Périodes de disponibilité : Noé : mardi de 12h30 à 14h00 au AA-6150 Vincent : mercredi de 11h30 à 13h00 au AA-5264 AB : lundi 11h30 à 13h, au AA-6190. MAT1500 1 of 37 Revenons à un exemple. La formule F : N → N, F (m) = m(m + 1)(m + 5) 3 définit une fonction ! Preuve : Soit m ∈ N. D’abord : il existe un nombre naturel a tel que (i) m = 3a ou (ii) m = 3a + 1 ou (iii) m = 3a + 2. Parce que si on fait une longue division par 3 on obtient un reste 0, 1 ou 2 ! MAT1500 2 of 37 En cas (i) : on a F (m) = F (3a) = 3a(3a + 1)(3a + 5) = a(3a + 1)(3a + 5) ∈ N; 3 En cas (ii) on a F (m) = F (3a + 1) = (3a + 1)(3a + 2)(3a + 6) = (3a + 1)(3a + 2)(a + 2) ∈ N; 3 En cas (iii) on a F (m) = F (3a + 2) = (3a + 2)(3a + 3)(3a + 7) = (3a + 2)(a + 1)(3a + 7) ∈ N; 3 Dans tous les cas F (m) ∈ N. Conclusion : F : N → N est une fonction. MAT1500 3 of 37 F : N → N, F (m) = m(m+1)(m+5) . 3 Surjective ? Non, parce que ... Injective ? Oui, parce que (par Calcul) .... MAT1500 4 of 37 Definition Soit F : A → B une fonction et G : B → C deux fonctions. Alors la composition est la fonction G ◦F :A→C définie par (G ◦ F )(a) = G(F (a)). MAT1500 5 of 37 Théorème Soit F : A → B une fonction. La fonction F est bijective si et seulement si il existe une fonction G : B → A telle que F ◦ G = 1B et G ◦ F = 1A . MAT1500 6 of 37 Remarque : Dans cette situation cette fonction G est unique, appelée "fonction inverse de F ", et notée G = F −1 . Dans ce cas, si F −1 (b) = {a} (ensemble pré-image), alors F −1 (b) = a (fonction inverse). Une fonction inverse de F existe si et seulement si F est bijective. MAT1500 7 of 37 Démonstration. (i) Supposons F : A → B est bijective. Définition d’une fonction G : B → A : Soit b ∈ B, il existe un unique a ∈ A tel que F (a) = b. Posons G(b) := a. Pour chaque a ∈ A on a : (G ◦ F )(a) = G(F (a)) = G(b) = a. Donc G ◦ F = 1A . Et pour chaque b ∈ B : (F ◦ G)(b) = F (G(b)) = F (a) = b. Donc F ◦ G = 1B . MAT1500 8 of 37 Démonstration. (ii) De l’autre côté, supposons qu’il existe une fonction G : B → A telle que F ◦ G = 1B et G ◦ F = 1A . Soit b ∈ B. Définissons a := G(b) ∈ A. Alors F (a) = F (G(b)) = (F ◦ G)(b) = 1B (b) = b. Donc a est un préimage de b pour F . Nous avons montré que F est surjective. Supposons a1 , a2 ∈ A tels que F (a1 ) = F (a2 ). Donc a1 = 1A (a1 ) = (G◦F )(a1 ) = G(F (a1 )) = G(F (a2 )) = (G◦F )(a2 ) = a2 . Donc F est aussi injective. On conclut la preuve, car une fonction surjective et injective est automatiquement bijective. MAT1500 9 of 37 Preuve du commentaire après le théorème. Supposons F : A → B est injective. Supposons G : B → A et G 0 : B → A telles que G ◦ F = 1A et aussi G 0 ◦ F = 1A . Soit b ∈ B. Parce que F est bijective il existe un (unique) a ∈ A tel que F (a) = b. Alors G(b) = G(F (a)) = (G◦F )(a) = 1A (a) = (G 0 ◦F )(a) = G 0 (F (a)) = G 0 (b Donc pour chaque b ∈ B on a G(b) = G 0 (b), c.-à-d., G = G0 MAT1500 10 of 37 Soit A := {a, b, c} et B := {1, 2, 3, 4}. ! F1 : A → B définie par F1 := a b c 3 2 1 F2 : B → A définie par F2 := 1 2 3 4 a b c a est injective, ! est surjective. Il n’existe pas une fonction de A dans B qui est surjective. Pourquoi ? Il n’existe pas une fonction de B dans A qui est injective. Pourquoi ? MAT1500 11 of 37 Proposition Soient A et B deux ensembles finis. (i) Il existe une fonction injective F : A → B si et seulement |A| ≤ |B|. (ii) Il existe une fonction surjective F : A → B si et seulement si |A| ≥ |B|. (iii) Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si |A| = |B|. Ça ne veut pas dire que si |A| ≤ |B| alors chaque fonction F : A → B est injective. Seulement qu’il existe au moins une fonction qui est injective. MAT1500 12 of 37 Avant de commencer les preuves, fixons une suite ordonnée sans répétitions des éléments de A, disons A = {a1 , a2 , . . . , an } où n = |A|. Il y a beaucoup de façons de le faire, mais fixons une manière. Et aussi une suite ordonnée sans répétitions des éléments de B, disons B = {b1 , b2 , . . . , bm } où m = |B|. MAT1500 13 of 37 Pour (i) il faut montrer deux choses. Supposons