ENS-phys

L’interaction entre matière et rayonnement,
des masers aux lasers
Chapitre 6
Albert
Einstein,
1879-1955
Charles
Townes,
né en 1915
Comment atomes et molécules
interagissent avec le rayonnement
Approche heuristique d’Einstein en 1917 pour décrire l’interaction entre
atomes (ou molécules) et le rayonnement
absorption, émission spontanée, émission stimulée
Le principe des amplificateurs de rayonnement et des oscillateurs
masers et lasers
Le formalisme dont nous disposons va nous permettre de décrire
complètement l’interaction entre une molécule et un champ cohérent
absorption & émission stimulée
En revanche, nous ne pourrons pas décrire quantitativement l’émission
spontanée, qui nécessite de traiter quantiquement le champ électromagnétique.
1.
Emission spontanée & absorption :
le problème d’Einstein
L’émission spontanée
Atome, molécule, électron dans un puits quantique, …, dont les niveaux
d’énergie sont repérés par l’indice n
Energie
.
.
.
.
|
3i
E2
|
2i
E1
|
1 i : état fondamental
E3
Ĥ|
ni
= En |
ni
Quand on prend en compte le couplage de ce système au champ
électromagnétique, les états excités ne sont généralement pas stables.
|
2i
|
2i
|
1i
|
1i
+
photon d’énergie E2-E1
Evolution par émission spontanée
La retombée sur l’état fondamental est caractérisée par la durée de vie τ
ou encore par le coefficient A = 1/τ
1
|
2i
|
1i
Occupation de | 2 i
temps
0
Processus aléatoire, décrit par la probabilité dP que le processus arrive entre
t et t+dt, sachant qu’il ne s’est pas produit entre 0 et t : dP = A dt
Pour un grand nombre d’atomes, on trouve alors la loi exponentielle :
A l’instant initial, N atomes
préparés dans l’état | 2 i
dN2
=
dt
AN2
1
N2 /N
e
0
At
temps
L’absorption
Un atome est initialement dans son état fondamental. On l’éclaire par
un rayonnement de densité d’énergie I à la pulsation !0 = (E2 E1 )/~
!0
+
|
2i
|
1i
~!0
|
2i
|
1i
+
Einstein propose de décrire l’absorption également comme un processus
stochastique (ou aléatoire) :
Pour un atome dans l’état | 1 i à l’instant t, la probabilité d’absorber
un photon entre t et t + dt est
dP = B12 I dt
B12 : coefficient constant, caractéristique de l’atome considéré
La contrainte imposée par Einstein
Ensemble d’atomes en interaction avec le rayonnement
d’un corps noir à température T fixée.
Pour que les principes fondamentaux de la thermodynamique soient respectés, il faut que la température
résultante de l’ensemble d’atomes soit également T.
Energie
.
.
.
.
Loi d’équilibre de Boltzmann :
E4
E3
|
|
4i
E2
|
2i
E1
|
1i
3i
Nj
= exp
Ni
✓
E j Ei
kB T
◆
Ni , Nj : nombre d’atomes d’énergie Ei , Ej
kB : constante de Boltzmann
Les niveaux sont supposés ici non dégénérés
Le problème d’Einstein
Si les seuls processus d’interaction entre atomes et
rayonnement sont l’émission spontanée et l’absorption,
on ne peut pas satisfaire la contrainte d’équilibre de Boltzmann.
|
2i
|
1i
On se limite pour simplifier à des atomes « à deux niveaux » : E1 et E2 (E1<E2)
Pour un atome donné :
émission spontanée
Occupation
1
de | 2 i
absorption
0
Pour un ensemble d’atomes :
A l’équilibre :
N2
B12 I
=
N1
A
dN2
=
dt
temps
AN2 + B12 I N1
> 1 si I est assez grande
(i.e. si T est assez élevée)
6= exp( (E2
E1 ) / kB T )
???
2.
