L’interaction entre matière et rayonnement, des masers aux lasers Chapitre 6 Albert Einstein, 1879-1955 Charles Townes, né en 1915 Comment atomes et molécules interagissent avec le rayonnement Approche heuristique d’Einstein en 1917 pour décrire l’interaction entre atomes (ou molécules) et le rayonnement absorption, émission spontanée, émission stimulée Le principe des amplificateurs de rayonnement et des oscillateurs masers et lasers Le formalisme dont nous disposons va nous permettre de décrire complètement l’interaction entre une molécule et un champ cohérent absorption & émission stimulée En revanche, nous ne pourrons pas décrire quantitativement l’émission spontanée, qui nécessite de traiter quantiquement le champ électromagnétique. 1. Emission spontanée & absorption : le problème d’Einstein L’émission spontanée Atome, molécule, électron dans un puits quantique, …, dont les niveaux d’énergie sont repérés par l’indice n Energie . . . . | 3i E2 | 2i E1 | 1 i : état fondamental E3 Ĥ| ni = En | ni Quand on prend en compte le couplage de ce système au champ électromagnétique, les états excités ne sont généralement pas stables. | 2i | 2i | 1i | 1i + photon d’énergie E2-E1 Evolution par émission spontanée La retombée sur l’état fondamental est caractérisée par la durée de vie τ ou encore par le coefficient A = 1/τ 1 | 2i | 1i Occupation de | 2 i temps 0 Processus aléatoire, décrit par la probabilité dP que le processus arrive entre t et t+dt, sachant qu’il ne s’est pas produit entre 0 et t : dP = A dt Pour un grand nombre d’atomes, on trouve alors la loi exponentielle : A l’instant initial, N atomes préparés dans l’état | 2 i dN2 = dt AN2 1 N2 /N e 0 At temps L’absorption Un atome est initialement dans son état fondamental. On l’éclaire par un rayonnement de densité d’énergie I à la pulsation !0 = (E2 E1 )/~ !0 + | 2i | 1i ~!0 | 2i | 1i + Einstein propose de décrire l’absorption également comme un processus stochastique (ou aléatoire) : Pour un atome dans l’état | 1 i à l’instant t, la probabilité d’absorber un photon entre t et t + dt est dP = B12 I dt B12 : coefficient constant, caractéristique de l’atome considéré La contrainte imposée par Einstein Ensemble d’atomes en interaction avec le rayonnement d’un corps noir à température T fixée. Pour que les principes fondamentaux de la thermodynamique soient respectés, il faut que la température résultante de l’ensemble d’atomes soit également T. Energie . . . . Loi d’équilibre de Boltzmann : E4 E3 | | 4i E2 | 2i E1 | 1i 3i Nj = exp Ni ✓ E j Ei kB T ◆ Ni , Nj : nombre d’atomes d’énergie Ei , Ej kB : constante de Boltzmann Les niveaux sont supposés ici non dégénérés Le problème d’Einstein Si les seuls processus d’interaction entre atomes et rayonnement sont l’émission spontanée et l’absorption, on ne peut pas satisfaire la contrainte d’équilibre de Boltzmann. | 2i | 1i On se limite pour simplifier à des atomes « à deux niveaux » : E1 et E2 (E1<E2) Pour un atome donné : émission spontanée Occupation 1 de | 2 i absorption 0 Pour un ensemble d’atomes : A l’équilibre : N2 B12 I = N1 A dN2 = dt temps AN2 + B12 I N1 > 1 si I est assez grande (i.e. si T est assez élevée) 6= exp( (E2 E1 ) / kB T ) ??? 