
K
ℝ

ℂ
K
 
 
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!
"
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 
$$$ '
(
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)
$
n

(
v(v(…vn
)
 '
α∈),…,αn∈)
αv+ αv+ …+ αnvn=*
}
⇒
α=α=…=αn=*
+',$& 
-
(
v(v(…vn
)
$ 

,'-
(
v(v(…vn
)
$ 
v∈vect
(
v(…vn
)
.
+n
(
α(…(αn
)
∈)n
+
v=αv+ …+αnvn
/+'-
(
v(v(…vn
)
$
n
'
0$
(
v(v(…(vn
)
 '
∀
(
α(α(…(αn
)
∈)n∖
{
*)n
}

αv+αv+ …+αnvn≠*
0$
(
v(v(…(vn
)
'
∃
(
α(α(…(αn
)
∈)n∖
{
*)n
}
+
αv+αv+ …+αnvn=*
+' 0$
(
v
)
 
v≠*
0$
(
v(v
)
 
v

v

0$
(
v(v(v
)
 
v

v

v

$$$ '1 $2  
(
vi
)
i∈1
$
$
(
vi
)
i∈1
 $$
(
vi
)
i∈1
 
.'
ℝ
[
3
]
$
(
3i
)
i∈ℕ
 
/' $$  
$$
-&$'
(
vi
)
i∈1
$ 
  $
(
vi
)
i∈1

Vect
(
(
xi
)
i∈1
)
≝
{
∑
i∈4
αivi∣4⊂14$ ∀i∈4 αi∈)
}

&$
(
vi
)
i∈1
5+ $ $
 6
.'
ℝ
[
3
]
=…
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$$'
(
vi
)
i∈1
$
0$
(
vi
)
i∈1
2
=vect
(
(
vi
)
i∈1
)
+'$  '
vect
(
(
vi
)
i∈1
)
⊂
2 

⊂vect
(
(
vi
)
i∈ℕ
)
+$+ $
(
vi
)
i∈1
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 $ 
+'2$.6+2$ 
 $
(
vi
)
i∈1
+'  $+$
$':.
f
:
f

{
∀u∈E∀v∈, f
(
u+v
)
=f
(
u
)
+f
(
v
)
∀u∈E∀λ∈), f
(
λu
)
=λ f
(
u
)
5
0
(
 ( :
)
 :
$+ '
f∈0
(
 (:
)

b∈:
+
f
(
x
)
=b
+'
 
b∈:

x∈
+6
f
(
x
)
=*:
+';+6'
f
(
x
)
=*:
⇔
x∈) f
- +
f∈0
(
 (:
)

b∈:
6+
f
(
x
)
=b
-
b∉1 f
+
f
(
x
)
=b
2+ 
-
b∈1 f
+
f
(
x
)
=b
6'
x*∈
+
f
(
x*
)
=b
 
x*+) f≝
{
x*+x∣x∈) f
}
+'
x*+) f
&&$$
'
f
(
x
)
=f
(
x*
)
⇔
f
(
x
)
−f
(
x*
)
=*:
⇔
f
(
x−x*
)
=*:
.$'86
{
ax+by+cz=−d
a' x +b' y+c' z=−d '
⇔
(
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a' b' c'
)
(
x
y
z
)
=
(
−d
−d'
)
.$'
λ∈ℝ

{
φλ' ;∞
(
ℝ(ℝ
)
→;∞
(
ℝ(ℝ
)
 f→f '−λ f
0+
∀x∈ℝ

(
φλ
(
f
)
)
(
x
)
=x

f
+$$'
y' −λ y=x

'
Ker f

1f
<+6
-
f∈0
(
( :
)
$
dim
(
)
=rg
(
f
)
+dim
(
) f
)
=<
≠1
(
f
)
⊕Ker
(
f
)
>$?
/.&:@$'
dim
(
:
)
=dim
(
@
)
:⊂@
}
⇒:=@
A &@$$B. $ 
@
dim
(
@
)
'
n=dim
(
@
)
(
…n
)
$ 
∀i∈
⟦
(n
⟧
i∈@
}
⇒Vect
(
…n
)
=@