L’émission stimulée :
la thermodynamique retrouvée
et les amplificateurs de rayonnement
L’émission stimulée
Aux deux processus déjà mentionnés
émission spontanée & absorption
Einstein propose d’en ajouter un troisième :
+
|
2i
|
2i
|
1i
|
1i
+
Le photon émis est identique au photon incident
(même fréquence, même direction, même polarisation)
Pour un atome dans l’état | 2 i à l’instant t, la probabilité de subir un
processus d’émission stimulée entre t et t + dt est
dP |em.stim. = B21 I dt
B21 : coefficient constant, caractéristique de l’atome considéré
Bilan des trois processus proposés
Pour un atome donné :
Occupation
1
de | 2 i
émission spontanée
ou stimulée
absorption
0
Pour un ensemble d’atomes :
à l’équilibre :
dN2
=
dt
N2
B12 I
=
N1
A + B21 I
temps
AN2
?=
B21 I N2 + B12 I N1
exp ( (E2
E1 ) / kB T )
L’étude du rayonnement du corps noir fournit la relation entre la température T
et la densité d’énergie I à la pulsation ! = (E2 E1 )/~
Y a-t-il une solution, c’est-à-dire un triplet A, B21 , B12 qui convient 8 T ?
Les coefficients d’Einstein
Il existe effectivement des triplets A, B21 , B12 tels que la relation
?
N2
B12 I
=
=e
N1
A + B21 I
~!0 / kB T
~!0 ⌘ E2
E1
est satisfaite à toute température.
Etude de deux cas limites
Limite de haute température kB T
E2
E1
Dans cette limite, I / T et on attend N2 ⇡ N1 ) B12 = B21 ⌘ B
Limite de basse température kB T ⌧ E2
Dans cette limite, I / !03 e
Loi de Wien
~!0 / kB T
E1
) A/B / !03
La contribution de l’émission spontanée est plus grande à haute fréquence
Vers un amplificateur de rayonnement ?
boîte
noire
Isortie > Ientree
L’émission stimulée semble être la base idéale pour un tel amplificateur
+
dI
dt
|
2i
|
2i
|
1i
|
1i
em.stim
/
~!0
dN2
dt
+
= ~!0 B I N2
em.stim
mais l’absorption joue malheureusement le rôle inverse d’atténuateur :
dI
dt
abs.
/ ~!0
dN1
dt
=
~!0 B I N1
abs.
A l’équilibre thermodynamique : N1
N2
L’atténuation l’emporte sur l’amplification !
L’inversion de population
|
2i
|
1i
Si on arrive à préparer un gaz d’atomes ou de molécules dans une configuration telle que N1 < N2 , alors on peut espérer fabriquer un amplificateur.
1951-54 : Townes (USA), Prokhorov – Basov (URSS)
Les deux groupes travaillent dans le domaine des micro-ondes (GHz) et
utilisent un faisceau de molécules d’ammoniac judicieusement préparées :
|
1i
|
2i
N1 , N2
|
|
gradient de
champ
électrique
|
1 i: état fondamental (symétrique)
1i
|
2i
amplificateur
de
rayonnement
1i
|
2 i : premier état excité (antisymétrique)
3.
La molécule d’ammoniac dans un champ électrique
|
1i |
2i
N1 , N2
|
gradient de
champ
électrique
|
1i
1i
|
2i
Les niveaux d’énergie les plus bas de NH3
Ces niveaux correspondent au degré de liberté d’inversion de la molécule :
Δ
V0
x
configuration
« droite »
configuration
« gauche »
antisymétrique
E
premier niveau excité
du puits semi-infini
symétrique
D
G
antisymétrique
symétrique
G
D
niveau fondamental
du puits semi-infini
Populations des niveaux d’énergie à température ambiante
|
E
Equilibre thermique :
Nj
= exp
Ni
|
3i
|
2i
⌘|
Ai
|
1i ⌘ |
Si
120 meV
0.10 meV
4i
✓
E j Ei
kB T
T = 300 K
! kB T = 25 meV
N1 ⇡ N2
N 3 , N4 , . . .
Nous allons restreindre notre étude aux états combinaison linéaire de
| 1 i ⌘ | S i | 2 i ⌘ | A i et nous poserons ~!0 = E2 E1
approximation d’un système à deux états
Hamiltonien dans la base {|
~!0
Ĥ0 =
2
✓
S i,
|
A i} ,
◆
1 0
0 1
◆
à une constante additive près :
!0 /(2⇡) = 24 GHz
Comment agir de manière sélective sur
|
Si
et
|
Ai
?
