Université Mohammed Premier ENSAO TD Algèbre 3 – Série N° 2 Filière STPI – S3 – Année 2015-16 ***** −1 0 0 Exercice 1 : Soit dans M3 (R) la matrice 𝐴 = ( 0 0 −1) 1 1 2 a) Exprimer le polynôme caractéristique de A ; b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A ; c) Trigonaliser A et déterminer une matrice P qui trigonalise A. La matrice A est-elle diagonalisable ? 0 −𝑏 𝑐 Exercice 2 : On considère dans M3 (R) la matrice 𝐴 = ( 𝑎 0 −𝑐 ) −𝑎 𝑏 0 Pour quelles valeurs des paramètres a, b et c A est diagonalisable ?. 2 1 −2 Exercice 3 : Pour quelles valeurs du paramètre α la matrice 𝐴 = (1 α −1 ) de M3 (R) 1 1 −1 n’est pas diagonalisable ? Trigonaliser A pour ces valeurs de α . Exercice 4 : On se propose de déterminer le nombre de solutions dans M3 (K) (K = R ou C ) de 1 3 0 l’équation (E) : X2 = A où 𝐴 = (3 −2 −1) 0 −1 1 a) Déterminer spec(A) ; b) Montrer qu’il existe une matrice P dans GL3 (K) telle que P-1AP=D où D=diag(spec(A)) ; c) Montrer que toute matrice de Mn (K) qui commute avec une matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont distincts deux à deux, est diagonale ; d) Montrer que si X est une solution de (E), alors P-1XP commute avec D ; e) Montrer que X est solution de (E) si et seulement si P-1XP est solution de l’équation Y2 =D ; f) Enumérer les solutions de l’équation (E) dans M3 (R) et dans M3 (C). Exercice 5 : Soient A et B deux matrices de Mn (R) semblables dans Mn (C), on se propose de montrer qu’elles sont semblables dans Mn (R). a) Soit P ϵ GLn (C) telle que : P-1AP=B . Montrer que la partie réelle Q et la partie imaginaire R de P vérifient : AQ = QB et AR = BR ; b) Pour z ϵ C, on pose F(z) =det(Q+zR). Montrer que F est une fonction polynomiale non nulle de degré inférieur ou égal à n. En déduire qu’il existe un réel α tel que la matrice Q+ α R est inversible et puis que A et B sont semblables dans Mn (R) ; 1 2 3 1 3 2 c) Application : 𝐴 = (3 1 2) et 𝐵 = (2 1 3) 2 3 1 3 2 1 i. Montrer que A et B sont toutes les deux semblables à une matrice diagonale D ϵ M3 (C) et déterminer D et déduire de ce qui précède que A et B sont semblables dans M3 (R). ii. A et B sont-elles diagonalisable dans M3 (R) ? Exercice 6 : Soient A et B deux matrices de Mn (K). On se propose d’établir l’égalité des polynômes caractéristiques des matrices AB et BA. a) Etablir l’égalité si A est inversible. b) Si A n’est pas inversible, montrer qu’il existe un réel ε >0 tel que la matrice A+tIn est inversible pour tout t ϵ]0, ε[. c) En déduire que l’égalité est encore vraie pour A non inversible. d) Applications : i. Montrer que pour tout p ϵ N, (AB)p et (BA)p ont le même polynôme caractéristique. ii. Si K = C, montrer que les coefficients du polynôme caractéristique de 𝐴𝐴̅ sont réels. 3 −1 1 Exercice 7 : On considère dans M3 (R) la matrice 𝐴 = (0 2 0) 1 −1 3 a) Montrer que A est diagonalisable et trouver une matrice P qui diagonalise A ; b) En déduire An pour un entier n > 1 ; c) Application : Déterminer les suites (un), (vn) et (wn) de nombres réels définies par : u 0 = 1, v 0 = 1, w 0 = 2 u = 3u 𝑛 − v 𝑛 + w 𝑛 { 𝑛+1 v 𝑛+1 = 2v 𝑛 w 𝑛+1 = u 𝑛 − v 𝑛 + 3w 𝑛 0 1 Exercice 8 : On considère dans Mn (R) la matrice 𝐴𝑛 = ( 0 1 0 ⋱ ⋱ ) ⋱ ⋱ 1 1 0 et on désigne par Pn(X) son polynôme caractéristique. a) Calculer P1(X) et P2(X) et montrer que Pn(X) = -x Pn-1(X) - Pn-2(X) b) Montrer que 𝑃𝑛 (−2 cos(𝛼)) = sin((𝑛+1)𝛼) sin(𝛼) pour α ϵ ]0, 𝜋[ . c) En déduire que Pn(X) admet n racines distinctes, puis que An est diagonalisable. Exercice 9 : Soient A et B deux matrices de Mn(K) diagonalisables telles que spec(A)∩spec(B)=∅. On se propose de montrer que pour toute matrice C de Mn(K), les matrices : 𝐴 𝑂𝑛 𝐴 𝐶 𝑉=( ) et 𝑊 = ( ) sont semblables dans M2n(K). 𝑂𝑛 𝐵 𝑂𝑛 𝐵 a) Montrer que V est diagonalisable ; 𝐼 𝐷 𝐼 b) Vérifier que ∀ D ϵ Mn(C) , la matrice P=( 𝑛 ) est inversible et P-1=( 𝑛 𝑂𝑛 𝐼𝑛 𝑂𝑛 𝐴 𝐸 c) Vérifier que P-1 WP= ( ) où E = AD – DB + C ; 𝑂𝑛 𝐵 −𝐷 ); 𝐼𝑛 d) Soit L l’endomorphisme de Mn(K) défini par : L(M) =MB-AM. Soit M ϵKer(L), montrer que pour tout vecteur propre X de B on a MX=0. En déduire que M= On; e) En déduire que ∀ C ϵ Mn(K), ∃ D ϵ Mn(K) tel que C = DB – AD. Conclure. 1 5 f) Application : diagonaliser la matrice 𝑊 = ( 0 0 0 2 0 0 7 9 5 8 ) 3 0 6 4