/'
f∈0
(
 (:
)

b∈1 f

b∈1 f
A.
x∈

x∈

+
f
(
x
)
=b

f
(
x
)
=b
 +
f
(
x
)
=b+b

x+x+) f
'
f
(
x+x
)
=f
(
x
)
+f
(
x
)
=b+b

x+x
6
.'
 7" 8$$&9-1
 
$ '
f∈0
(
)

λ∈)

λ

f
.
x∈

x≠*
+
f
(
x
)
=λ x
+'
λ

f

)
(
f−λ 1
)
≠
{
*
}
0 
f

f
'
-
(
f
)
≝
{
λ∈)∣)
(
f−λ Id
)
≠
{
*
}}
$&C
λ
'
f∈0
(
)

λ

f
&
C
λ
&
λ
(
f
)
≝)
(
f−λ Id
)
$C
λ
'
f∈0
(
)

λ

f

&
λ
(
f
)

f
C

λ
;+$
D++$ '
E
h
 /?
p
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s
$ E

λ∈)
=:⊕@
/?:6C@
/
v=v:+v@
v:∈:

v@∈@
p
(
v
)
=v:
=:⊕@
-8C:6C@
/
v=v:+v@
v:∈:

v@∈@
s
(
v
)
=v:−v@
1
;
∀v∈

h
(
v
)
=λ v
∀v∈

p
(
v
)
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(
v
)
∀v∈

s
(
v
)
=v
0?@'
s:=Id−p@
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-
(
h
)
=
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λ
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(
p
)
=
{
*(
}
-
(
s
)
=
{
−(
}
-&

λ
(
h
)
=
(
p
)
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2
*
(
p
)
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2
(
s
)
=:
2
−
(
s
)
=@
2
'-:@.&
/+
=:⊕@
$$+
{
:∩@⊂
{
*
}
⊂:+@
$$$+
:∩@
&+
*∈:∩@
$+
+
:+@⊂
/.&'&.

λ≠μ ⇒λ
(
f
)
∩μ
(
f
)
=
{
*
}
'
v∈λ
(
f
)
∩μ
(
f
)

f
(
v
)
=…
/$$'$$C
 
 7" 8$$&9-1
'$
-
/k
'F$
k
C G
1'
k=


/

E'
k
$.-+
/k

-
(
vi
)
i∈
[
( k+
]
∈k+
+
∀∈
⟦
( k+
⟧

vi∈λ
(
f
)

i≠j
⇒
λi≠λ j
∀
(
αi
)
i∈
[
 (k+
]
∈)k+

f
(
αv+ …+ αk+vk+
)
=…
-
αv+ …+ αk+vk+=*

{
f
(
αv+ …+ αk+vk+
)
=…
λk+
(
αv+ …+ αk+vk+
)
=…

{
λαv+ …+ λk+αk+vk+=…
λk+αv+ …+ λk+αk+vk+=…
A>

/k


i≠j
⇒
λi≠λ j

A
/k+

;'
;'$
n

f∈0
(
)

f
.
n


 
 n  
5F$G
0
(
 ()
)
$$ n '
f

n=×…×
⏞
n$

)
0$
nC'
∀k∈
⟦
(n
⟧

k
&6'
∀
(
v
)
∈
⟦
( n
⟧
∈n

∀u∈
f
(
v(…(vk−(vk+u(vk+(…(vn
)
=f
(
v(…(vk−(vk(vk+(…(vn
)
+f
(
v(…(vk−(u(vk+(…(vn
)
∀k∈
⟦
(n
⟧

k
&6'
∀
(
v
)
∈
⟦
( n
⟧
∈n

∀λ∈)
f
(
v(…(vk−(λvk(vk+(…(vn
)
=λ f
(
v(…(vk−(vk(vk+(…(vn
)
0 $n
n
)
0n
(
 ()
)
/$n
f
(
λv(…(λvn
)
=…

