Arithmétique

Arithm´etique
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MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
10 mai 2017
1 La division euclidienne.
Th´ eor` eme Fondamental 1 : Division euclidienne
Soient deux entiers a∈Zet b∈N∗.
Alors : ∃! (q, r)∈Z×Ntels que : a=qb +rET 0 ≤r < b
L’entier qest appel´e le quotient et rest appel´e le reste de la division euclidienne de apar b.
Preuve 1 : On d´emontre que a=bq +ravec q∈Z
r∈[[0, b −1]] ⇐⇒ q=⌊a
b⌋
r=a−bq .
Dessin
Division euclidienne
Remarque 1.
1. Effectuer la division euclidienne de apar bsignifie d´eterminer les entiers qet rtels que a=bq +r
0≤r < b .
2. En Python : a//b donne le quotient et a%b donne le reste de la DE de a par b.
D´ecomposition d’un entier dans une base b∈Navec b≥2
Tout entier n∈Nse d´ecompose de fa¸con unique sous la forme :
n=a0b0+a1b1+a2b2+···+apbpavec p∈Net ∀k∈[[0, p]], ak∈[[0, b −1]]
Les valeurs a0, a1, . . . , apsont obtenues par des divisions euclidiennes successives par b.
Le nombre nest alors ´ecrit :
n=apap−1...a1a0en base b
Exemple 1.La division euclidienne permet de d´emontrer que les sous-groupes de Zsont de la forme mZavec m∈N
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D´ efinition 1 : La relation ”divise”
Soit (a, b)∈Z×Z∗.
Lorsque ∃k∈Ztel que a=b.k, on dira que : bdivise a(not´e b / a ou b|a).
Remarque 2.
1. Dire que b|alorsque b > 0 revient `a dire que le reste de la division euclidienne de apar best nul.
2. On note bZl’ensemble des nombres divisibles par b. Ces nombres sont appel´es les multiples de b.
bdivise a⇐⇒ amultiple de b
3. La relation ”divise” d´efinit une relation d’ordre partielle sur N∗.
4. Lorsque a6= 0, on a enfin la propri´et´e : b|a⇒ |b| ≤ |a|.
M´ethode pour montrer que bdivise a:
On pourra :
1. Effectuer la Division Euclidienne de apar bet prouver que le reste est nul.
2. Effectuer un calcul avec les congruences (voir ci-dessous)
Proposition 2 : Propri´et´es de la divisibilit´e
Soient a,b,c,d,λet µdans Z.
1. Si a/b
c/d alors ac/bd
2. Si a/b
b/a alors a=±b(antisym´etrie)
3. Si a/b
a/c alors a/(λb +µc)
4. Si a/b
b/c alors a/c (transitivit´e)
Preuve 2 : Aucune difficult´e !
Remarque 3.
1. La proposition 2. (antisym´etrie) est parfois utilis´ee pour d´emontrer des ´egalit´es.
2. La proposition 3. est souvent utilis´ee dans la recherche de diviseurs.
Remarque 4.Comme le montre les exemples suivants, les relations de divisibilit´e permettent en particulier de r´esoudre
des ´equations d’entiers.
Exemple 2.(∗) R´esoudre dans Zles ´equations suivantes :
1. x−1|x+ 3 2. xy = 2x+ 3y
2 Les congruences
D´ efinition 2 : La notation ”congruence”
Soient trois entiers a,bet n.
Lorsqu’il existe k∈Ztels que a=b+kn, on ´ecrit : a≡b[n] ou parfois plus simplement : a=b[n]
On dit que ”aest congru `a bmodulo n”
Remarque 5.Ainsi, si rest le reste de la division euclidienne de apar b, on a : a≡r[b]
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Proposition 3 : Op´erations sur les congruences
Les nombres intervenant dans les propri´et´es suivantes sont tous des entiers.