On va utiliser l’interaction de la molécule avec un champ électrique E~ = E~
ux
Classiquement, la molécule est un dipôle électrique qui peut avoir
deux orientations le long de l’axe x dans ce modèle 1D :
~ =
D
~ = d0 ~ux
D
d0 ~ux
L’énergie électrostatique peut prendre deux valeurs Eelec. =
~ · E~ = ±d0 E
D
Quantiquement, on va introduire l’opérateur « dipôle le long de l’axe x » D̂
et l’opérateur « énergie électrostatique » Ŵ :
Ŵ =
E D̂
Dans l’approximation d’un « système à deux états », D̂ est
une matrice 2 ⇥ 2 agissant sur les vecteurs | S i + µ| A i
L’opérateur dipôle D̂
On veut construire un opérateur tel que
•  ses états propres sont combinaisons linéaires de |
S (x)
x
Si
A (x)
et |
Ai
x
•  ses états propres sont une bonne approximation des états classiques
: plan H localisé à gauche
•  ses valeurs propres sont
: plan H localisé à droite
d0 (gauche) et +d0 (droite).
Le meilleur choix compte tenu de ces contraintes est :
G (x)
D (x)
/
S (x)
/
S (x)
A (x)
+
A (x)
1
| Gi = p
2
✓
◆
1
1
✓ ◆
1 1
| Di = p
2 1
L’opérateur dipôle D̂ (suite)
D̂|
On pose par définition
D̂|
d0 | G i
Gi =
avec
D i = d0 | D i
1
p
| Gi =
(|
2
1
| D i = p (|
2
Quelle est l’action de D̂ sur les vecteurs de base |
On inverse la relation précédente :
d’où:
1 ⇣
D̂| S i = p D̂|
2
D̂| A i = . . . = d0 |
1
| S i = p (|
2
1
| A i = p (|
2
⌘
d0
p
(|
D i + D̂| G i =
2
Si
soit en notation matricielle dans la base |
S i,
|
Ai:
S i,
|
Si
|
A i)
Si
+|
A i)
Ai
Di
+|
G i)
Di
|
G i)
Di
|
G i)
D̂ = d0
?
= d0 |
✓
0
1
Ai
◆
1
0
Les états propres de NH3 dans un champ électrique
L’hamiltonien total dans la base |
Ĥtot. = Ĥ0 + Ŵ =
avec
✓
~⌦
2
✓
~!0
2
=
~⌦
2
◆2
✓
=
✓
S i,
A i s’écrit
◆
1 0
0 1
cos 2✓
sin 2✓
~!0
2
2d0 E
tan 2✓ =
~!0
|
◆2
d0 E
:
✓
sin 2✓
cos 2✓
0
1
◆
+ (d0 E)2
◆
1
0
⌦>0
⇡/4 < ✓ < ⇡/4
Les valeurs propres sont ±~⌦/2 et les vecteurs propres associés s’écrivent
|
i=
✓
cos ✓
sin ✓
◆
|
+i =
✓
sin ✓
cos ✓
◆
Le diagramme d’énergie pour NH3 dans un champ électrique
✓
~⌦
2
◆2
=
✓
~!0
2
◆2
2d0 E
tan 2✓ =
~!0
+ (d0 E)
2
E
E+ = ~⌦/2
| Ai
+~!0 /2
~!0 /2
| Si
1
2
|
=
✓
sin ✓
cos ✓
i=
✓
◆
+i
◆
d0 E / ~!0
E =
~⌦/2
|
cos ✓
sin ✓
Si le champ électrique E dépend de la position, alors l’énergie ±~⌦/2 joue le
rôle d’énergie potentielle pour le mouvement du centre de masse de la molécule
Une molécule dans l’état |
Une molécule dans l’état |
attirée par les zones de faible champ E
i est attirée par les zones de fort champ E
+ i est
L’inversion de population sur un jet de NH3
On veut garder les molécules dans l’état | A i , d’énergie +~!0 /2 et
éliminer les molécules dans l’état | S i , d’énergie ~!0 /2
+
x
z
y
E 2 / x2 + y 2
-
-
régime de champ faible :
d0 E ⌧ ~!0
+
quadrupole électrique
Les molécules dans l’état | + i ⇡ | A i,
chercheur de champ faible, restent au
voisinage de l’axe x = y = 0
Les molécules dans l’état | i ⇡ | S i,
chercheur de champ fort, sont expulsées
transversalement
|
|
Si
|
Ai
Si
|
quadrupole
électrique
N S > NA
|
Si
Ai
4.
