Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre

Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Un modèle de couche limite
pour un écoulement à surface libre
Legrand Mathilde
Université d'Orléans, MAPMO
2 avril 2013
1ère école EGRIN
1/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
1
Équations du uide
2
Équation de Von Kármán
3
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de quantité de mouvement
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ 2 ) près
4
Système nal obtenu
5
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait reposant sur une couche mince
2/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Position du problème
Fluide Newtonien, incompressible en régime laminaire, à surface libre
3/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
1
Équations du uide
2
Équation de Von Kármán
3
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de quantité de mouvement
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ 2 ) près
4
Système nal obtenu
5
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait reposant sur une couche mince
4/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Équations de Navier-Stokes adimensionnées
∂x u + ∂y v = 0
1
∆u
∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p +
Reh
1
1
∆v
∂t v + u ∂x v + v ∂y v = −∂y p − 2 +
Fr
Reh
avec
(
Reh = u0νh0
0
Fr = √ugh
0
(1)
(2)
(3)
et les conditions limites :

u = v = 0 quand y = Zb (t , x )



v = ∂ η + u ∂ η quand y = η(t , x )
t
x
p = 0 quand y = η(t , x )



∂y u = 0 quand y = η(t , x ).
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Équations d'Euler
Équations pour le uide parfait
∂x u + ∂ y v = 0
∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p
1
Fr 2
en y = η(t , x )
en y = Zb (x ).
∂t v + u ∂x v + v ∂y v = −∂y p −
∂t η + u ∂x η = v
−uZb0 + v = 0
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Équations de Prandtl
petit paramètre :
x̃ = x ; δỹ = y ; t̃ = t ; p̃ = p ; ũ = u ; δṽ = v ; δ Z˜b (x̃ ) = Zb (x )
δ
∂x̃ ũ + ∂ỹ ṽ =0
1 1 2
1 2
∂ ũ +
∂ ũ
Reh x̃ Reh δ 2 ỹ
1
1
1 1 2 2
δ∂t̃ ṽ + δũ ∂x̃ ṽ + δṽ ∂ỹ ṽ = − ∂ỹ p̃ − 2 +
(δ ∂x̃ ṽ + ∂ỹ2 ṽ )
Fr
Reh δ
δ
∂t̃ ũ + ũ ∂x̃ ũ + ṽ ∂ỹ ũ = − ∂x̃ p̃ +
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Équations de Prandtl
petit paramètre :
x̃ = x ; δỹ = y ; t̃ = t ; p̃ = p ; ũ = u ; δṽ = v ; δ Z˜b (x̃ ) = Zb (x )
δ
∂x̃ ũ + ∂ỹ ṽ =0
1 1 2
1 2
∂ ũ +
∂ ũ
Reh x̃ Reh δ 2 ỹ
1
1
1 1 2 2
δ∂t̃ ṽ + δũ ∂x̃ ṽ + δṽ ∂ỹ ṽ = − ∂ỹ p̃ − 2 +
(δ ∂x̃ ṽ + ∂ỹ2 ṽ )
Fr
Reh δ
δ
∂t̃ ũ + ũ ∂x̃ ũ + ṽ ∂ỹ ũ = − ∂x̃ p̃ +
⇒ Re1 12 ∼ 1.
hδ
7/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Équations de Prandtl
petit paramètre :
x̃ = x ; δỹ = y ; t̃ = t ; p̃ = p ; ũ = u ; δṽ = v ; δ Z˜b (x̃ ) = Zb (x )
δ
∂x̃ ũ + ∂ỹ ṽ =0
1 1 2
1 2
∂ ũ +
∂ ũ
Reh x̃ Reh δ 2 ỹ
1
1
1 1 2 2
δ∂t̃ ṽ + δũ ∂x̃ ṽ + δṽ ∂ỹ ṽ = − ∂ỹ p̃ − 2 +
(δ ∂x̃ ṽ + ∂ỹ2 ṽ )
Fr
Reh δ
δ
∂t̃ ũ + ũ ∂x̃ ũ + ṽ ∂ỹ ũ = − ∂x̃ p̃ +
⇒ Re1 12 ∼ 1.
hδ
Equations de Prandtl adimensionnées
