BA - MIAGE de Nantes

Module Mathématiques pour l’Informatique_ partie 4
Zahra Royer-SafouanaTabiou
Exercice 3 (avec indications)
Soit A , B et C des parties d’un ensemble E .
1. Simplifier au maximum les écritures suivantes :
(
)
i) B ∩ A ∪ B ;
ii)
(
)
A∪ A∪ B ;
iii) A ⊕ ( B ⊕ A)
2. Démontrer que : i) A ⊕ B = A ⊕ B ; ii) ( A − B ) − C = A − ( B ∪ C ) ;
ii) A ∩ ( B ⊕ C ) = ( A ∩ B ) ⊕ ( A ∩ C )
3. Démontrer les équivalences suivantes :
i) ( A − B ) − C = A − ( B − C ) ⇔ A ∩ C = ∅ ;
iii) A ⊂ B ⊂ C ⇔ B = ( B ∩ C ) ∪ A ∩ B
(
Indications :
1. Réponses :
i) A ∪ B ;
ii) B ;
[
)
ii) ( A ∩ B ) ∪ C = A ∩ ( B ∪ C ) ⇔ C ⊂ A
] [
]
iii) A ⊕ B ⊕ A = [ A ∩ ( B ⊕ A) ] ∪ A ∩ ( B ⊕ A) = A ∩ B ∪ [ A ∪ ( B ⊕ A) ] = A ∪ B
2. On rappelle que :
• A− B = A∩ B ;
• A⊕ B = A∩ B ∪ A∩ B
(
) (
)
• A= A.
Utiliser ensuite les propriétés fondamentales (iii) et iv en particulier.
3. i)
( A − B) − C =
(
)
A − ( B ∪ C ) = A ∩ B ∩ C et A − ( B − C ) = A ∩ B ∪ ( A ∩ C ) .
ii) et iii) on rappelle que A ∩ C = ∅ ⇔ A ⊂ C . On établit les deux implications.
Ensembles numériques
On appelle ainsi les ensembles de nombres : (cf. Wikipédia)
•
•
•
•
•
•
•
•
, ensemble des entiers naturels.
, ensemble des entiers relatifs.
, ensemble des nombres décimaux.
, ensemble des rationnels.
, ensemble des nombres réels.
, ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
, ensemble des nombres réels négatifs ou nuls.
, ensemble des nombres complexes.
•
⊂
⊂
, les mêmes ensembles privés de zéro.
⊂
⊂ ⊂
.
•
Par construction on a
•
Chacun de ces ensembles a été créé pour répondre à de nouvelles questions
(en particulier existence de solutions à des équations, convergence de suites,
décomposition des polynômes en facteurs linéaires).
Ces ensembles sont munis d’une addition et d’une multiplication et d’une
relation d’ordre dites « naturelles ». On y reviendra.
Comprendre l’aspect conceptuel de ces ensembles est important pour leur
utilisation quotidienne et l’implémentation des nombres. On apprend aussi des
démarches mathématiques de construction d’ensembles et des
raisonnements, très utiles en l’informatique
•
•
≠
≠
≠
≠
≠
= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11,.........} est l’ensemble des entiers naturels. Au niveau
élémentaire son existence est admis . Il sera construit plus tard par le principe de
récursion, qui confère à
un bon ordre.
L’addition et la multiplication des entiers naturels sont intuitives. Elles conduisent
à considérer la soustraction et la division. Mais x + a = b ⇔ x = b − a n’a de sens dans
que si b ≥ a . La division est définie par a divise b (ou a / b ) si et seulement si il existe
b
k ∈ IN tel que b = ka (on dit que b est un multiple de a , on écrit aussi k =
).
a
b
∗ Donner du sens à b − a et
c’est créer des entiers négatifs et des fractions
a
rationnelles. On est conduit aux ensembles
et .
Il est alors nécessaire de caractériser de manière unique ces ensembles afin
de pouvoir généraliser l’ordre et les 4 opérations : addition, soustraction,
multiplication, et division, et préciser les règles de calcul et de
comparaison.
∗
L’arithmétique sur
, que l’on généralise aux anneaux de polynômes est un
fondamental des mathématiques pour l’informatique. Nous l’étudierons au chapitre
3.
Pour cela on utilise des procédures mathématiques d’extension de structure
algébrique ou d’ordre et le concept de relation d’équivalence et d’ensemble
quotient (voir ci-dessous).
Un entier relatif et un rationnel représente en réalité une classe de couples de
IN × IN * suivant une relation qui constitue l’égalité sur ces ensembles.
Pour le moment nous conservons les connaissances élémentaires de ces ensembles :
= {........,− 2,− 1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11,.........} : ensemble des entiers relatifs. Dans
l’équation x + a = b, a, b ∈ admet une solution unique à savoir b − a .
La régle de comparaison est a ≤ b ⇔ b − a ≥ 0 et tout entier négatif est plus petit
que 0.
Outre les propriétés usuelles de l’addition et de la multiplication , rappelons
a≤ b⇔ −b≤ −a
quelques règles fondamentales : − ( − a ) = a ; ( − a ) × b = − ( ab ) ;
{
}
= a × 10 n , n ∈ Z : ensemble des nombres décimaux (on les représente en nombre à
virgule, le nombre de chiffres après la virgule est finie) .
L’ensemble des décimaux positifs est antérieur
à
puisqu’il provient
naturellement de la mesure élémentaire des grandeurs.
La maîtrise des règles de calcul sur
et des puissances en général, est
fondamentale puisque la plupart du temps les calculs sur les nombres réels sont
approximations par des décimaux ou des rationnels (voir rappel d’analyse).
Les problèmes de partage conduisent de manière naturelle à des fractions
(positives) et aux équations du types ax + b = c, a ∈ IN * et b, c ∈ IN .
On crée alors le corps des fractions rationnelles :
 p

