Applications linéaires

BCPST2
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2
12
Applications linéaires
Dans tout le chapitre K = R ou C
I Applications linéaires
A) Dénitions
Dénition :
Soint E et F deux espaces vectoriels et f : E → F .
On dit que f est une application linéaire ou un morphisme si et seulement si
∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ K, f (x + λy) = f (x) + λf (y)
On note L(E, F ) l'ensemble des applications linéaires de E dans F .
Dénition : Vocabulaire
G Si E = F . Une application linéaire de E dans E est appelée
On note L(E) l'ensemble des endomorphismes.
G Une application linéaire, bijective de E dans F est appelée
endomorphisme
de E .
isomorphisme.
G Si E = F . Une application linéaire, bijective de E dans E est appelée
automorphisme.
Exemple :
G C 1 (I, R) → C 0 (I, R) .
f 7→ f 0
©
G R[X] → R[X] .
P 7→ P 0
G f:
R3 → R2
(x, y, z) 7→ (2x + z, y − z)
Proposition : Premières propriétés
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f ∈ L(E, F ).
G f (0E ) = 0F
G ∀x ∈ E, f (−x) = −f (x)
G ∀n ∈ N, ∀(xi )1≤i≤n ∈
En,
∀(λi )1≤i≤n ∈
Kn ,
f
n
X
i=1
!
λi xi
=
n
X
λi f (xi )
i=1
B) Structure d'espace vectoriel
Proposition :
Soient E et F deux espaces vetoriels sur K.
L(E, F ) est un K-espace vectoriel.
Démonstration : On montre que L(E, F ) est un sous-espace vectoriel de F E .
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C) Composition
Théorème :
Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur K.
1◦ )
2◦ )
3◦ )
∀f ∈ L(E, F ), ∀g ∈ L(F, G), g ◦ f ∈ L(E, G).
∀f1 , f2 ∈ L(E, F ), ∀g ∈ L(F, G), ∀λ ∈ K,
g ◦ (f1 + λf2 ) = g ◦ f1 + λg ◦ f2 .
∀f ∈ L(E, F ), ∀g1 , g2 ∈ L(F, G), ∀λ ∈ K,
(g1 + λg2 ) ◦ f = g1 ◦ f + λg2 ◦ f .
Démonstration :
Remarque: Formule
du binôme
∗
Soit n ∈ N .
n X
n k
∀f, g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f =⇒ (f + g) =
f ◦ g n−k
k
n
k=0
Proposition :
Soient E, F deux espaces vectoriels sur K. Soit f ∈ L(E, F ).
Si f est un isomorphisme alors f −1 aussi.
Démonstration :
D) Noyau et Image
Proposition et dénition :
Soient E, F deux espaces vectoriels sur K.
1◦ ) On appelle Image de f et on note :
Im f = f (E) = {f (x), x ∈ E}
c'est un sous-espace vectoriel de F .
2 ) On appelle Noyau de f et on note :
◦
Ker f = {x ∈ E, f (x) = 0F }
c'est un sous-espace vectoriel de E .
Proposition :
Soient E, F deux espaces vectoriels sur K et f ∈ L(E, F ).
1◦ ) f est injective si et seulement si Ker(f ) = {0E }
2◦ ) f est surjective si et seulement si Im f = F
Démonstration :
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II Applications linéaires en dimension nie
A) Image d'une base
Proposition :
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
On suppose que E est de dimension nie.
Soit B = (e1 , . . . , ep ) une base de E .
Soit (f1 , . . . , fp ) une famille de p vecteurs de F .
Alors il existe une unique application linéaire u de E dans F vériant :
∀1 ≤ i ≤ p, u(ei ) = fi
Remarque:
C'est-à-dire qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base.
Démonstration :
B) Rang d'une application linéaire
Dénition :
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
On suppose que E est de dimension nie.
Soit u ∈ L(E, F ).
On appelle rang de u et on note :
rg u = dim Im u
Remarque:
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
On suppose que E est de dimension nie et B = (e1 , . . . , ep ) une base de E .
Soit u ∈ L(E, F ).
G Im u = Vect(u(e1 ), . . . , u(ep )).
G rg u = rg(u(e1 ), . . . , u(ep )).
G rg u ≤ p = dim E .
Démonstration :
Proposition :
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
On suppose que E est de dimension nie et B = (e1 , . . . , ep ) une base de E . Soit u ∈ L(E, F ).
G u injective ⇐⇒ u(B) est libre ⇐⇒ rg u = dim E .
G u surjective ⇐⇒ u(B) est génératrice ⇐⇒ rg u = dim F .
G u bijective ⇐⇒ u(B) est une base ⇐⇒ rg u = dim E = dim F .
Démonsration :
Proposition :
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
On suppose que E et F sont de dimension nie et ont même dimension.
Soit u ∈ L(E, F ).
u bijective ⇐⇒ u injective ⇐⇒ u surjective
Démonstration :
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C) Théorème du rang
Théorème : théorème du rang
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
On suppose que E est de dimension nie.
Soit u ∈ L(E, F ).
rg(u) + dim Ker u = dim E
III Matrices et applications linéaires
A) Matrice colonne d'un vecteur
Dénition :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension ni p, muni d'une base B = (e1 , . . . , ep ).
xi ei un vecteur de E .
i=1
appelle matrice colonne de x dans la base
Soit x =
On
p
X
B et on note :
 