Les diff´erentes propri´et´es suivantes, permettent d’effectuer des ”calculs de congruence” :
P1Si a1≡b1[n]
a2≡b2[n]alors : a1.a2≡b1.b2[n] et λ.a1+µa2≡b1+b2[n]∀λ, µ ∈N.
P2Si a≡b[n] alors : •pour tout p∈Non a : ap≡bp[n]
•pour tout k∈Z, on a : k.a ≡k.b [n]
k.a ≡k.b [kn]et k+a≡k+b[n]
•b≡a[n] (sym´etrie)
•a−b≡0 [n]
P3Si a≡b[n]
b≡c[n]alors : a≡c[n] (transitivit´e)
Preuve 3 : Pas de difficult´e ...
Remarque 6.La relation ′′ ≡′′ est une relation d’´equivalence (r´eflexive, sym´etrique et transitive)
M´ethodes
1. Pour montrer que bdivise aon pourra donc calculer amodulo bet montrer que : a≡0[b].
2. Pour d´eterminer le reste de la division euclidienne de apar b, on pourra calculer amodulo bjusqu’`a
obtenir un entier compris entre 0 et b−1
Exemple 3.(∗) Soit n∈N.
1. Montrer que : 32n−2nest un multiple de 7.
2. Montrer que : 11 |2123 + 3121.
3. Montrer que : 6 |5n3+n
4. D´eterminer le reste de la division euclidienne de 2npar 3.
Exercice : 1
(∗) Soit n∈Z. Montrer que n1≡0 [4] ou n2≡4 [8] si nest pair
n2≡1 [8] si nest impair
3 PGCD et PPCM
D´ efinition 3 : PGCD et PPCM
Soient aet bdeux entiers naturels dont l’un au moins est non nuls.
1. L’ensemble des entiers de N∗diviseurs communs `a aet badmet un plus grand ´el´ement δnot´e δ=a∧b.
C’est le plus grand commun diviseur des entiers aet b.
2. L’ensemble des entiers de N∗multiples communs de aet badmet un plus petit ´el´ement µnot´e µ=a∨b.
C’est le plus petit commun multiple des entiers aet b.
Remarque 7.
1. Le PPCM de deux entiers permet en particulier :
(a) de limiter les calculs lors de l’addition de deux fractions rationnelles.
(b) de d´eterminer la plus petite p´eriode d’une fonction p´eriodique
2. Le PGCD de deux entiers permet de transformer une fraction rationnelle en une fraction irr´eductible.
Remarque 8.On d´efinit de mˆeme :
1. le PGCD d’un nombre fini d’entiers naturels comme le plus grand diviseur commun `a tous les entiers.
2. le PPCM d’un nombre fini d’entiers naturels comme le plus petit multiple commun `a tous les entiers.
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Remarque 9.On peut ´etendre les notions de PGCD et de PPCM `a deux entiers relatifs dont l’un au moins est non nul.
On d´efinit alors :
a∧b=|a| ∧ |b|et a∨b=|a| ∨ |b|
Lemme 4 : Ensemble des multiples communs `a deux entiers
Les multiples communs `a deux entiers aet bsont les multiples de leur PPCM.
Preuve 4 : Soit mun multiple commun `a aet b.
On effectue la division euclidienne de mpar µle PPCM et on d´emontre que le reste est nul.
Proposition 5 : Les op´erateurs ”PGCD” et ”PPCM” sont commutatifs et associatifs
Pour tout entiers relatifs a,bet cnon nuls, on a :
1. a∧b=b∧aet a∨b=b∨a
2. (a∧b)∧c=a∧(b∧c) (= a∧b∧c) et (a∨b)∨c=a∨(b∨c) (= a∨b∨c)
Preuve 5 : La d´emonstration de l’associativit´e est admise pour l’instant...
Remarque 10.On peut ainsi d´efinir le PGCD et le PPCM de nentiers : pgcd(x1,..., xn) = x1∧ ··· ∧ xn
ppcm(x1,..., xn) = x1∨ ··· ∨ xn
Exemple 4.(∗) D´eterminer le PGCD des 4 nombres suivants : 34, 56, 45, 124.