=  , p ∈ Z et q ∈ Z * ensemble des nombres rationnels ou corps des fractions
q

de
.
n=
Pour tout entier relatif on a
n
1
c
.
a
Ici il est assez évident qu’une fraction est une classe de couples d’entiers car pour
p np
p
=
tout n ∈ *,
. On définit ainsi la notion de fraction irréductible :
est
q nq
q
irréductible si et seulement si p et q sont premiers entre eux ( c’est à dire leur
Dans
et l’équation ax = c admet une solution unique
seul diviseur commun est 1 : voir chapitre 3).
- Toute fraction rationnelle admet un représentant irréductible.
Les opérations ne dépendant pas du choix du représentant (voir ensemble quotient
et opération compatible) .
Les règles de base de calcul dans
sont : (égalité) :
a c
=
⇔ ad = bc ; (comparaison)
b d
(opposé) :
a − a
−
=
, on convient de représenter un rationnel avec un dénominateur positif.
b
b
(comparaison)
a
a c
a c
> 0 ⇔ ab > 0 ⇔ [ ( a > 0 et b > 0) ou ( a < 0 et b < 0 ) ] ;
≥
⇔
− ≥ 0
b
b d
b d
(addition –soustraction)
a c ad ± bc
± =
;
b d
bd
(mutiplication) :
a c ac
× =
.
b d bd
(inversion) :
a
Si ≠ 0 ⇔ a ≠ 0 alors
b
1
a
b
=
b
a .
(division ou quotient)
a c a d ad
= × =
.
b d b c bc
Les propriétés usuelles de ces
distributivité ) restent valables.
opérations
(commutativité,
associativité,
∗ Les problèmes de recherche des racines de polynômes à coefficients entiers ont
toujours préoccupés ; ces problèmes naissent en géométrie, dans les problèmes de
partage, et ces questions sont récurrentes dans les problèmes résolus par
l’informatique. Pour ces questions le corps
s’est vite révélé insuffisant, et on a
été conduit à développer la théorie des extensions de corps. On a alors créé des
corps contenant
et des nombres irrationnels en fonction des besoins. Les
nombres irrationnels apparaissent dans des problèmes élémentaires de géométrie :
construire un carré de surface 2 unités carrés conduit à l’équation x 2 − 2 = 0 . On
établit assez aisément qu’aucun nombre rationnel ne vérifie cette équation.
On note 2 une solution, c’est un nombre irrationnel et on peut construire
l’extension ( 2 ) = a + b 2 , a, b ∈ Q . L’addition la multiplication se faisant suivant
les règles habituelles.
L’algèbre géométrique, la théorie des nombres, la géométrie algébrique, cadres
généraux d’étude des problèmes d’extension, sont des domaines de base pour
l’informatique et particulièrement la cryptographie.
{
}
Les irrationnels naissent aussi des questions de limites de suites de nombres
n
1

