La loi log-normale - Les

La loi log-normale

La loi log-normale
Définition
On a pu voir que les valeurs possibles d’une variable aléatoire normale étaient
l’ensemble des nombres réels. Pour une situation réelle ne pouvant prendre des
valeurs négatives, on peut malgré tout utiliser une loi normale lorsque la
moyenne et l’écart type sont tels que la probabilité théorique d’avoir une valeur
négative est à toute fin pratique nulle.
Exemple :
Prenons une loi normale X de moyenne µ = 30 et d’écart type σ = 10.
030
(0)(3)0,0013
10
X
PXPPZ
µ
σ
−−
<=<=<−=
Par contre, pour une situation réelle ayant une moyenne très faible (ce qui est
souvent le cas d’analyses en météorologie ou d’analyses sur la concentration de
produits chimiques), il est très difficile d’oublier ce fait. De plus, les situations ne
pouvant prendre des valeurs négatives et ayant une moyenne très faible ont
tendance à présenter une distribution dissymétrique, donnant ainsi une
proportion d’événements extrêmes plus grande que celle prévue par la loi
normale.
Voici une courbe typique d’une telle situation :
Puisque nous avons affaire à une situation ne prenant pas de valeurs négatives,
il est possible de calculer le logarithme de ces valeurs dans une base
quelconque et ces nouvelles valeurs se distribuent sur tous les réels, les valeurs
comprises entre 0 et 1 ayant des valeurs logarithmiques négatives et les valeurs
supérieures à 1 ayant des valeurs logarithmiques positives. Ce raisonnement est
à la base de la loi log-normale.

Une distribution de probabilité d’une variable aléatoire X est dite log-normale si
la distribution de probabilité de la variable aléatoire Y = ln X est normale.
Les caractéristiques de la loi log-normale
Tout comme la loi normale, une distribution log-normale est complètement
définie par deux paramètres. Si on note X la variable aléatoire qui suit une loi
log-normale et Y = ln X la variable aléatoire qui suit une loi normale, les deux
paramètres qui caractériseront la variable aléatoire log-normale seront
habituellement µ la moyenne de la variable aléatoire normale et σ2 la variance de
la variable aléatoire normale (ou σ l’écart type de la variable aléatoire normale).
Par contre, dans certaines applications, on préfère utiliser comme paramètres
connus GMX la moyenne géométrique de la variable aléatoire X et GSDX l’écart
type géométrique de la variable aléatoire X.
Voici quatre courbes log-normales.
Elles diffèrent énormément mais pourtant elles ont une caractéristique
commune : la moyenne arithmétique de ces variables aléatoires log-normales est
10.

On peut noter à partir des ces quatre courbes que la moyenne arithmétique de
10 semble plus appropriée comme évaluation du centre de la courbe pour la
courbe qui est la plus symétrique.
Les principales caractéristiques de ces quatre courbes sont :
X variable aléatoire log-normale et Y = ln X variable aléatoire normale
X
MO
XX
MEGM
=
X
µ
X
σ
X
GSD
Y
µµ
=
Y
σσ
=
1,8 5,7 10,0 14,6 2,9 1,7 1,1
4,9 7,9 10,0 7,9 2,0 2,1 0,7
7,8 9,2 10,0 4,2 1,5 2,2 0,4
9,5 9,8 10,0 1,8 1,2 2,3 0,2
Si on connaît la moyenne géométrique et l’écart type géométrique de la variable
aléatoire X qui est log-normale, il est possible de calculer les caractéristiques
moyenne et variance (ou écart type) de la variable aléatoire Y = ln X qui est
normale en utilisant les propriétés suivantes :
Soit X la variable aléatoire log-normale ayant
moyenne géométrique
X
GM
connue,
écart type géométrique
X
GSD
connu.
Si Y = ln X est la variable aléatoire normale ayant
moyenne Y
µµ
=
,
variance
22
Y
σσ
=
,
écart type Y
σσ
=
alors
ln
YX
GM
µµ== ,
ln
YX
GSD
σσ== .
Si on connaît les caractéristiques moyenne et variance (ou écart type) de la
variable aléatoire Y = ln X qui est normale, il est possible d’établir un lien entre
ces caractéristiques connus et les caractéristiques correspondantes de la loi log-
normale.
Soit X la variable aléatoire log-normale ayant
moyenne
X
µ
,
variance
2
X
σ
,
écart type
X
σ
,
moyenne géométrique
X
GM
,
écart type géométrique
X
GSD
.

Si Y = ln X est la variable aléatoire normale ayant
moyenne Y
µµ
=
connue,
variance
22
Y
σσ
=
connue,
écart type Y
σσ
=
connu,
alors
2
2
Xe
σ
µ
µ+ =,
2
2
2()
2
(1)
Xee
µσ σ
σ+− =⋅− ,
2
2
()
1
X
ee
µσ
σ
σ+− =⋅− ,
X
GMe
µ
=
,
X
GSDe
σ
=
.
Les autres caractéristiques de la loi log-normale peuvent aussi être évaluées de
la connaissance des paramètres µ et σ2 (ou σ) de la loi normale correspondante.
Soit X la variable aléatoire log-normale
Si Y = ln X est une variable aléatoire normale ayant
moyenne Y
µµ
=
connue,
variance
22
Y
σσ
=
connue,
écart type Y
σσ
=
connu,
alors la fonction de densité de la variable aléatoire X est
2
2
(ln)
2
0 si x0
() 1
si x>0
2
x
fx e
x
µ
σ
σπ
−
−
≤
=
la médiane de la variable aléatoire X est X
MEe
µ
=
;
le premier quartile de la variable aléatoire X est
0,6745
1
Qe
µσ
−
=;
le troisième quartile de la variable aléatoire X est
0,6745
3
Qe
µσ
+
=;
le mode de la variable aléatoire X est
2
X
MOe
µσ
−
=
On peut constater puisque X
MEe
µ
=
et que X
GMe
µ
=
, on a donc
XX
MEGM
=
c’est-à-dire que la médiane et la moyenne géométrique sont égales.