il existe une fonction injective F : A → B. Nous voulons montrer |A| ≤ |B|. Dans la suite ordonnée (F (a1 ), F (a2 ), . . . , F (an )) il n’y a pas de répétition. Car sinon, il y a i 6= j tels que F (ai ) = F (aj ). Par la définition d’injectivité il suit que ai = aj . Mais dans la suite choisie des ak ’s il n’y a pas de répétions. Donc i = j. Une contradiction. Donc en effet, dans la suite ordonnée (F (a1 ), F (a2 ), . . . , F (an )) il n’y a pas de répétitions. MAT1500 14 of 37 (suite) Donc le sous-ensemble Im(F ) = {F (a1 ), F (a2 ), . . . , F (an )} ⊆ B a exactement n = |A| éléments. Et Im(F ) ⊆ B implique |A| = | Im(F )| ≤ |B|. Combiné : S’il existe une fonction injective F : A → B alors on a au moins |A| ≤ |B|. MAT1500 15 of 37 Deuxième partie de la preuve de (i). Supposons |A| ≤ |B|. Il faut montrer qu’il existe au moins une fonction injective F : A → B. Définition d’une telle fonction, à l’aide de nos deux suites ordonnées choisies : F (ai ) := bi pour chaque 1 ≤ i ≤ n = |A|. Ça fait du sens, car n ≤ m = |B| ! Chaque élément de A a une unique image : notre F est une fonction. MAT1500 16 of 37 (suite) Une fonction injective ? Vérifions : Soient a et a0 deux éléments de A, tels que F (a) = F (a0 ). Il existe i, j tels que a = ai , a0 = aj . Alors F (ai ) = F (aj ), c-à-d., bi = bj . Dans la liste des bi ’s il n’y a pas de répétitions. Donc bi = bj et i = j et donc a = ai = aj = a 0 . Nous avons vérifié que F est injective. Si |A| ≤ |B|, alors il existe une fonction injective F : A → B. Et aussi la preuve de (i) est complète. MAT1500 17 of 37 Si on a montré (i) et (ii), alors (iii) en suit tout de suite. La preuve de (ii) sera pour vous (dans le TP2). MAT1500 18 of 37 Théorème A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. Il existe une fonction bijective φ : Fonctions(A, B) → B n . Corollaire A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. On a |Fonctions(A, B)| = |B n |. Le corollaire est conséquence du théorème et de la proposition qui dit que s’il existe une fonction bijective entre deux ensembles A et B, alors |A| = |B|. MAT1500 19 of 37 Démonstration. Fixons une liste ordonnée des éléments de A, sans répétitions, disons A = {a1 , a2 , . . . , an }. φ : Fonctions(A, B) → B n φ F = a 1 a 2 a3 . . . an b1 b2 b3 . . . bn !! := (b1 , b2 , b3 , . . . , bn ) ∈ B n . φ a la fonction inverse ψ = φ−1 : ψ : B n → Fonctions(A, B) ψ((b1 , b2 , . . . , bn )) := F = MAT1500 a1 a2 a 3 . . . a n b1 b2 b3 . . . bn ! 20 of 37 Logique Après ce petit introduction à la théorie des ensembles et fonctions nous allons faire une introduction à la logique. Et continuer de faire des constructions avec des ensembles ! MAT1500 21 of 37 Une "proposition (logique)" est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non les deux à la fois. Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps : dans ce cas ce n’est pas considéré comme une proposition logique. MAT1500 22 of 37 Considérons l’énoncé : "Il fait beau". Un problème de la vraie vie est, qui décide la vérité, et quand et comment ? Supposons qu’il pleut. • Si vous avez un jardin vous dites peut-être : vrai (il fait beau pour mes plantes). • Si vous voulez manger dehors vous dites : faux (je ne veux pas manger sous un parapluie). • On pourrait faire un sondage : 33% vrai, 66% faux, 1% sans opinion ? ? ? ? Ce ne sont pas de problèmes de logique, mais problèmes de la vraie vie. MAT1500 23 of 37 La communauté des mathématiciens décide si une preuve est considérée convaincante, et donc si une proposition est vraie ou fausse ou "pas montrée encore". Mais tout ça reste du travail des humains. Une erreur dans un argument peut être cachée. Et ça arrive, de temps en temps. En plus : on a montré que "il existe des propositions mathématiques vraies, mais impossible de "montrer" ". MAT1500 24 of 37 Exemples : I p1 :="Toronto est la capitale du Canada" (faux) I p2 := "le chat est un animal" (vrai) I p3 :="1 + 1 = 3" (faux) I p4 :="si x ∈ E et E ⊆ F alors x ∈ F " (vrai) I p5 :="Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de deux nombres premiers" (vrai ou faux, mais inconnu) Pour la dernière proposition p5 on ne connais pas la réponse, mais c’est soit vraie, soit fausse. MAT1500 25 of 37 Considérons l’énoncé composé : P :=""S’il fait beau je vais patiner cet après-midi" et "Il fait beau" et "Je ne vais pas patiner cet après-midi"". On dirait : P est FAUSSE (c’est impossible que les trois énoncés sont tous vrais au même temps). Je suis d’accord. Ça, c’est logique. Ça ne dépend pas de qui décide la vérité de chaque proposition. MAT1500 26 of 37 En mathématiques on évite d’utiliser des énoncés qui ne sont pas des propositions. Et on essaie de formuler des propositions intéressantes et de décider leur vérité. On écrit : Théorème Une certain proposition P si cette proposition P est (incontestablement) vraie. Ou Lemme, Proposition, Corollaire,... Et un argument pourquoi est donné dans la "démonstration". MAT1500 27 of 37 Si on a des raisons de croire qu’une proposition soit vraie, mais on ne peut pas le montrer on dit que c’est une conjecture. Par exemple, Goldbach semble avoir proposé : Conjecture (Goldbach) Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de deux nombres premiers. Donc c’est une proposition qu’on crois d’être vraie, mais qu’on ne peut pas démontrer. MAT1500 28 of 37 Le but des mathématiques : • à partir de quelques hypothèses (des propositions logiques qu’on suppose vraie), • de produire d’autres propositions logiques qui sont aussi vraies (et espérons "intéressantes"). Bâtir une théorie. • En utilisant la logique et la théorie des ensembles. • Et en utilisant ce qui à été montré déjà ! L’hypothèse de base la plus importante est "L’ensemble des entiers N avec ses propriétés élémentaires EXISTE". À suivre. MAT1500 29 of 37 Par définition il y a (en théorie) une fonction vérité : {propositions} → {vrai, faux} = {V, F} qui associe à chaque proposition sa vérité vrai ou faux. MAT1500 30 of 37 Par exemple ”n > 2” n’est pas une proposition logique (car sa vérité dépend de la valeur de n, qui n’est pas précisée). Mais c’est presque une proposition : dès que la valeur n choisie, ça devient une proposition logique. MAT1500 31 of 37 C’est une famille de propositions logiques qui dépend de la variable n. Posons la fonction p : N → {propositions logiques} où pour n ∈ N on définit : p(n) := ”n > 2”. p(n) est fausse si n = 0, 1 ou 2 et vraie sinon (pour n ∈ N). MAT1500 32 of 37 Soit U un ensemble. Une fonction p : U → {propositions logiques} qui associe à chaque u ∈ U la proposition logique p(u) s’appelle fonction propositionnelle avec U comme univers du discours de la variable u. Exemple : U l’ensemble des hommes ici dans cette salle. p(X ) := " X peut patiner". MAT1500 33 of 37 Soit P(u) une fonction propositionnelle avec U comme univers du cours de la variable u. Deux nouvelles propositions logiques, les quantifications. "P(u) est vraie pour tout les valeurs de u", ou, "pour chaque valeur u la proposition P(u) est vraie", notation ∀u P(u) (on dit : quantification universelle) Dans l’exemple : ∀X P(X ) est une traduction logique de "Tous les hommes ici peuvent patiner." MAT1500 34 of 37 "P(u) est vraie pour au moins une des valeurs de u", ou "il existe au une valeur u telle que la proposition P(u) est vraie", notation ∃u P(u) (on dit : quantification existentielle) Tout dépend de la fonction propositionnelle P et donc aussi de l’univers du discours. Dans l’exemple : ∃X P(X ) est une traduction logique de "Un des hommes ici peut patiner." MAT1500 35 of 37 Exemple : p(n) := ”n > 2” avec univers du discours N. La proposition logique ”∀n n > 2” est fausse (car au moins p(1) = ”1 > 2” n’est pas vraie) ; et ”∃n n > 2” est vraie (car au moins p(3) = ”3 > 2” est vraie). MAT1500 36 of 37 ∀u p(u) est vraie si p(u) est vraie pour chaque u ; ∀u p(u) est fausse s’il existe au moins un u tel que p(u) est fausse. ∃u p(u) est vraie s’il existe un u tel que p(u) est vraie ; ∃u p(u) est fausse si pour chaque u on a que p(u) est fausse. MAT1500 37 of 37