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La trigonométrie (p62)
I) Utilisation de la trigonométrie pour calculer une distance :
1) Cosinus d’un angle aigu : rappel
Notation : le cosinus de l’angle est noté
·
cos( )angle
.
Définition :
··
'
cos( ) '
longueur du côté adjacent à l angle
angle longueur de l hypoténuse =
Exemple : soit le triangle VFE rectangle en V.
·
( )
.....
cos ..... VFE =
·
( )
.....
cos ..... FEV =
Propriété : soit un angle
$
x
strictement compris entre 0° et 90°
on a :
$
( )
0 cos 1x < <
2) Sinus d’un angle aigu :
Définition : soit un triangle rectangle. On appelle sinus d’un
des deux angles aigus le quotient de la longueur du

côté opposé à cet angle par la longueur de
l’hypoténuse.
Notation : le sinus de l’angle sera noté
·
sin( )angle
.
hypoténuse
anglelàopposécôté
angle ' )sin( =
Exemple : soit le triangle VFE rectangle en V.
·
( )
.....
sin ..... VFE =
·
( )
.....
sin ..... FEV =
Propriété : soit un angle
$
x
strictement compris entre 0° et 90°
on a :
$
( )
0 sin 1x < <
Exemple :
Soit un triangle EDF rectangle en D tel que
·
35EFD = °
et ED=8 cm. Calculer EF. Donner la valeur exacte et
une valeur arrondie au mm près.
Croquis :
Dans le triangle EDF rectangle en D, on a :

·
( )
( )
sin( )
8
sin(35 )
8 1 ( )
sin(35 )
8valeur exacte
sin(35 )
13,9 valeur arrondie au mm
DE
EFD EF
EF
EF quatrième proportionnelle
EF cm
EF cm
=
° =
×
=°
=°
≈
L' une des tâches de l'astronomie fût l'établissement de tables
permettant le passage de la mesure des angles à celle de arcs
et des cordes.
Les premières tables des cordes, celles d’HIPPARQUE (II av
J.C. ) ont été perdues mais on s'accorde à voir en Hipparque
l'ancêtre de la trigonométrie.
Plus tard, un mathématicien indien nommé ARYABHATA, a
eût la bonne idée de considérer la demi-corde de l'angle
double plutôt que la corde de l'angle. Les indiens ont ainsi
remplacé les tables des cordes par celles de sinus. Le nom
indien donné à la demi-corde de l'angle double deviendra
notre sinus après avoir été traduit arabe puis en latin.
3) Tangente d’un angle aigu :
Définition : soit un triangle rectangle.
On appelle tangente d’un des deux angles aigus le
quotient de la longueur du côté opposé à cet angle
par la longueur du côté adjacent.
Notation : la tangente de l’angle sera notée
·
tan( )angle
.
'
tan( ) '
longueur du côté opposé à l angle
angle longueur du côté adjacent à l angle =
Exemple : soit le triangle VFE rectangle en V.
·
( )
.....
tan ..... VFE =
Hipparque

·
( )
.....
tan ..... FEV =
Remarque : la tangente d’un angle aigu peut être supérieure à
1
Exemples :
tan(60°) =
tan(25°)
tan(45°) =
Né à Saint-Mihiel (duché de Lorraine),
Albert Girard (1595-1632), étant sans doute
membre des églises réformées (principale Eglise
protestante de France), dut s'établir aux Pays-
bas. Il étudia probablement à l'Université de Leyde, et fut
ingénieur dans l'armée de Frédéric-Henri de Nassau, prince
d'Orange.
Ses travaux portent sur la géométrie sphérique.
En 1626, dans « Tables de sinus, tangentes et sécantes » il est
l'un premier à utiliser les abréviations sin, tan et sec pour
sinus, tangente et sécante.