HLMA502-exos-chap3 Fichier - Moodle UM

Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitre 3 : Connexit´e
Exercices
Philippe Castillon (1)
Exercice 1. Les parties suivantes de R2sont-elles connexes ?
1. A={(x, y)∈R2|x−E(x)≤1
2}
2. B=A∪(R× {0})
3. Cle graphe de l’application x7→ 1
xd´efinie sur R∗
4. D=C∪(R× {0})
5. E=R2\Z2
6. F= (R\Z)2
7. G=[
n∈Z
Bf(0, n),1
2, o`u Bf(x, r) d´esigne la boule euclidienne ferm´ee de centre xet de rayon r.
Exercice 2. Soit (X, OX) un espace topologique et A, B ∈ FXdeux ferm´es tels que A∩B6=∅. Si
A∪Bet A∩Bsont connexes, montrer que Aet Bsont connexes. Indication : utiliser la caract´erisation
des connexes par les applications continues `a valeur dans un espace discret, ainsi que les r´esultats de
l’exercice 3 du chapitre 2..
Le r´esultat est-il encore vrai si on suppose Aet Bouverts ? Si on ne suppose rien sur Aet B?
Exercice 3. Soit (X, OX) un espace topologique et A∈ P(X). La fronti`ere de Aest d´efinie par
Fr(A) = ¯ A\˚ A.
1. Montrer que Fr(A) est un ferm´e.
2. Montrer que la famille ˚ A, Fr(A),int(Ac)forme une partition de X.
3. Soient x∈Aet y∈Ac, montrer que tout chemin joignant x`a yrencontre Fr(A).
Exercice 4. Soit Uun ouvert de R.
1. Montrer que les composantes connexes de Usont des ouverts.
2. Soit Vun autre ouvert de R. Si Uet Vont le mˆeme nombre de composantes connexes, montrer
que Uet Vsont hom´eomorphes. On pourra commencer par montrer que deux intervalles ouverts
non vides sont hom´eomorphes.
Le r´esultat est-il encore vrai pour deux parties ferm´ees ?
1D´epartement de Math´ematiques, CC 051, Universit´e de Montpellier, Pl. Eug`ene Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
M`el : [email protected]
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Exercice 5. Soit Hl’ensemble des hom´eomorphismes de [0,1]. On consid`ere Hcomme une partie de
C0([0,1]) munie de la distance induite par la norme de la convergence uniforme : pour tout f, g ∈ H,
d(f, g) = sup{|f(t)−g(t)| | t∈[0,1]}.
1. Soit f∈ H.
(a) Montrer qu’on a f(0) = 0 ou f(0) = 1.
(b) Montrer que fest strictement monotone.
2. On note H+⊂ H (resp. H−⊂ H) l’ensemble des hom´eomorphismes de [0,1] strictement croissants
(resp. strictement d´ecroissants).
(a) Montrer que H+et H−sont connexes par arc.
(b) En d´eduire que Ha deux composantes connexes. On rappelle que l’application J:H → R
d´efinie par J(f) = f(0) est continue, cf. exercice 7 du chapitre 1.
Exercice 6. On consid`ere les parties suivantes de R2.
–A={(x, y)|x2+y2= 1}
–B={(x, x)|x∈[−1,1]}∪{(x, −x)|x∈[−1,1]}
–C={(x, y)|(x−1)2+y2= 1}∪{(x, y)|(x+ 1)2+y2= 1}
–D={(x, y)|x2+ (y+ 1)2= 1}∪{(x, y)|x2−y= 0 et −1≤x≤1}
Repr´esenter chacune de ces parties et montrer qu’aucune n’est hom´eomorphe `a une autre.
Pour s’entrainer
Exercice 7. Les parties suivantes de R2sont-elles connexes ?
1. A={(x, y)∈R2|1<k(x, y)k<2}
2. B={(x, y)∈R2| |x|<1
2}
3. C={(x, y)∈R2|y > x}
4. D=A∩B
5. E=A∩C
6. F=A∩B∩C,
Exercice 8. Soit (X, OX) un espace topologique et (An)n∈Nune famille de parties connexes telle que
∀n∈NAn∩An+1 6=∅.
Montrer que [
n∈N
Anest connexe. On pourra commencer par montrer que, pour tout n∈N,Bn=
n
[
i=0
Ai
est connexe.
Exercice 9. Soit (X, OX) un espace topologique et A∈ P(X). Les ´equivalences suivantes sont-elles
vraies ?
1. Aest connexe si et seulement si ¯ Aest connexe.
2. Aest connexe si et seulement si ˚ Aest connexe.
2

Exercice 10. Soit (X, OX) un espace topologique et A, B ∈ P(X) deux parties connexes telles que
¯
A∩B6=∅. Montrer que A∪Best connexe.
Est-ce encore vrai si on suppose que ¯ A∩¯ B6=∅?
Exercice 11. Un th´eor`eme de Gaston Darboux (Math´ematicien nˆımois, 1842-1917).
Soit Iun intervalle de Ret f:I→Rune fonction d´erivable. La d´eriv´ee f0n’est pas forc´ement
continue, mais on va montrer qu’elle v´erifie quand mˆeme les conclusions du th´eor`eme des valeurs in-
term´ediaires, c’est `a dire que f0(I) est un intervalle.
On consid`ere A={(x, y)∈I×I|y > x} ⊂ R2, et g:A→Rd´efinie par g(x, y) = f(y)−f(x)
y−x.
1. Montrer que Aest une partie connexe de R2.
2. Montrer que g(A)⊂f0(I)⊂g(A).
3. En d´eduire que f0(I) est un intervalle.
Exercice 12. Soit Uun ouvert de Rn.
1. Montrer que les boules de Rnsont connexes et que les composantes connexes de Usont des ouverts
de Rn.
2. Pour tout x∈Uon note
Ax={y∈U|il existe γ: [0,1] →Utel que γ(0) = xet γ(1) = y}.
Montrer que pour tout x∈U,Axest ouverte et ferm´ee dans U. En d´eduire qu’un ouvert connexe
de Rnest ´egalement connexe par arc.
3. Soit f:U→Rde classe C1telle que df = 0. Pour tout x∈U, montrer qu’il existe un voisinage
de xsur le quel fest constante. Si Uest connexe, en d´eduire que fest constante sur U.
4. Soit H0(U) = {f∈C1(U)|df = 0}. Montrer que H0(U) est un sous-espace vectoriel de C1(U).
Quelle est sa dimension ?
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