Rappels de trigonométrie

Annexe A
Rappels de trigonométrie
A - Valeurs remarquables et symétries
Le tableau ci-dessous donne des valeurs remarquables sur £0, π
2¤.
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x) 0 1
2
p2
2
p3
21
cos(x) 1 p3
2
p2
2
1
20
tan(x) 0 1
p31p3
On en trouve d’autres, en exploitant les symétries, explicitées ci-dessous.
cos(−x)=cos(x)
sin(−x)=−sin(x)
x
−x
cos(π−x)=−cos(x)
sin(π−x)=sin(x)
x
π−x

2Annexe A - Rappels de trigonométrie
cos¡π
2−x¢=sin(x)
sin¡π
2−x¢=cos(x)
x
π
2−x
cos(π+x)=−cos(x)
sin(π+x)=−sin(x)
x
π+x
cos¡π
2+x¢=−sin(x)
sin¡π
2+x¢=cos(x)
x
π
2+x
cos¡x−π
2¢=sin(x)
sin¡x−π
2¢=−cos(x)
x
x−π
2
B - Formules d’addition et de duplication
Pour tous réels aet b, on a :
cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b),
et :
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),
d’où, en remplaçant bpar −b:
cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b),
et :
sin(a−b)=sin(a)cos(b)−sin(b)cos(a).
Pour a=b, il vient :
cos(2a)=cos2(a)−sin2(a),
2016-2017 Sébastien PELLERIN

C- Résolution d’(in)équations trigonométriques 3
et :
sin(2a)=2 sin(a)cos(a),
et en utilisant la relation cos2(a)+sin2(a)=1, on obtient :
cos(2a)=2 cos2(a)−1 et cos(2a)=1−2 sin2(a).
C - Résolution d’(in)équations trigonométriques
■ Plutôt que de retenir une litanie de résultats, il faut se représenter le cercle trigonométrique pour obtenir des
équivalences du type :
cos(x)=0⇐⇒ ∃k∈/x=π
2+kπ,
ou pour a∈:
cos(x)=cos(a)⇐⇒
∃k∈/x=a+2kπ
ou
∃k∈/x=−a+2kπ
.
cos(a)
a
•a+2kπ
•−a+2kπ
Bien entendu, la même idée concerne sin :
sin(x)=sin(a)⇐⇒
∃k∈/x=a+2kπ
ou
∃k∈/x=π−a+2kπ
,
et tan :
tan(x)=tan(a)⇐⇒ ∃k∈/x=a+kπ.
Exemple
Résolvons sur [0,2π] l’équation d’inconnue x: sin(3x)=1
p2.
Commençons par résoudre l’équation d’inconnue t: sin(t)=1
p2.
Sébastien PELLERIN 2016-2017

4Annexe A - Rappels de trigonométrie
1
p2
π
4
3π
4
•
π
4+2kπ
•
3π
4+2kπ
On a :
sin(t)=1
p2⇐⇒
∃k∈/t=π
4+2kπ
ou
∃k∈/t=3π
4+2kπ
.
De plus, on a x∈ [0 , 2 π ] si et seulement si 3 x∈ [0 , 6 π ], il s’agit donc de déterminer, parmi les solutions indiquées
ci-dessus, celles qui sont dans l’intervalle [0,6π]. Il s’agit de :
π
4,3π 4,9π 4,11π 4,17π 4et 19π 4,
donc les solutions de l’équation initiale sont :
π
12,π 4,3π 4,11π 12 ,17π 12 et 19π 12 .
■Il peut également être pertinent d’écrire une expression de la forme :
Acos(ωx)+Bsin(ωx)
(où tous les coefficients sont réels) sous la forme d’un seul cosinus.
Supposons A ou B non nul (sinon cette expression est nulle), alors on peut factoriser par pA2+B2:
Acos(ωx)+Bsin(ωx)=pA2+B2³A
pA2+B2cos(ωx)+B pA2+B2sin(ωx)´.
De plus, on a :
¯
¯
¯
¯
A
pA2+B2¯
¯
¯
¯É1, ¯
¯
¯
¯
B
pA2+B2¯
¯
¯
¯É1 et ³A
pA2+B2´2
+³B
pA2+B2´2
=1.
Il existe donc un réel ϕtel que :
cos(ϕ)=A
pA2+B2et sin(ϕ)=B pA2+B2.
On a donc :
Acos(ωx)+Bsin(ωx)=pA2+B2³cos(ωx)cos(ϕ)+sin(ωx)sin(ϕ)´
=pA2+B2cos(ωx−ϕ).
Exemple
Soit xun réel, écrivons cos(x)+p3sin(x) sous la forme d’un seul cosinus.
On a q12+p32=2 donc on écrit :
cos(x)+p3 sin(x)=2³1
2cos(x)+p3 2sin(x)´
=2³cos³π
3´cos(x)+sin ³π 3´sin(x)´
=2cos³x−π
3´.
2016-2017 Sébastien PELLERIN