2. L’émission stimulée : la thermodynamique retrouvée et les amplificateurs de rayonnement L’émission stimulée Aux deux processus déjà mentionnés émission spontanée & absorption Einstein propose d’en ajouter un troisième : + | 2i | 2i | 1i | 1i + Le photon émis est identique au photon incident (même fréquence, même direction, même polarisation) Pour un atome dans l’état | 2 i à l’instant t, la probabilité de subir un processus d’émission stimulée entre t et t + dt est dP |em.stim. = B21 I dt B21 : coefficient constant, caractéristique de l’atome considéré Bilan des trois processus proposés Pour un atome donné : Occupation 1 de | 2 i émission spontanée ou stimulée absorption 0 Pour un ensemble d’atomes : à l’équilibre : dN2 = dt N2 B12 I = N1 A + B21 I temps AN2 ?= B21 I N2 + B12 I N1 exp ( (E2 E1 ) / kB T ) L’étude du rayonnement du corps noir fournit la relation entre la température T et la densité d’énergie I à la pulsation ! = (E2 E1 )/~ Y a-t-il une solution, c’est-à-dire un triplet A, B21 , B12 qui convient 8 T ? Les coefficients d’Einstein Il existe effectivement des triplets A, B21 , B12 tels que la relation ? N2 B12 I = =e N1 A + B21 I ~!0 / kB T ~!0 ⌘ E2 E1 est satisfaite à toute température. Etude de deux cas limites Limite de haute température kB T E2 E1 Dans cette limite, I / T et on attend N2 ⇡ N1 ) B12 = B21 ⌘ B Limite de basse température kB T ⌧ E2 Dans cette limite, I / !03 e Loi de Wien ~!0 / kB T E1 ) A/B / !03 La contribution de l’émission spontanée est plus grande à haute fréquence Vers un amplificateur de rayonnement ? boîte noire Isortie > Ientree L’émission stimulée semble être la base idéale pour un tel amplificateur + dI dt | 2i | 2i | 1i | 1i em.stim / ~!0 dN2 dt + = ~!0 B I N2 em.stim mais l’absorption joue malheureusement le rôle inverse d’atténuateur : dI dt abs. / ~!0 dN1 dt = ~!0 B I N1 abs. A l’équilibre thermodynamique : N1 N2 L’atténuation l’emporte sur l’amplification ! L’inversion de population | 2i | 1i Si on arrive à préparer un gaz d’atomes ou de molécules dans une configuration telle que N1 < N2 , alors on peut espérer fabriquer un amplificateur. 1951-54 : Townes (USA), Prokhorov – Basov (URSS) Les deux groupes travaillent dans le domaine des micro-ondes (GHz) et utilisent un faisceau de molécules d’ammoniac judicieusement préparées : | 1i | 2i N1 , N2 | | gradient de champ électrique | 1 i: état fondamental (symétrique) 1i | 2i amplificateur de rayonnement 1i | 2 i : premier état excité (antisymétrique) 3. La molécule d’ammoniac dans un champ électrique | 1i | 2i N1 , N2 | gradient de champ électrique | 1i 1i | 2i Les niveaux d’énergie les plus bas de NH3 Ces niveaux correspondent au degré de liberté d’inversion de la molécule : Δ V0 x configuration « droite » configuration « gauche » antisymétrique E premier niveau excité du puits semi-infini symétrique D G antisymétrique symétrique G D niveau fondamental du puits semi-infini Populations des niveaux d’énergie à température ambiante | E Equilibre thermique : Nj = exp Ni | 3i | 2i ⌘| Ai | 1i ⌘ | Si 120 meV 0.10 meV 4i ✓ E j Ei kB T T = 300 K ! kB T = 25 