∂x̃ ũ + ∂ỹ ṽ =0
∂t̃ ũ + ũ ∂x̃ ũ + ṽ ∂ỹ ũ = − ∂x̃ p̃ + ∂ỹ2 ũ
0 =∂ỹ p̃
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Équations du uide
Équations de Prandtl
Transformation de Prandtl :
x = x̃
y = ỹ − Z˜b
t = t̃ .
=⇒
∂ỹ = ∂y
;
0
∂x̃ = ∂x − Z˜b ∂ỹ .
Choix pour u et v :
∂x̃ ũ + ∂ỹ ṽ =0
0
˜
∂x ũ − Zb ∂y ũ + ∂y v =0
0
∂x ũ + ∂y (ṽ − Z˜b ũ ) =0
=⇒
(
u = ũ
0
v = ṽ − Z˜b ũ
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Équations de Prandtl
Équations de Prandtl sur fond plat
∂x u + ∂y v = 0
∂t u + u ∂x u + v ∂y u = − ∂x p
+ ∂2u
y
0 = ∂y p
u = y =0 en y = 0.
(4)
(5)
(6)
(7)
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Deux "couches" de uide
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations du uide
Deux "couches" de uide
Ue (t , x ) = U (t , x , Zb ) : vecteur vitesse au fond pour le uide parfait.
Equation sur ue
∂t ue (t , x ) + ue (t , x )∂x ue (t , x ) = −∂x p (t , x , Zb (x ))
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équation de Von Kármán
1
Équations du uide
2
Équation de Von Kármán
3
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de quantité de mouvement
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ 2 ) près
4
Système nal obtenu
5
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait reposant sur une couche mince
10/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équation de Von Kármán
Équation de Von Kármán
∂t ue (t , x ) + ue (t , x )∂x ue (t , x ) = −∂x p (t , x , Zb (x ))
∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p + ∂y2 u
(∗)
(∗∗)
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équation de Von Kármán
Équation de Von Kármán
∂t ue (t , x ) + ue (t , x )∂x ue (t , x ) = −∂x p (t , x , Zb (x ))
∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p + ∂y2 u
(∗)
(∗∗)
Équation de défaut de vitesse :
∂t (ue − u ) + ue ∂x ue − u ∂x u − v ∂y u = −∂y2 u .
11/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équation de Von Kármán
Équation de Von Kármán
∂t ue (t , x ) + ue (t , x )∂x ue (t , x ) = −∂x p (t , x , Zb (x ))
∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p + ∂y2 u
(∗)
(∗∗)
Équation de défaut de vitesse :
∂t (ue − u ) + ue ∂x ue − u ∂x u − v ∂y u = −∂y2 u .
Intégration selon y :
∂t
+∞
Z
0
(ue − u ) dy
+ ∂x ue
+∞
Z
−
0
+∞
Z
0
(ue − u ) dy +
u ∂x u dy + ue
+∞
Z
0
+∞
Z
0
u ∂x (ue − u ) dy
∂x u dy = ∂y u |y =0 .
11/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équation de Von Kármán
Équation de Von Kármán
δ1 (t , x ) =
Z
δ2 (t , x ) =
Z
+∞
+∞
u
ue
0
0
1−
u
ue
1−
dy
u
ue
Épaisseur de déplacement
dy
Épaisseur de quantité de mouvement
Proposition
On possède alors une équation faisant intervenir ue , δ1 et δ2 :
∂t (ue δ1 ) + ue δ1 ∂x ue + ∂x (ue2 δ2 ) = ∂y u |y =0 .
(8)
sans oublier l'équation sur ue établie précédemment :
∂t ue + ue ∂x ue = −∂x p |y =Zb
(9)
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équation de Von Kármán
Élimination de δ2
Soit un prol de vitesse ϕ tel que :