Le maser de Townes (1954)
Microwave
Amplification by
Stimulated
Emission of
Radiation
Amplificateur à émission stimulée
|
Si
|
quadrupole
électrique
|
a|
Ai
Si
Si
+ b|
|
Ai
|
Si
~!0
Ai
E0 cos !t
Remarque préliminaire : durée de vie de |
Ai
due à l’émission spontanée
⌧ = 1/A = 1 mois
L’émission spontanée a un rôle négligeable dans le domaine des micro-ondes.
Seuls les processus d’absorption et d’émission stimulée sont importants.
Si la molécule sort dans l’état | S i , c’est qu’elle a déposé son énergie ~!0
dans la cavité sous forme d’énergie électromagnétique.
Comment décrire l’émission stimulée et
l’absorption dans le formalisme quantique ?
Point de vue
d’Einstein :
Occupation
de | A i 1
Bien adapté au cas d’un
champ aléatoire (corps noir)
0
émission stimulée
absorption
avec la condition initiale : a(0) = 0
b(0) = 1
Si
+ b(t)|
A (t)i
L’évolution de cet état est donnée par l’équation de Schrödinger :
i~
d| i
= Ĥtot (t)| (t)i
dt
Ĥtot (t) = Ĥ0
Ai
|
Si
~!0
temps
Cas d’un champ micro-onde monochromatique : E(t) = E0 cos(!t)
L’état de l’atome s’écrit à l’instant t : | (t)i = a(t)|
|
D̂E(t)
Résolution de l’équation de Schrödinger
!0
iȧ =
a !1 b cos !t
2
!0
iḃ =
b !1 a cos !t
2
E(t) = E0 cos(!t)
~!1 = d0 E0
!0 ⇡ ! ⇡ 2⇡ ⇥ 2 1010 s 1
pour
!1 ⇡ 2⇡ ⇥ 7 106 s 1
Ordres de grandeur :
|
Ai
|
Si
~!0
E0 = 1000 V/m
Résolution numérique aisée ; pour obtenir une solution analytique, on a
recours à une approximation supplémentaire (« champ tournant ») :
Pour !1 = 0 , on a :
a(t) ⇠ ei!0 t/2
b(t) ⇠ e
i!0 t/2
Pour !1 ⌧ !0 et ! ⇡ !0 , on peut en bonne approx. ne garder que :
iȧ =
!0
a
2
!0
iḃ =
b
2
!1
b ei!t + e
2
!1
a ei!t + e
2
i!t
i!t
Solution pour ! = !0 :
b(t) = e
i!0 t/2
!1 t
cos
2
De l’amplificateur à l’oscillateur
|
Ai
a|
b(t) = e
Si
+ b|
i!0 t/2
Occupation
de | A i
Ai
cos
« oscillation de Rabi »
|b(tf )|2 =
2 ! 1 tf
cos
2
!1 t
2
tf
⇡
Pour des temps de traversée tf =
(2n + 1) , on est certain que la
!1
molécule dépose son énergie ~!0 dans la cavité : amplificateur optimisé !
entrée
E0 cos !t
Ampli
1
sortie
g(!) E0 cos !t
⌘
⌘
Oscillation à la pulsation !m pour laquelle le gain g(!) est maximum
5.
des Masers aux Lasers
M = Microwave
!
= 109
2⇡
10
10
L = Light
Hz
!
= 1014
2⇡
1015 Hz
Le problème de l’émission spontanée
|
2i
Emission stimulée, contribue au gain
Ṅ2 =
|
B I N2
1i
Emission spontanée dans une direction
aléatoire, ne contribue pas au gain
Ṅ2 =
A/B /
!03
A
1
A
1
A N2
⇠ 1 mois pour NH3 à une fréquence microonde
⇠ 10
7
10
9
seconde dans le domaine visible
Le schéma de base d’un laser
Dépôt de brevet : Schawlow-Townes, Gould 1958
Réalisation : Maiman 1960
Avec une source d'énergie extérieure (décharge dans un gaz, passage
d'un courant dans une diode,...), on crée l’inversion de population.
miroir
complètement
réfléchissant
énergie
extérieure
miroir
partiellement
réfléchissant
Traitement quantitatif, prenant en compte quantitativement
l’émission spontanée, dans le cours de physique de 3ème année
Les lasers sont partout...