meV N1 ⇡ N2 N 3 , N4 , . . . Nous allons restreindre notre étude aux états combinaison linéaire de | 1 i ⌘ | S i | 2 i ⌘ | A i et nous poserons ~!0 = E2 E1 approximation d’un système à deux états Hamiltonien dans la base {| ~!0 Ĥ0 = 2 ✓ S i, | A i} , ◆ 1 0 0 1 ◆ à une constante additive près : !0 /(2⇡) = 24 GHz Comment agir de manière sélective sur | Si et | Ai ? On va utiliser l’interaction de la molécule avec un champ électrique E~ = E~ ux Classiquement, la molécule est un dipôle électrique qui peut avoir deux orientations le long de l’axe x dans ce modèle 1D : ~ = D ~ = d0 ~ux D d0 ~ux L’énergie électrostatique peut prendre deux valeurs Eelec. = ~ · E~ = ±d0 E D Quantiquement, on va introduire l’opérateur « dipôle le long de l’axe x » D̂ et l’opérateur « énergie électrostatique » Ŵ : Ŵ = E D̂ Dans l’approximation d’un « système à deux états », D̂ est une matrice 2 ⇥ 2 agissant sur les vecteurs | S i + µ| A i L’opérateur dipôle D̂ On veut construire un opérateur tel que • ses états propres sont combinaisons linéaires de | S (x) x Si A (x) et | Ai x • ses états propres sont une bonne approximation des états classiques : plan H localisé à gauche • ses valeurs propres sont : plan H localisé à droite d0 (gauche) et +d0 (droite). Le meilleur choix compte tenu de ces contraintes est : G (x) D (x) / S (x) / S (x) A (x) + A (x) 1 | Gi = p 2 ✓ ◆ 1 1 ✓ ◆ 1 1 | Di = p 2 1 L’opérateur dipôle D̂ (suite) D̂| On pose par définition D̂| d0 | G i Gi = avec D i = d0 | D i 1 p | Gi = (| 2 1 | D i = p (| 2 Quelle est l’action de D̂ sur les vecteurs de base | On inverse la relation précédente : d’où: 1 ⇣ D̂| S i = p D̂| 2 D̂| A i = . . . = d0 | 1 | S i = p (| 2 1 | A i = p (| 2 ⌘ d0 p (| D i + D̂| G i = 2 Si soit en notation matricielle dans la base | S i, | Ai: S i, | Si | A i) Si +| A i) Ai Di +| G i) Di | G i) Di | G i) D̂ = d0 ? = d0 | ✓ 0 1 Ai ◆ 1 0 Les états propres de NH3 dans un champ électrique L’hamiltonien total dans la base | Ĥtot. = Ĥ0 + Ŵ = avec ✓ ~⌦ 2 ✓ ~!0 2 = ~⌦ 2 ◆2 ✓ = ✓ S i, A i s’écrit ◆ 1 0 0 1 cos 2✓ sin 2✓ ~!0 2 2d0 E tan 2✓ = ~!0 | ◆2 d0 E : ✓ sin 2✓ cos 2✓ 0 1 ◆ + (d0 E)2 ◆ 1 0 ⌦>0 ⇡/4 < ✓ < ⇡/4 Les valeurs propres sont ±~⌦/2 et les vecteurs propres associés s’écrivent | i= ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ | +i = ✓ sin ✓ cos ✓ ◆ Le diagramme d’énergie pour NH3 dans un champ électrique ✓ ~⌦ 2 ◆2 = ✓ ~!0 2 ◆2 2d0 E tan 2✓ = ~!0 + (d0 E) 2 E E+ = ~⌦/2 | Ai +~!0 /2 ~!0 /2 | Si 1 2 | = ✓ sin ✓ cos ✓ i= ✓ ◆ +i ◆ d0 E / ~!0 E = ~⌦/2 | cos ✓ sin ✓ Si le champ électrique E dépend de la position, alors l’énergie ±~⌦/2 joue le rôle d’énergie potentielle pour le mouvement du centre de masse de la molécule Une molécule dans l’état | Une molécule dans l’état | attirée par les zones de faible champ E i est attirée par les zones de fort champ E + i est L’inversion de population sur un jet de NH3 On veut garder les molécules dans l’état | A i , d’énergie +~!0 /2 et éliminer les molécules dans l’état | S i , d’énergie ~!0 /2 + x z y E 2 / x2 + y 2 - - régime de champ faible : d0 E ⌧ ~!0 + quadrupole électrique Les molécules dans l’état | + i ⇡ | A i, chercheur de champ faible, restent