u (t ,x ,y )
ϕ(t , x , δ (yt ,x ) ) = u (t ,x )


e
1


ϕ(t , x , 0) = 0
ϕ(t , x , +∞) = 1


R +∞
(1 − ϕ) = 1.
0
On a alors une réécriture de δ2 :
δ2 = δ1 H −1
avec H −1 =
R +∞
0
ϕ(1 − ϕ) d ỹ .
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations intégrées
1
Équations du uide
2
Équation de Von Kármán
3
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de quantité de mouvement
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ 2 ) près
4
Système nal obtenu
5
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait reposant sur une couche mince
14/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de continuité
Intégration de l'équation de continuité ∂x u + ∂y v = 0
=⇒ v (t , x , η) = v (t , x , Zb ) − ∂x
η
Z
Zb
!
u dy + u (t , x , η)∂x η − u (t , x , Zb )Zb0
Cinématique à la surface + condition d'adhérence :
Z
=⇒ ∂t h + ∂x
η
Zb
u dy
!
= 0.
Dénition
On dénit Ũ par la relation :
hŨ =
Z
η
Zb
u dy .
∂t h + ∂x (hŨ ) = 0
(10)
15/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations intégrées
Équation de quantité de mouvement
Équation de quantité de mouvement
Équation de quantité de mouvement : ∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p + ∂y2 u .
Intégration entre Zb et η en exploitant :
∂x u + ∂y v = 0
∂t η + u ∂x η = v
en
u=v =0
en
y = η(t , x )
y = Zb
On obtient :
∂t
Z
η
Zb
!
u dy + ∂x
Z
η
Zb
u 2 dy
!
Z
=−
η
Zb
2
∂x p dy − δ ∂y u |y =Zb .
(11)
16/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations intégrées
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ2 ) près
Réduction du nombre d'inconnues
Approximation de hŨ
hŨ = hue − δ ue δ1 .
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations intégrées
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ2 ) près
Réduction du nombre d'inconnues
Approximation de hŨ
hŨ = hue − δ ue δ1 .
hŨ = −
Z
η
Zb
(ue − u ) dy +
Z
η
Zb
ue dy
17/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Équations intégrées
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ2 ) près
Réduction du nombre d'inconnues
Approximation de hŨ
hŨ = hue − δ ue δ1 .
hŨ = −
Z
η
Zb
(ue − u ) dy +
Z
η
Zb
ue dy
Approximation de Zη u 2
b
R
Z
η
Zb
u 2 = hŨ 2 + δ Ũ (δ1 − δ2 )
17/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Système nal obtenu
1
Équations du uide
2
Équation de Von Kármán
3
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de quantité de mouvement
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ 2 ) près
4
Système nal obtenu
5
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait reposant sur une couche mince
18/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Système nal obtenu
Système complet
Hypothèse hydrostatique
L'hypothèse hydrostatique donne p (t , x , y ) = g (η(t , x ) − y ) et de là
Z
η
Zb
∂ x p = g ∂x (
h2
) + ghZb0
2
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Système nal obtenu
Système complet
Le système obtenu est :
∂t h + ∂x (hŨ ) =0
g 2
2
h + δ Ũ δ1 (1 − H −1 )) = − ghZb0 − δτ1
2
∂t (ue δ1 ) + ue δ1 ∂x ue + ∂x (ue2 δ1 H −1 ) =τ1
∂t ue + ue ∂x ue = − g ∂x h − gZb0
∂t (hŨ ) + ∂x (hŨ 2 +
(12)
(13)
(14)
(15)
où τ1 = ∂y u |y =0 .
19/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
Système nal obtenu
Système complet
Le système obtenu est :
∂t h + ∂x (hŨ ) =0
g 2
2
h + δ Ũ δ1 (1 − H −1 )) = − ghZb0 − δτ1
2
∂t (ue δ1 ) + ue δ1 ∂x ue + ∂x (ue2 δ1 H −1 ) =τ1
∂t ue + ue ∂x ue = − g ∂x h − gZb0
∂t (hŨ ) + ∂x (hŨ 2 +
(12)
(13)
(14)
(15)
où τ1 = ∂y u |y =0 .
Avec δ = 0
On retrouve les équations de Saint Venant sans frottements :
∂t h + ∂x (hŨ ) =0
∂t (hŨ ) + ∂x (hŨ 2 +
g 2
h ) = − ghZb0
2
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Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
D'autres approches
1
Équations du uide
2
Équation de Von Kármán
3
Équations intégrées
Équation de continuité
Équation de quantité de mouvement
Lien entre les diérentes inconnues à O (δ 2 ) près
4
Système nal obtenu
5
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait reposant sur une couche mince
20/22
Un modèle de couche limite pour un écoulement à surface libre
D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait + condition de transpiration
Etude asymptotique v en +∞ et vFP en y = 0
=⇒ vFP (t , x , 0) = δ∂x (ue δ1 )
21/22
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D'autres approches
Fluide parfait dans tout le domaine
Fluide parfait + condition de transpiration
Etude asymptotique v en +∞ et vFP en y = 0
=⇒ vFP (t , x , 0) = δ∂x (ue δ1 )
Deux équations intégrées :
Z η
∂t h + ∂x
uFP − δ∂x (ue δ1 ) =0
0
Z η
Z η
2
∂t
uFP + ∂x
uFP − δ uFP (x , 0)∂x (ue δ1 ) = − gh∂x η
0
0
21/22
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D'autres approches
Fluide parfait reposant sur une couche mince
Fluide parfait reposant sur la couche limite
Glissement =⇒ vFP (t , x , δδ1 ) = δ uFP (t , x , δδ1 )∂x δ1 .
22/22
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D'autres approches
Fluide parfait reposant sur une couche mince
Fluide parfait reposant sur la couche limite
Glissement =⇒ vFP (t , x , δδ1 ) = δ uFP (t , x , δδ1 )∂x δ1 .
Deux équations intégrées :
∂t h + ∂x
∂t
Z
η
δδ1
uFP + ∂x
Z
η
δδ1
η
Z
δδ1
uFP =0
2
uFP
= − g (η − δδ1 )∂x η
22/22