probabilites - M. Philippe.fr

PROBABILITES
I- Variables aléatoires
a) Définition
Soit une expérience aléatoire d'univers Ω
Une variable aléatoire sur un univers Ω est une fonction définie sur Ω et à valeur dans ℝ . On la note X .
Exemples:Un joueur lance un dé a six faces. L’univers de cette expérience aléatoire est donc Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
On peut définir, à partir de cette expérience, différentes variables aléatoires :
•
Si le résultat est pair, le joueur gagne 2 €, s’il est impair il perd 3 €.
On définit ainsi une variable aléatoire X de l’univers Ω vers {–3, 2}.
On a :
•
(X=–3)={1,3,5}
et ( X = 2 ) = { 2 , 4 , 6 }
Le joueur gagne 2 jetons si le résultat est un carré parfait, sinon il perd 1 jeton. On définit une autre variable
aléatoire X ’ de l’univers Ω vers { 2 , –1 }
On a : ( X' = 2 ) = {1; 4} et ( X' = –1 ) = {2, 3, 5, 6}
b) Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω
Notons E = { x 1, x 2,... , x n } les valeurs prises par cette variable aléatoire
La loi de probabilité de X est la fonction qui à chaque x i de E associe sa probabilité notée pX =x i 
xi
x1
x2
pX =x i 
p( X = x1 )
p( X = x2 )
…..
xn
p( X = xn )
Exemples : On reprend le deuxième jeu défini dans précédemment :
La loi de probabilité de X ' est :
Valeur
probabilité
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c) Espérance, variance et écart-type
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
xi
x1
x2
pX =x i 
p1
p2
xn
…..
pn
n
L’espérance de X est le nombre noté E(X) défini par : E(X) =
∑ pi x i
= p1 x1 + p2 x2 +....+ pn xn
i=1
A la roulette au casino, on choisit un numéro entre 1 et 37 et on gagne 35 fois la mise si le numéro choisi sort. Quel
est l'espérance pour une mise de 1 € ?
L’espérance trouvée ci-dessus s’interprète comme la moyenne en statistique
Variance et écart type
La variance de X est le nombre, noté V(X) et défini par:
V= ∑ pi xi – E2 =
i
L’écart type de X est alors défini comme la racine carrée de la variance :  X=  VX
Dans l’exemple de la roulette, calculer la variance et l’écart type :
II- Transformation affine d'une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et soit a et b deux réels
Considérons alors la variable aléatoire Y définie par Y = aX + b
On a alors :
E(Y) =
V(Y) =
 Y  =
Démonstration
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III- Répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes
Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les
mêmes probabilités pour chaque issue et si la réalisation de l'une ne modifie pas la réalisation de l'autre
Propriété (admise)
Si A et B sont deux issues d'une expérience aléatoire avec pour probabilité p(A) et p(B) alors si l'on répète l'expérience
de façon indépendante la probabilité d'obtenir A puis B est le produit de leurs probabilités :
p ( A∩B ) = p A×p B
On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilité :
p(A)
p(A)
p(B)
A
p(B)
B
A
L'issue ( A ; B ) a pour probabilité p A×pB
p(A)
B
p(B)
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A
B
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