x1
 .. 
X = M atB (x) =  . 
xp
Proposition :
L'application M atB : E → Mp,1 (K) est un isomorphisme.
x 7→ M atB (x)
B) Matrice d'une application linéaire
Dénition :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension ni p, muni d'une base B = (e1 , . . . , ep ).
Soit F un K-espace vectoriel de dimension ni n, muni d'une base C = (f1 , . . . , fn ).
Soit u ∈ L(E, F ).
On appelle matrice de u dans les bases B et C et on note :
u(e1 ) . . . u(ep )


A = M atB,C (u) = 

f1
..
.
fn
Proposition :
L'application M atB,C : L(E, F ) → Mn,p (K)
est un isomorphisme.
u 7→ M atB,C (u)
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C) Traduction matricielle des applications linéaires
Remarque:
Soit E un K-espace vectoriel de dimension ni p, muni d'une base B = (e1 , . . . , ep ).
Soit F un K-espace vectoriel de dimension ni n, muni d'une base C = (f1 , . . . , fn ).
Soit u ∈ L(E, F ) et A = (ai,j )1≤i≤n = M atB,C (u) ∈ Mn,p (K)
1≤j≤p


x1
 .. 
Soit x ∈ E et X =  .  = M atB (x) ∈ Mp,1 (K)
xp
 
y1
 .. 
Soit y = u(x) ∈ F et Y =  .  = M atC (y) ∈ Mn,1 (K).
yn
On a :
Y = AX
L'équation y
= u
(x)
se traduit par :
Y
= A
X
∈ Mn,1 (K)
∈ Mn,p (K) ∈ Mp,1 (K)
Matrice vue comme application linéaire
Soit A ∈ Mn,p (K).
On identie Kn à Mn,1 (K) .
L'application : Kp → Kn
est une application linéaire,
X 7→ AX
de matrice A dans les bases canoniques de Kp et de Kn .
On dénit donc :
Dénition :
G Ker A = {X ∈ Kp , AX = 0}
G Im A = {AX, X ∈ Kp }
G rg A = dim Im A
Remarque:
Soit E un K-espace vectoriel de dimension ni p, muni d'une base B = (e1 , . . . , ep ).
Soit F un K-espace vectoriel de dimension ni n, muni d'une base C = (f1 , . . . , fn ).
Soit u ∈ L(E, F ) et A = (ai,j )1≤i≤n = M atB,C (u) ∈ Mn,p (K)
1≤j≤p
G x ∈ Ker u ⇐⇒ X ∈ Ker A avec X = M atB (x).
G y ∈ Im u ⇐⇒ Y ∈ Im A avec Y = M atC (y).
G rg u = rg A
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D) Composition d'applications linéaires
Remarque:
Soit E un K-espace vectoriel de dimension ni q , muni d'une base B = (e1 , . . . , eq ).
Soit F un K-espace vectoriel de dimension ni p, muni d'une base C = (f1 , . . . , fp ).
Soit G un K-espace vectoriel de dimension ni n, muni d'une base D = (g1 , . . . , gn ).
Soit v ∈ L(E, F ) et B = (bi,j )1≤i≤p = M atB,C (v) ∈ Mp,q (K)
1≤j≤q
Soit u ∈ L(F, G) et A = (ai,j )1≤i≤n = M atC,D (u) ∈ Mn,p (K)
1≤j≤p
On pose w = u ◦ v ∈ L(E, G) et C = (ci,j )1≤i≤n = M atB,D (w) ∈ Mn,q (K)
1≤j≤q
On a :
C = AB
Proposition :
Avec les notations précédentes :
M atB,D (u ◦ v) = M atC,D (u)M atB,C (v)
E) Matrices inversibles
Remarque:
Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit B une base de E .
In = M atB (IdE )
Proposition :
Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit B une base de E .
Soit u ∈ L(E) et A = M atB (u).
u est bijective si et seulement si A est inversible
Dans ce cas, A−1 = M atB (u−1 ).
Remarque:
Soit A ∈ Mn (R).
On a : (inverse à droite)
A est inversible ⇐⇒ ∃B ∈ Mn (R), AB = In
De même : (inverse à gauche)
A est inversible ⇐⇒ ∃B ∈ Mn (R), BA = In
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IV Changement de bases
Positionnement du problème
Soit E un espace vectoriel muni de deux bases B, B0 .
A x ∈ E correspond X = M atB (x) et X 0 = M atB0 (x).
Quel lien entre X et X 0 ?
De même :
Soit E un espace vectoriel muni de deux bases B, B0 .
Soit F un espace vectoriel muni de deux bases C, C 0 .
A u ∈ L(E, F ) correspond A = M atB,C (u) et A0 = M atB0 ,C 0 (u).
Quel lien entre A et A0 ?
A) Matrices de passage
Dénition :
Soit E un espace vectoriel de dimension p muni de deux bases B, B0 .
On appelle matrice de passage de B à B0 et on note :
f1 . . . fp


