Université de Montpellier - Faculté des Sciences Année Universitaire 2016-2017 HLMA 502 Chapitre 3 : Connexité Exercices Philippe Castillon (1 ) Exercice 1. Les parties suivantes de R2 sont-elles connexes ? 1. A = {(x, y) ∈ R2 | x − E(x) ≤ 12 } 2. B = A ∪ (R × {0}) 3. C le graphe de l’application x 7→ 1 x définie sur R∗ 4. D = C ∪ (R × {0}) 5. E = R2 \ Z2 6. F = (R \ Z)2 [ 1 7. G = Bf (0, n), , où Bf (x, r) désigne la boule euclidienne fermée de centre x et de rayon r. 2 n∈Z Exercice 2. Soit (X, OX ) un espace topologique et A, B ∈ FX deux fermés tels que A ∩ B 6= ∅. Si A ∪ B et A ∩ B sont connexes, montrer que A et B sont connexes. Indication : utiliser la caractérisation des connexes par les applications continues à valeur dans un espace discret, ainsi que les résultats de l’exercice 3 du chapitre 2.. Le résultat est-il encore vrai si on suppose A et B ouverts ? Si on ne suppose rien sur A et B ? Exercice 3. Soit (X, OX ) un espace topologique et A ∈ P(X). La frontière de A est définie par Fr(A) = Ā \ Å. 1. Montrer que Fr(A) est un fermé. 2. Montrer que la famille Å, Fr(A), int(Ac ) forme une partition de X. 3. Soient x ∈ A et y ∈ Ac , montrer que tout chemin joignant x à y rencontre Fr(A). Exercice 4. Soit U un ouvert de R. 1. Montrer que les composantes connexes de U sont des ouverts. 2. Soit V un autre ouvert de R. Si U et V ont le même nombre de composantes connexes, montrer que U et V sont homéomorphes. On pourra commencer par montrer que deux intervalles ouverts non vides sont homéomorphes. Le résultat est-il encore vrai pour deux parties fermées ? 1 Département de Mathématiques, CC 051, Université de Montpellier, Pl. Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5. Mèl : [email protected] 1 Exercice 5. Soit H l’ensemble des homéomorphismes de [0, 1]. On considère H comme une partie de C 0 ([0, 1]) munie de la distance induite par la norme de la convergence uniforme : pour tout f, g ∈ H, d(f, g) = sup{|f (t) − g(t)| | t ∈ [0, 1]}. 1. Soit f ∈ H. (a) Montrer qu’on a f (0) = 0 ou f (0) = 1. (b) Montrer que f est strictement monotone. 2. On note H+ ⊂ H (resp. H− ⊂ H) l’ensemble des homéomorphismes de [0, 1] strictement croissants (resp. strictement décroissants). (a) Montrer que H+ et H− sont connexes par arc. (b) En déduire que H a deux composantes connexes. On rappelle que l’application J : H → R définie par J(f ) = f (0) est continue, cf. exercice 7 du chapitre 1. Exercice 6. On considère les parties suivantes de R2 . – A = {(x, y) | x2 + y 2 = 1} – B = {(x, x) | x ∈ [−1, 1]} ∪ {(x, −x) | x ∈ [−1, 1]} – C = {(x, y) | (x − 1)2 + y 2 = 1} ∪ {(x, y) | (x + 1)2 + y 2 = 1} – D = {(x, y) | x2 + (y + 1)2 = 1} ∪ {(x, y) | x2 − y = 0 et − 1 ≤ x ≤ 1} Représenter chacune de ces parties et montrer qu’aucune n’est homéomorphe à une autre. Pour s’entrainer Exercice 7. Les parties suivantes de R2 sont-elles connexes ? 1. A = {(x, y) ∈ R2 | 1 < k(x, y)k < 2} 2. B = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 21 } 3. C = {(x, y) ∈ R2 | y > x} 4. D = A ∩ B 5. E = A ∩ C 6. F = A ∩ B ∩ C, Exercice 8. Soit (X, OX ) un espace topologique et (An )n∈N une famille de parties connexes telle que ∀n ∈ N An ∩ An+1 6= ∅. n [ [ Montrer que An est connexe. On pourra commencer par montrer que, pour tout n ∈ N, Bn = Ai i=0 n∈N est connexe. Exercice 9. vraies ? Soit (X, OX ) un espace topologique et A ∈ P(X). Les équivalences suivantes sont-elles 1. A est connexe si et seulement si Ā est connexe. 2. A est connexe si et seulement si Å est connexe. 2 Exercice 10. Soit (X, OX ) un espace topologique et A, B ∈ P(X) deux parties connexes telles que Ā ∩ B 6= ∅. Montrer que A ∪ B est connexe. Est-ce encore vrai si on suppose que Ā ∩ B̄ 6= ∅ ? Exercice 11. Un théorème de Gaston Darboux (Mathématicien nı̂mois, 1842-1917). Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction dérivable. La dérivée f 0 n’est pas forcément continue, mais on va montrer qu’elle vérifie quand même les conclusions du théorème des valeurs intermédiaires, c’est à dire que f 0 (I) est un intervalle. (x) . On considère A = {(x, y) ∈ I × I | y > x} ⊂ R2 , et g : A → R définie par g(x, y) = f (y)−f y−x 1. Montrer que A est une partie connexe de R2 . 2. Montrer que g(A) ⊂ f 0 (I) ⊂ g(A). 3. En déduire que f 0 (I) est un intervalle. Exercice 12. Soit U un ouvert de Rn . 1. Montrer que les boules de Rn sont connexes et que les composantes connexes de U sont des ouverts de Rn . 2. Pour tout x ∈ U on note Ax = {y ∈ U | il existe γ : [0, 1] → U tel que γ(0) = x et γ(1) = y}. Montrer que pour tout x ∈ U , Ax est ouverte et fermée dans U . En déduire qu’un ouvert connexe de Rn est également connexe par arc. 3. Soit f : U → R de classe C 1 telle que df = 0. Pour tout x ∈ U , montrer qu’il existe un voisinage de x sur le quel f est constante. Si U est connexe, en déduire que f est constante sur U . 4. Soit H 0 (U ) = {f ∈ C 1 (U ) | df = 0}. Montrer que H 0 (U ) est un sous-espace vectoriel de C 1 (U ). Quelle est sa dimension ? 3