Mathématiques - Collège Notre-Dame

Mathématiques
3ème
Collège Notre Dame – BAUGE
Sommaire
1. Arithmétique
2. Calcul littéral
3. Théorème de Thalès et sa réciproque
4. Sphère et Boule
5. Probabilités
6. Trigonométrie
7. Racine carrée
8. Notion de fonction
9. Géométrie dans l’espace
10. Equations produit
11. Agrandissement et réduction
12. Angles inscrits et polygones réguliers
13. Statistiques
14. Fonctions linéaires et affines
15. Inéquations
16. Systèmes d’équations
17. Représentations graphiques des fonctions-fonctions linéaires-fonctions affines

Arithmétique
1. Diviseur et multiple
Le nombre a est divisible par le nombre b lorsqu’il existe un nombre entier n
non nul tel que :
a = b x n
On dit aussi que a est ……………………………... de b.
Exemple : On a 56 = 7x8
Donc 56 est ………………………………de ….
7 est ……………………………….de 56
7 ……………………………………56
2. Diviseurs communs
Si deux nombres entiers a et b sont divisibles par le même entier n non nul,
alors le nombre n est un diviseur commun aux deux nombres a et b.
Exemple :
24 est divisible par …………………………………………
16 est divisible par ……………………………………….
Les diviseurs communs à 16 et 24 sont donc …………………………..
3. Plus grand diviseur commun ( PGCD)
Dans la liste des diviseurs communs à deux nombres entiers a et b,
il en existe un plus grand que tous les autres.
Ce Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres a et b se note ……………….
Exemple :
Les diviseurs de 24 sont :…………………………………………….
Les diviseurs de 36 sont :………………………………………………..
Donc PGCD(24 ;36)= …………….
4. Nombre premier
Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et
lui-même) est un nombre premier.
Exemple : 2,3,5,7,11,13 sont des nombres premiers.
9 admet trois diviseurs : 1,3 et 9 donc 9 n’est pas premier.
5. Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque
………. est leur seul diviseur commun.
Si le PGCD de deux nombres est 1, alors les deux nombres
sont premiers entre eux.
Exemple : 15 a pour diviseurs :……………………………
28 a pour diviseurs : ………………………………
Le PGCD de 15 et 28 est donc ……………. ; les deux
nombres sont premiers entre eux.
6. Fractions irréductibles
On dit qu’une fraction est ……………………….. lorsque elle
ne peut plus être simplifiée.
Propriété : Une fraction est irréductible lorsque son
numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Soit a et b deux nombres entiers avec b non nul.
Si a et b sont deux nombres premiers entre eux alors la
fraction a
b est irréductible.
Exemple :
Propriété :
Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du
dénominateur
alors on obtient une fraction irréductible.
Exemple : Le PGCD de 84 et 56 est ………… donc
84
56 = …………………..

Calcul littéral
I. DEVELOPPEMENT.
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
a. Distributivité simple :
k(a + b) = ka + kb
k(a – b) = ka – kb
Exemples :
A =   B =  
A = B =
b. Double distributivité:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples :
B =     D = (   
B = D =
B = D =
c. Identités remarquables.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemple :
A = ( + 3)²
A =
A =
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Exemple :
A = (3 – 5)²
A =
A =
(a + b)(a – b)² = a² – b²
Exemple :
A = (7 + 4)(7 – 4)
A =
A =
II. FACTORISATION.
Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
a. Par recherche d’un facteur commun : ka + kb = k(a + b)
ka – kb = k(a – b)
k est le facteur commun
Exemples :
A = (+ 1)( + 2) – 5( + 2)
A =
A =
A =
B = (2 + 1)² + (2 + 1)( + 3).
B =
B =
B =
b. En utilisant une identité remarquable :
Exemples:
C = ² + 6+ 9
C =
C =
D = 4² – 12 + 9
D =
D =
E = ( + 5)² – 4
E =
E =
E =

Théorème de Thalès et sa réciproque
1. Théorème de Thalès
Propriété :
Etant données deux droites d et d’ sécantes en A,
deux points B et M de d, distincts de A,
deux points C et N de d’, distincts de A,
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a : AM
AB = AN AC = MN BC
Il y a trois configurations possibles :
A
N
(d')
M
(d)
B
C
A
N
(d')
M
(d)
B
C
A
N
(d')
M
(d)
B
C
 M[ ] AB et N[ ] AC
 M[AB) et M[ ] AB
 N[AC) et N[ ] AC
 M[BA) et M[ ] AB
 N[CA) et N[ ] AC
Autrement dit :
Dans les conditions de la propriété de Thalès, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
Côtés portés par
la droite (d)
Côtés portés par
la droite (d’)
Côtés portés par
les parallèles
Côtés de AMN
AM
AN
MN
Côtés de ABC
AB
AC
BC
Remarque :
1) La propriété de Thalès permet de calculer une longueur quand on en connaît trois autres.
Exemple :
On considère la figure suivante avec (ST)//(UV).
Calculer KV et ST.
9
3
5
6,3
T
S
K
U
V

2) La propriété de Thalès permet de démontrer que des droites ne sont pas parallèles : dans les conditions de la
propriété de Thalès, si AM
AB  AN AC alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Exemple : Avec les données de la figure suivante,
(BC) et (MN) sont elles parallèles ?
6
2. Réciproque de Thalès
Propriété :
Etant données deux droites d et d’ sécantes en A,
deux points B et M de d, distincts de A,
deux points C et N de d’, distincts de A,
Si AM
AB = AN AC et si les points A, B, M sont dans le même ordre que les points A, C, N,
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Remarque :
1) La réciproque de la propriété de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles.
Dans les conditions la réciproque de la propriété de Thalès, le rapport MN
BC est égal aux deux autres.
2) Pour appliquer la réciproque de la propriété de Thalès, il y a deux conditions importantes :
- La première : AM
AB = AN AC ;
- La seconde : « les points A, B, M sont dans le même ordre que les points A, C, N ».
Exemple :
Avec les données de la figure suivante,
démontrer que (OL) est parallèle à (UP)
9
3
4
B
C
A
N
M
8