Proposition 6 : Relation entre PGCD et PPCM
Soient aet bdeux entiers naturels dont l’un au moins est non nul.
Alors :
(a∧b)(a∨b) = ab
Preuve 6 :
1. On pose δ=a∧b
µ=a∨bet a′,b′tels que a=δ.a′ b=δ.b′avec a′∧b′= 1.
2. Remarquons que δ.a′.b′est un multiple commun `a aet bet donc `a µ, donc : ∃k∈Ntel que δ.a′.b′=k.µ
3. Comme µest un multiple commun `a aet b, on a d’autre part : µ=α.a
µ=β.b . Ainsi : b′=kα a′=kβ .
4. Or, comme a′∧b′= 1 alors k= 1. Et donc : δ.a′.b′=µ.
5. On conclut en multipliant par δ.
Remarque 11.Ainsi, pour a, b ∈N:
1. si a∧b= 1 alors a∨b=ab 2. si a=a′δ
b=b′δavec a′∧b′= 1 alors a∨b=δa′b′
Exemple 5.(∗) D´eterminer le PGCD et le PPCM de a= 2004 et b= 835.
Exercice : 2
(∗) R´esoudre dans N2le syst`eme x∧y= 5
x∨y= 60 .
3.1 L’algorithme d’Euclide et ses cons´equences
Th´ eor` eme Fondamental 7 : Th´eor`eme d’Euclide
Pour tout entiers relatifs aet bnon nuls.
Si a=bq +rest la division euclidienne de apar b, alors : P GCD(a, b) = P GCD(b, r).
Preuve 7 : On montre sans difficult´e que {a, b}et {b, r}ont mˆeme ensemble de diviseurs communs.
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Pour prouver l’´egalit´e de deux PGCD ( cad a∧b=e∧f)
On pourra prouver que les deux couples (a, b) et (e, f ) ont mˆeme ensemble de diviseurs commun.
Cela revient `a raisonner de la fa¸con suivante :
1. Soit dun diviseur commun `a aet b, montrons que d|e
d|f...
2. Soit dun diviseur commun `a eet f, montrons que d|a
d|b...
Exercice : 3
(∗) D´emontrer l’associativit´e de l’op´erateur ∧.
Algorithme d’Euclide
Le th´eor`eme pr´ec´edent permet de construire un algorithme permettant de d´eterminer le PGCD de deux entiers
non nuls aet b.
1. On pose r0=aet r1=b
2. On construit alors une suite (rk) strictement d´ecroissante de restes en effectuant, tant que rk6= 0, la
division euclidienne de rk−1par rket en appelant rk+1 le nouveau reste obtenu.
rk−1=rk.qk+rk+1
3. D’apr`es le th´eor`eme d’Euclide, on a rk−1∧rk=rk∧rk+1.
Comme (rk) est une suite d’entiers strictement d´ecroissante, il existe un rang ntel que rn6= 0 et rn+1 = 0.
4. On a alors a∧b=rn∧rn−1
rn/rn−1et ainsi : rn=a∧b
Exemple 6.(∗) Utiliser l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer le PGCD de a= 2004 et b= 835.
Dessin
Algorithme d’Euclide
Exercice : 4
(∗) Construire en langage Python une proc´edure mettant en oeuvre l’algorithme d’Euclide.
Corollaire 8 : Caract´erisation des diviseurs et multiples communs `a aet b
Soient deux entiers aet b.1. dest un diviseur commun de aet bssi ddivise a∧b
2. mest un multiple commun de aet bssi mest un multiple de a∨b
Preuve 8 :
1. ⇒C’est une cons´equence de l’algorithme pr´ec´edent.
⇐Evident !
2. D´ej`a d´emontr´e !
Remarque 12.En d’autres termes :
1. a∧best le plus grand des diviseurs communs `a aet b´egalement pour la relation d’ordre partielle ”divise”.
2. Si aet bdivise un entier calors a∨bdivise aussi c.
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