’une infinité d’urnes indexées par les entiers naturels non nuls.
L’urne i contient i boules noires et 2i boules blanches. On lance un dé équilibré
S’il obtient face il ajoute une boule rouge dans l’urne et relance la pièce ; jusqu’à obtenir un 5 ou un 6. Le nombre total de lancer détermine l’urne que l’on
s’il obtient pile il tire une boule de l’urne et il a gagné si la boule est blanche, choisit. On tire une boule au hasard équiprobable dans l’urne choisie.
perdu si la boule est rouge (le jeu s’arrête alors).
On pose :
On pose :
• pour tout n ∈ N∗ , An : « le jeu s’arrête au n-ème lancer ».
• G : « le joueur gagne ».
• pour tout entier naturel i, Ui : « on choisit l’urne i ».
• N : « on pioche une boule noire ».
On effectue un tirage et le résultat est une boule noire. Quelle est la probabilité
que le tirage ait été effectué dans l’urne i ?
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