Chapitre 2 : TRIGONOMETRIE Capacités connaissances

Chapitre 2 : TRIGONOMETRIE
Comment déterminer des distances par triangulation ?
Quelle est l’origine du radian ?
Comment définir le sinus et le cosinus d’un angle ?
Comment modéliser une tension électrique ?
Capacités
connaissances
-Placer, sur le cercle trigonométrique, le point M image
d’un nombre réel x donné.
-Déterminer graphiquement, à l’aide du cercle
trigonométrique, le cosinus et le sinus d’un nombre réel
pris parmi les valeurs particulières.
-Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur
approchée du cosinus et du sinus d’un nombre réel donné.
-Réciproquement, déterminer, pour tout nombre réel k
compris entre -1 et 1, le nombre réel x tel que cos x = k
ou sin x = k.
-Passer de la mesure en degré d’un angle géométrique à sa
mesure en radian et réciproquement.
-Construire point par point, à partir de l'enroulement de R
sur le cercle trigonométrique, la représentation graphique
de la fonction sin x.
-Établir des liens entre le vecteur de Fresnel d’une tension
ou d’une intensité sinusoïdale de la forme a sin( t + ) et
la courbe représentative de la fonction qui à t associe
a sin( t + ).
-Cercle trigonométrique.
-Image d’un nombre réel x donné sur le cercle
trigonométrique.
-Cosinus et sinus d’un nombre réel.
-Propriétés :sin² x + cos² x =1
-Les mesures en degré et en radian d’un angle sont
proportionnelles ( radians valent 180 degrés).
-Courbe représentative de la fonction sin x
-Représentation de Fresnel d’une grandeur sinusoïdale.

I) Comment déterminer des distances par triangulation ?
1) Avec un triangle rectangle
On désire déterminer la distance Calais-Douvres AB ainsi
que la distance Cap gris Nez-Douvres AC .
On connaît la distance Calais- Cap gris Nez BC=20 km
ainsi que la valeur de l’angle CBA = 46.44°.Le triangle
(ABC) est rectangle en C
Donner les relations trigonométriques dans (ABC)
En déduire les distances AB et AC
2) Dans un triangle quelconque
a) Problème : On désire déterminer la distance entre la Terre et la Lune .
2 observateurs se situant en A et en B mesure la valeur de l’angle entre la verticale
( le zenith ) et la planète .
Les valeurs sont AB = 5000 km , ( BOA)==0.5° et (OAB) = 35.166°
Les relations utilisées en 1) sont-elles utilisables ? Pourquoi ?
b) Recherche d’une relation dans le triangle (OAB)
On considère un triangle quelconque (ABC)
Déterminer les valeurs suivantes
a
b
c
A
B
C
Dans le triangle (OBC) ,exprimer OB en fonction de (C) et de a
Dans le triangle (OBA) ,exprimer OB en fonction de (A) et de c
En déduire une relation entre (C) , (A) , a et c
Avec la même démarche , proposer une relation entre (C) , (B) , b et c
Dans un triangle (ABC) on a la relation
Vérification
c) Retour au problème Etablir une relation dans le triangle (OAB) et calculer la distance OB
La distance Terre-Lune est de
C
A
B
O
A
B
C
c
b
a
O

II) Quelle est l’origine du radian ?
1) Le cercle trigonométrique et le radian
Les grecs ont beaucoup étudiés les angles pour l’astronomie .Le point de départ de leurs études est
:
On a représenté un cercle trigonométrique à l’échelle 4/1 .Avec votre règle , placer le point R tel que la longueur de l’arc (AR) = 1 soit
sur le dessin
On définit le radian comme
Mesurer la longueur de l’arc (AP) =
On définit
2) Relation entre le radian et le degré
Compléter le tableau
Conversion entre le radian et le degré
Exercice : Exprimer /8 en degré -/4 en degré 120° en radian
Longueur
De l’arc AR
Cercle
entier
Demi-
cercle
Tiers de
cercle
Quart de
cercle
Sixième
de
cercle
Mesure de
(AOR)
En radians
Mesure de
(AOR)
En degré
!
A
O
P
!
!

III) Comment définir le sinus et le cosinus d’un angle ?
1) Définition
Soit le point M du cercle trigonométrique tel que (AOM) = /3
Déterminer les coordonnées de M
A la calculatrice , calculer cos /3 = et sin /3 =
Comparer les valeurs
Dans un repère orthonormé associé au cercle trigonométrique,
soit un point M sur le cercle trigonométrique défini par sa valeur
d’angle a
Le cosinus de a est
Le sinus de a est
2) Propriétés
a) Quel que soit la position du point M , entre quelles valeurs l’abscisse et l’ordonnée de M restent-elles comprises ?
b)
3) Valeurs particulières
Valeur de l’angle a
Cos a
Sin a
Calculs éventuels
A
O
P
!
!
!

4) Recherche d’angle
a) Résolution de l’équation cos x = k sur [ - ]
On cherche à résoudre l’équation cos x = -0,6 sur [ - ] . Déterminer graphiquement la solution de l’équation en utilisant
le cercle trigonométrique
On trouve x =
A l’aide de la calculatrice, résoudre l’équation
Pour retrouver la valeur d’un angle à partir de son cosinus,
b) Résolution de l’équation sin x = k sur [ - ]
On cherche à résoudre l’équation sin x = 0,7 sur [ - ] .
Déterminer graphiquement la solution de l’équation en
utilisant le cercle trigonométrique
On trouve x =
A l’aide de la calculatrice, résoudre l’équation
Pour retrouver la valeur d’un angle à partir de son sinus ,
IV) Comment modéliser une tension électrique ?
1) Représentation de la fonction sinus
On désire construire la représentation graphique de la fonction sinus sur l’intervalle [0 ; 2 ]
On obtient une
Calculer sin(  et sin(   On a
La fonction sinus est
A
O
P
!
!