P ass(B, B 0 ) = 

e1
..
.
ep
la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de B0 exprimés dans la base B.
Exemple :
2
© Dans R , soit B0 la base canonique et u = (2, 4) et v = (3, 1)0 .
Montrer que B = (u, v) est une base et calculer P ass(B, B ) et P ass(B0 , B).
Remarque:
P ass(B, B 0 ) = M atB0 ,B (IdE )
Proposition :
Soit E un espace vectoriel de dimension p muni de trois bases B, B0 , B00 .
G P ass(B, B 00 ) = P ass(B, B 0 )P ass(B 0 , B 00 )
G P ass(B, B) = Ip
G P ass(B, B 0 ) est inversible et P ass(B, B 0 )−1 = P ass(B 0 , B)
Démonstration
Remarque:
De façon plus générale, si B est une base de E et F = (f1 , . . . , fp ) une famille de p = dim E
vecteurs.
f1 . . . fp


On pose P = 

e1
..
.
.
ep
Alors P est inversible si et seulement si F est une base.
Dans ce cas, P est la matrice de passage.
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Application au calcul de l'inverse d'une matrice.
Soit A ∈ Mn (R). On cherche à inverser la matrice A (si c'est possible)
â On considère les colonnes (C1 , C2 . . . Cn ) comme une famille de vecteurs que l'on écrit
en fonction de la base canonique B = (e1 , . . . , en ) :
Cj =
n
X
ai,j ei
Méthode
i=1
â Si A est inversible, (C1 , . . . , Cn ) est une base C et A = P ass(B, C).
â On cherche à écrire la matrice P ass(C, B) en résolvant le système
(
n
X
Cj =
ai,j ei
i=1
où (e1 , e2 , . . . , en ) sont les inconnues.
â Si le calcul aboutit, A est inversible et la matrice de passage ainsi trouvée est A−1 .
Sinon, on se rend compte en cours de route que C n'est pas une base et donc que A
n'est pas inversible.
B) Formule de changement de bases pour un vecteur
Proposition :
Soit E un espace vectoriel de dimension p muni de deux bases B, B0 . On note P = P ass(B, B0 ).
Soit x ∈ E , on note X = M atB (x) et X 0 = M atB0 (x).
Alors
X = P X0
Démonstration
Exemple :
On reprend l'exemple précédent :
© Dans R2 , soit B la base canonique et B0 = (u, v) où u = (2, 4) et v = (3, 1).
Calculer les coordonnées d'un vecteur x = (x1 , x2 ) dans la base B0 .
C) Formule de changement de bases pour un endomorphisme
Proposition :
Soit E un espace vectoriel de dimension p muni de deux bases B, B0 , P = P ass(B, B0 ).
Soit u ∈ L(E), on note A = M atB (u) et A0 = M atB0 (u).
Alors :
A0 = P −1 AP
Démonstration :
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Dénition :
Soient A, B ∈ Mn (R).
On dit que A et B sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme
dans deux bases diérentes.
C'est-à-dire qu'il existe une matrice P ∈ Mn (R) inversible telle que :
B = P −1 AP
Exemple :
©
E = R3 muni de la base canonique B et de la base B 0 = (α, β, γ)
avec α = (1, 2, 0), β = (1, 1, 1), γ = (0, 1, 2).
Vérier que B0 est bien une base de E .
On considère u(x, y, z) = (2x + y, x, y − z).
Ecrire les marices de u dans la base B puis dans la base B0
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Qu'est-ce qu'un Kinder Surprise sans jouet dedans ?
Réponse : un Kinder injectif, car son noyau est réduit à zéro.
© Exercice 1:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EV/EV07.tex
Etudier si les applications suivantes sont linéaires et le cas échéant préciser noyau et image.
1◦ )
R2 → R2
(x, y) 7→ (xy, x − y)
4◦ )
2◦ )
R2 → R2
(x, y) 7→ (x, x − y)
5◦ ) C(R, R) → R
◦
3 )
3
R3 → R2
(x, y, z) 7→ (z, x − y)
f 7→ f (2)
◦
6 ) C (R, R) → C(R, R)
2
R → R
(x, y, z) 7→ (x, x + z + 3)
1
f 7→ f 0
© Exercice 2: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EV/EV08.tex
.
Soit f : R[X] → R[X]
P 7→ (2X + 1)P − (X 2 − 1)P 0
1◦ ) Montrer
que f est linéaire.
2◦ ) Calculer deg(f (P )) en fonction de deg(P ), et en déduire que f réalise un endomorphisme de
R2 [X] dans R2 [X]. On considère dorénavant f|R2 [X] .
3◦ ) Préciser, suivant les valeurs de λ, Ker(f − λid).
© Exercice 3: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EV/EV09.tex
Soit E un K -ev, f un endomorphisme de E tel que f 5 = 0. Montrer que f + idE et f − idE sont
des automorphismes et préciser leur inverse à l'aide des puissances de f .
© Exercice 4: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie19.tex
Soit B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4 .
Soit u un endomorphisme de R4 déni par