f
(
u+v(…(un+vn
)
=…
$$ n  '
f
$n
n
)0$
f

.+$&C&'
(
∃
(
i(j
)
∈
⟦
( n
⟧
{
i≠j
vi=vj
)
⇒f
(
v(…(vi(…(vj(…(vn
)
=*
0 $n
n
)
An
(
( )
)
/8$ n ) '
f
$n
n
)'
∀
(
vi
)
i∈
⟦
( n
⟧
∈n

f
(
v(…(vi−(vi(vi+…(vj−(vj(vj+(…(vn
)
=− f
(
v(…(vi−(vj(vi+…(vj−(vi(vj+(…(vn
)
)
n
96 
An
(
( )
)
')n
An
(
( )
)

)
'
An
(
( )
)
≠∅

- '
 #7" 8$$&9-1
'-
f
∈
An
(
( )
)
2. ?
g
∈
An
(
( )
)

H=
(
(…(n
)


-
(
vi
)
i∈
⟦
( n
⟧
∈n
.+
n

(
αij
)
∈)n
+
∀k∈
⟦
(n
⟧

vk=α  k+ …+ αnkn
f
(
v(…(vn
)
=α  f
(
(v(…(vn
)
+ …+ αn f
(
n(v(…(vn
)
6
f
(
v(…(vn
)
=α 
(
αf
(
((…(vn
)
+ …+ αnf
(
n(n(…(vn
))
+ …
+ αn
(
αf
(
((…(vn
)
+ …+ αnf
(
n(n(…(vn
))
62
A6$
n

f
(
v…vn
)
.>8'
αijf
(
k(…kn
)

(
kl
)
∈
⟦
(n
⟧
n
.
kl=kl'

f
(
k(…(kn
)
=*
6'
f
(
k(…(kn
)
=± f
(
(…(n
)
1.
k
++
 H+'
f
(
v(…(vn
)
=k×f
(
(…(n
)
∈
)
0<2<$$ '
g
(
v(…(vn
)
=k×g
(
(…(n
)
∈
)
5
f
(
(…(n
)
=*
 
f=*An
(
()
)
5'
g
(
v(…(vn
)
=f
(
v(…(vn
)
f
(
(…(n
)
×g
(
(…(n
)

∀
(
vi
)
i∈
⟦
( n
⟧
∈n

g
(
v(…(vn
)
=g
(
(…n
)
f
(
(…(n
)
×f
(
v(…(vn
)
$
f

g

;. ')n
(
(…n
)

A.+$
f
n
n
+
f
(
(…(n
)
=
'.
f

,'-
f
∈
An
(
( )
)

g
∈
An
(
( )
)
+
f
(
(…(n
)
=g
(
(…(n
)
=
0$'
∀
(
vi
)
i∈
⟦
( n
⟧
∈n

g
(
v(…(vn
)
=
×f
(
v(…(vn
)

f=g
$ ')n
H=
(
(…(n
)
 
0+$n
n
n
(
(…(n
)

 H
DetH
.'
u
(
*
)
H

v
(
*
*
)
H

w
(
*
)
H

DetH
(
u(v(w
)
=…
0$CC
+H 1
 8
/
DetH
')n
H=
(
(…(n
)
 
∀
(
vi
)
i∈
⟦
( n
⟧
∈n

∀
(
αk
)
∈)n

∀i∈
⟦
( n
⟧

DetH
(
v(…(vn
)
=DetH
(
v(…(vi−(∑
k=
i−
αkvk+vi+∑
k=i+
n
αkvk(vi+(…(vn
)
DetH
? 
'Ci&6
: 2;')
n

H=
(
(…(n
)

H'=
(
'(…('n
)
. A'
∀
(
v(…(vn
)
∈nDetH
(
v(…(vn
)
=DetH
(
'(…( 'n
)
×DetH'
(
v(…(vn
)
'
DetH∈An
(
( )
)

DetH'∈An
(
 ()
)
.
k∈)
+'
∀
(
v(…(vn
)
∈nDetH
(
v(…(vn
)
=k×DetH'
(
v(…(vn
)

DetH
(
'(…('n
)
=…
 !7" 8$$&9-1
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