au voisinage de l’axe x = y = 0 Les molécules dans l’état | i ⇡ | S i, chercheur de champ fort, sont expulsées transversalement | | Si | Ai Si | quadrupole électrique N S > NA | Si Ai 4. Le maser de Townes (1954) Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation Amplificateur à émission stimulée | Si | quadrupole électrique | a| Ai Si Si + b| | Ai | Si ~!0 Ai E0 cos !t Remarque préliminaire : durée de vie de | Ai due à l’émission spontanée ⌧ = 1/A = 1 mois L’émission spontanée a un rôle négligeable dans le domaine des micro-ondes. Seuls les processus d’absorption et d’émission stimulée sont importants. Si la molécule sort dans l’état | S i , c’est qu’elle a déposé son énergie ~!0 dans la cavité sous forme d’énergie électromagnétique. Comment décrire l’émission stimulée et l’absorption dans le formalisme quantique ? Point de vue d’Einstein : Occupation de | A i 1 Bien adapté au cas d’un champ aléatoire (corps noir) 0 émission stimulée absorption avec la condition initiale : a(0) = 0 b(0) = 1 Si + b(t)| A (t)i L’évolution de cet état est donnée par l’équation de Schrödinger : i~ d| i = Ĥtot (t)| (t)i dt Ĥtot (t) = Ĥ0 Ai | Si ~!0 temps Cas d’un champ micro-onde monochromatique : E(t) = E0 cos(!t) L’état de l’atome s’écrit à l’instant t : | (t)i = a(t)| | D̂E(t) Résolution de l’équation de Schrödinger !0 iȧ = a !1 b cos !t 2 !0 iḃ = b !1 a cos !t 2 E(t) = E0 cos(!t) ~!1 = d0 E0 !0 ⇡ ! ⇡ 2⇡ ⇥ 2 1010 s 1 pour !1 ⇡ 2⇡ ⇥ 7 106 s 1 Ordres de grandeur : | Ai | Si ~!0 E0 = 1000 V/m Résolution numérique aisée ; pour obtenir une solution analytique, on a recours à une approximation supplémentaire (« champ tournant ») : Pour !1 = 0 , on a : a(t) ⇠ ei!0 t/2 b(t) ⇠ e i!0 t/2 Pour !1 ⌧ !0 et ! ⇡ !0 , on peut en bonne approx. ne garder que : iȧ = !0 a 2 !0 iḃ = b 2 !1 b ei!t + e 2 !1 a ei!t + e 2 i!t i!t Solution pour ! = !0 : b(t) = e i!0 t/2 !1 t cos 2 De l’amplificateur à l’oscillateur | Ai a| b(t) = e Si + b| i!0 t/2 Occupation de | A i Ai cos « oscillation de Rabi » |b(tf )|2 = 2 ! 1 tf cos 2 !1 t 2 tf ⇡ Pour des temps de traversée tf = (2n + 1) , on est certain que la !1 molécule dépose son énergie ~!0 dans la cavité : amplificateur optimisé ! entrée E0 cos !t Ampli 1 sortie g(!) E0 cos !t ⌘ ⌘ Oscillation à la pulsation !m pour laquelle le gain g(!) est maximum 5. des Masers aux Lasers M = Microwave ! = 109 2⇡ 10 10 L = Light Hz ! = 1014 2⇡ 1015 Hz Le problème de l’émission spontanée | 2i Emission stimulée, contribue au gain Ṅ2 = | B I N2 1i Emission spontanée dans une direction aléatoire, ne contribue pas au gain Ṅ2 = A/B / !03 A 1 A 1 A N2 ⇠ 1 mois pour NH3 à une fréquence microonde ⇠ 10 7 10 9 seconde dans le domaine visible Le schéma de base d’un laser Dépôt de brevet : Schawlow-Townes, Gould 1958 Réalisation : Maiman 1960 Avec une source d'énergie extérieure (décharge dans un gaz, passage d'un courant dans une diode,...), on crée l’inversion de population. miroir complètement réfléchissant énergie extérieure miroir partiellement réfléchissant Traitement quantitatif, prenant en compte quantitativement l’émission spontanée, dans le cours de physique de 3ème année Les lasers sont partout...