rationnels : par exemple la suite de terme général  1 +  est une suite de
n

rationnels qui converge vers un irrationnel nommé e (base de l’exponentiel
néperien). Les termes de cette suite fournissent les approximations de ce nombre.
: corps des nombres réels. Pour faire simple c’est la réunion de l’ensemble des
rationnels et de l’ensemble des irrationnels. Un réel est un nombre à virgule, la
partie fractionnaire pouvant être illimité. On distingue alors les décimaux (nombre
de chiffres après la virgule fini ), les rationnels (nombre de chiffres après la virgule
fini ou infini périodique) et les irrationnels (nombre de chiffres après la virgule
infini non périodique). Mais une telle définition ne permet pas une identification
facile de rationnel et d’irrationnel . Dans ce domaine l’informatique a beaucoup
apporté.
L’analyse va permettre de construire formellement les réels et de structurer de
manière moderne . Voici quelques éléments.
Un nombre réel est par définition la limite d’une suite convergente de nombres
rationnels.
Les nombres réels admettent diverses représentations : nombre à virgule, écriture
dans une base, représentation en fraction continue, limite de suites de rationnels ;
etc. Le choix de la représentation conditionne souvent la précision de méthodes
numériques.
L’addition et la multiplication conservent leurs propriétés ; l’ordre naturel est
généralisé. Nous supposons les connaissances élémentaires acquises.
On démontre qu’entre deux nombres rationnels il y a une infinité d’irrationnels et
qu’entre deux irrationnels il y a une infinité de rationnels. C’est important pour les
propriétés topologiques de 3(confer module analyse) .
Sur
,
jouie de propriétés très particulières. La notion de partie entière lui
confère un rôle important. La partie entière d’un nombre x , noté [ x ] , est le plus
grand des entiers inférieurs ou égaux à x . Autrement dit [ x ] est le seul entier naturel
vérifiant [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 . Cela permet de donner à
une caractérisation parmi les
corps ordonnés.
Sur
, l’équation x 2 + 1 = 0 n’a pas de solutions donc le problème de la résolution
d’équations algébriques n’est pas résolu. On va procéder à l’extension de . On
définit un nombre noté i (comme imaginaire) qui représente une racine carré de -1,
ce n’est pas un réel, puis on construit le corps des nombres complexes ou
imaginaires par :
{
}
= z = a + ib, a, b ∈ IR avec i 2 = -1 : Corps des nombres complexes.
L’addition et la
multiplication des complexes s’effectuent de manière habituelle.
Si z = a + ib on dit que a est la partie réelle de z (notée réel( z )) et
réelle de z (notée im( z )).
b la partie
On généralise les règles habituelles de calcul et l’égalité des nombres
complexes est : a + ib = a ′ + ib ′ ⇔ ( a, b ) = ( a ′ , b ′ ) .
Dès lors l’application z = a + ib  ( a, b ) est une bijection de sur le plan euclidien IR 2
.
z = a + ib S’appelle affixe du point P ( a, b ) ou du le vecteur OP. On peut donner
-
d’autre représentations importantes des nombres complexes. Parmi elles, la forme
polaire joue un rôle important :
z = a + ib = re iθ = r ( cosθ + isinθ
)
avec r =
longueur du vecteur OP ) et θ
a2 + b2 = z
appelé module de z (c’est la
l’angle formé par OX et OP , θ s’appelle
argument de z , il est unique modulo 2kπ , k ∈ . Souvent on choisit de prendre
θ ∈ ] − π , π ] ou θ ∈ [ 0,2π [ .
Sous la forme polaire, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont
le même module et si leurs arguments sont égaux modulo 2kπ , k ∈ .
Les notions de module et d’argument de nombre complexe sont basiques dans
la pratique des nombres complexes. A cela il faut ajouter la notion de
conjugué.
Le conjugué de z = a + ib est z = a − ib . Dans le plan euclidien, c’est le
symétrque de P( a, b ) par rapport à l’axe des abcisses.
Rappelons quelques propriétés importantes pour la pratique :
i) z ∈ IR ⇔ im( z ) = 0
-
ii) z = z ;
iii)
2
z z = z = a 2 + b 2 si z = a + ib ;
z + z ′ ≤ z + z ′ ; zz ′ ≤ z z ′
pour tout entier naturel ( resp. pour tout entier relatif
z ≠ 0)
on a
n
zn = z .
n
n inθ
n
Si z = re iθ alors z = r e = r ( cos( nθ ) + i sin ( nθ ) ) .
Résultat fondamental : tout polynôme non constant à coefficients complexes
admet au moins une racines. Autrement dit tout polynôme se factorise en
produit de facteurs linéaires (polynôme de degré 1 : α X + β ).
Cas particuliers des polynômes à coefficients réels : dans , les racines d’un
polynôme non constant à coefficients réels sont soit réelles ou complexes 2 à 2
conjuguées.