u(e1 ) = e1 + e2 + e3 + e4



u(e2 ) = e2 + e3
u(e3 ) = 2e1 + 2e4



u(e4 ) = 2e1 − 2e2 + e3 + e4
Déterminer la matrice de u dans la base B.
Préciser le noyau, le rang et l'image de u.
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Exercices : I
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Exercices : Applications linéaires
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© Exercice 5: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie22.tex
Soit a ∈ R et f la fonction dénie dans Rn [X] par f (P ) = (X − a)(P 0 + P 0 (a)) − 2(P − P (a))
1◦ ) Vérier
que f est un endomorphisme de Rn [X].
2◦ ) Préciser la matrice A de f dans la base canonique de Rn [X].
3◦ ) Soit B 0 = (1, X − a, . . . , (X − a)n ). Montrer que B 0 est une base de Rn [X].
Préciser la matrice A0 de f dans cette base.
4◦ ) Quelle relation existe-t-il entre A et A0 ?
© Exercice 6:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie21.tex
Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3, f ∈ L(E) \ {0} tel que f 2 = 0.


0 0 0
Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est 1 0 0.
0 0 0
© Exercice 7: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie20.tex
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) dénie par :
i−1 j − 1
ai,j = (−1)
si i ≤ j et ai,j = 0 si i > j
i−1
A l'aide de l'endomorphisme de Rn−1 [X] : P (X) 7→ P (1 − X), calculer A2 puis A−1 .
© Exercice 8: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie10.tex
Soient n ∈ N∗ , f : Rn [X] → Rn [X]
.
P 7→ P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X)
1◦ ) Vérier
que l'application f est bien dénie et montrer qu'elle est linéaire.
2◦ ) Déterminer Ker f, Im f, rg(f ).
3 ) Montrer
◦
: ∀Q ∈ Im f, ∃!P ∈ Rn [X],
© Exercice 9:
f (P ) = Q
P (0) = P 0 (0) = 0
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie04.tex
Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique B de R3 est :


2 10 7
4
3
A= 1
−2 −8 −6
On note I la matrice unité et O la matrice nulle de M3 (R).
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Exercices : II
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Exercices : Applications linéaires
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La matrice A est-elle inversible ?
b) Calculer A2 et A3 et determiner le rang de ces deux matrices.
1◦ ) a)
Montrer Ker A ⊂ Ker A2
b) Déterminer Ker A et en donner une base et la dimension.
c) A-t-on Ker A = Ker A2 ?
2◦ ) a)
3◦ ) On
note u = (−2, −1, 2).
a) Déterminer un vecteur v tel que f (v) = u.
puis déterminer un vecteur w tel que f (w) = v .
On choisira dans la mesure du possible la deuxième coordonnée de v et w égale à 1.
b) Montrer que B 0 = (u, v, w) est une base et écrire la matrice de passage de P de B à B 0 .
Justier que P est inversible et calculer P −1 .
c) Montrer sans calcul que la matrice de f dans la base B 0 est


