Rappels de trigonométrie

Annexe A
Rappels de trigonométrie
A - Valeurs remarquables et symétries
£
¤
Le tableau ci-dessous donne des valeurs remarquables sur 0, π2 .
x
0
sin(x)
0
cos(x)
1
tan(x)
0
π
6
1
p2
3
2
p1
3
π
p4
2
p2
2
2
1
π
p3
3
2
1
p2
π
2
1
0
3
On en trouve d’autres, en exploitant les symétries, explicitées ci-dessous.
cos(−x) = cos(x)
cos(π − x) = − cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
sin(π − x) = sin(x)
x
−x
π−x
x
2
Annexe A - Rappels de trigonométrie
¡
¢
cos π2 − x = sin(x)
¢
¡
sin π2 − x = cos(x)
π
2
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
−x
x
x
π+x
¡π
¡
¢
cos x − π2 = sin(x)
¡
¢
sin x − π2 = − cos(x)
¢
+ x = − sin(x)
¡
¢
sin π2 + x = cos(x)
cos
π
2
2
+x
x
x
x − π2
B - Formules d’addition et de duplication
Pour tous réels a et b, on a :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b),
et :
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a),
d’où, en remplaçant b par −b :
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b),
et :
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a).
Pour a = b, il vient :
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a),
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Sébastien PELLERIN
3
C - Résolution d’(in)équations trigonométriques
et :
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a),
et en utilisant la relation cos2 (a) + sin2 (a) = 1, on obtient :
cos(2a) = 2 cos2 (a) − 1 et
cos(2a) = 1 − 2 sin2 (a).
C - Résolution d’(in)équations trigonométriques
■ Plutôt que de retenir une litanie de résultats, il faut se représenter le cercle trigonométrique pour obtenir des
équivalences du type :
π
cos(x) = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ / x = + kπ,
2
Z
ou pour a ∈
R:
cos(x) = cos(a) ⇐⇒



∃k ∈
ou


∃k ∈
Z / x = a + 2kπ
Z / x = −a + 2kπ
•
.
a + 2kπ
a
cos(a)
•
−a + 2kπ
Bien entendu, la même idée concerne sin :
sin(x) = sin(a) ⇐⇒



∃k ∈
ou


∃k ∈
Z / x = a + 2kπ
Z / x = π − a + 2kπ
et tan :
tan(x) = tan(a) ⇐⇒ ∃k ∈
,
Z / x = a + kπ.
Exemple
Résolvons sur [0, 2π] l’équation d’inconnue x : sin(3x) =
p1 .
2
Commençons par résoudre l’équation d’inconnue t : sin(t ) =
Sébastien PELLERIN
p1 .
2
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Annexe A - Rappels de trigonométrie
3π
4
+ 2kπ
p1
2
•
3π
4
On a :



∃k ∈
1
sin(t ) = p ⇐⇒ ou

2

∃k ∈
•
π
4
+ 2kπ
π
4
Z / t = π4 + 2kπ
Z/t =
.
3π
4
+ 2kπ
De plus, on a x ∈ [0, 2π] si et seulement si 3x ∈ [0, 6π], il s’agit donc de déterminer, parmi les solutions indiquées
ci-dessus, celles qui sont dans l’intervalle [0, 6π]. Il s’agit de :
19π
π 3π 9π 11π 17π
,
,
,
,
et
,
4 4 4
4
4
4
donc les solutions de l’équation initiale sont :
π π 3π 11π 17π
19π
, ,
,
,
et
.
12 4 4 12 12
12
■ Il peut également être pertinent d’écrire une expression de la forme :
A cos(ωx) + B sin(ωx)
(où tous les coefficients sont réels) sous la forme d’un seul cosinus.
p
Supposons A ou B non nul (sinon cette expression est nulle), alors on peut factoriser par A2 + B2 :
´
³
p
B
A
cos(ωx) + p
sin(ωx) .
A cos(ωx) + B sin(ωx) = A2 + B2 p
A2 + B2
A2 + B2
De plus, on a :
¯
¯
¯
¯
³
´2 ³
´2
¯
¯
¯
¯
B
¯p A
¯ É 1, ¯ p B
¯ É 1 et p A
+
= 1.
p
¯
¯
¯
¯
A2 + B2
A2 + B2
A2 + B2
A2 + B2
Il existe donc un réel ϕ tel que :
A
B
cos(ϕ) = p
et sin(ϕ) = p
.
A2 + B2
A2 + B2
On a donc :
³
´
p
A cos(ωx) + B sin(ωx) = A2 + B2 cos(ωx) cos(ϕ) + sin(ωx) sin(ϕ)
p
= A2 + B2 cos(ωx − ϕ).
Exemple
p
Soit x un réel, écrivons cos(x) + 3 sin(x) sous la forme d’un seul cosinus.
q
p 2
On a 12 + 3 = 2 donc on écrit :
p
³1
´
p
3
cos(x) + 3 sin(x) = 2 cos(x) +
sin(x)
2
2
³
³π´
³π´
´
= 2 cos
cos(x) + sin
sin(x)
3
3
³
π´
= 2 cos x − .
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