0 1 0
N = 0 0 1
0 0 0
Quelle relation relie A et N ?
4◦ ) Soit B
une matrice de M3 (R) quelconque.
On note CB = {M ∈ M3 (R), M B = BM }
a) Montrer que CB est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
b) Montrer que CN = vect(I, N, N 2 )
c) Montrer :
∀M ∈ M3 (R), M ∈ CA ⇐⇒ P −1 M P ∈ CN
d)
En déduire CA = vect(I, A, A2 ).
Quelle est la dimension de CA ?
© Exercice 10:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie03.tex
1
re
Partie :
On note E = C (R, R) l'ensemble des fonctions de classe C ∞ de R dans R et D : E → E .
∞
f 7→ f 0
1◦ ) Vérier
que D est un endomorphisme de E et déterminer son noyau et son image.
2◦ ) Soient
f1 : R → R , f 2 : R → R
t 7→ et
t
t 7→ e− 2 sin
√ !
t 3
2
, f3 : R → R
t
t 7→ e− 2 cos
√ !
t 3
2
On note : B = (f1 , f2 , f3 ) et G = vect(B).
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Exercices : III
BCPST 952
Exercices : Applications linéaires
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Montrer que la famille B est libre.
Que peut-on en déduire par rapport à G ?
◦
3 ) Montrer :∀f ∈ G, D(f ) ∈ G.
On dit que G est stable par D et on note d l'endomorphisme induit par D sur G.
Ainsi d : G → G
.
f 7→ D(f ) = f 0
Préciser la matrice M de d dans la base B.
4◦ ) Calculer M 3 .
En déduire que M est inversible et préciser son inverse.
5◦ ) En déduire que d est un automorphisme de G et préciser d−1 .
2
e
Partie :
On considère dans cette partie l'équation diérentielle (∗) y 000 = y .
1◦ ) Montrer que si f est une fonction trois fois dérivable et solution de (∗) alors elle est C ∞ .
2◦ ) On note T = D 3 − IdE . Ainsi l'ensemble des solutions de (∗) est Ker(T ).
Montrer, sans faire de calculs, que : G ⊂ Ker(T ).
3◦ ) On veut montrer la réciproque, ainsi on aura déterminé l'ensemble des solutions de (∗).
4◦ ) Soit f une solution de (∗). On pose g = f + f 0 + f 00 .
Montrer : g 0 = g .
5◦ ) Résoudre y 0 − y = 0. En déduire g .
6◦ ) En déduire f .
7◦ ) Conclure et faire un commentaire.
© Exercice 11:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie07.tex
1
re
Partie : Etude de deux applications
La notation R2 [X]désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur
ou égal à 2. On note B = (1, X, X 2 ) la base canonique de R2 [X].
On dénit les deux applications suivantes :
f : R2 [X] → R2[X] X
X +1
1
P
+P
P 7→
2
2
2
et
φ : R2 [X] → R
P 7→ P (1)
On rappelle aussi que l'on note f 0 = IdR2 [X] , et pour tout n ∈ N∗ , f n = f ◦ f n−1 .
1◦ ) Vérier que f est bien à valeurs dans R2 [X] et montrer que f est linéaire.
2◦ ) Montrer que φ est linéaire.
3◦ ) Ecrire la matrice de f dans la base B de R2 [X], en indiquant les calculs intermédiaires.
4◦ ) L'application f est-elle injective ? surjective ?
5◦ ) Déterminer une base de Ker φ. Quelle est la dimension de Ker φ ?
2014-2015
C. Courant
Exercices : IV
BCPST 952
Exercices : Applications linéaires
6◦ ) L'application φ
2
e
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est-elle injective ? surjective ?
Partie : Calcul des puissances successives d'une matrice
On note I3 la matrice identité de M3 (R) et A la matrice :
1 41
A = 0 21
0 0

1
8
1
4
1
4

Enn, on note B0 la famille de R2 [X] dénie par
B 0 = (1, −2X + 1, 6X 2 − 6X + 1)
1◦ ) Justier
que la famille B0 est une base de R2 [X].
2◦ ) Ecrire la matrice de passage Q de B à B 0 .
3◦ ) Justier que Q est inversible et calculer son inverse.
4◦ ) Ecrire la matrice M de f dans la base B 0 en donnant les calculs intermédiaires.
5◦ ) Calculer An pour tout n ∈ N. On explicitera les neuf coecients de An .
6◦ ) Pour n ∈ N et P = a + bX + cX 2 avec (a, b, c) ∈ R3 , déterminer f n (P ) en fonction de a, b, c.
7◦ ) En déduire que :
Z
1
∀P ∈ R2 [X], lim φ(f n (P )) =
n→+∞
2014-2015
C. Courant
P (t) dt
0
Exercices : V