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Variable aléatoires utilisées
Trois types de variables aléatoires discrètes (prenant un nombre fini de valeurs) sont utilisées.
Les variables dépendent des deux paramètres n et p.
Par exemple, on lance n fois une pièce déséquilibrée pour laquelle la probabilité d’obtenir
« pile » est égale à p = 0,6.
La variable aléatoire X n est égale au nombre de fois où on obtient « pile ».
Les variables aléatoires X n suivent des lois binomiales de paramètres n et p.
La variable aléatoire X n prend les valeurs entières de 0 à n, E(X) = n p et ( X )  n p ( 1  p )
.
La variable aléatoire Z n est la variable aléatoire centrée-réduite associée à X n. La variable
aléatoire Z n prend des valeurs discrètes, souvent non entières, E(Z n ) = 0, (Z n ) = 1
Toutes les variables Z n ont la même espérance et le même écart-type mais elles sont différentes
(les valeurs prises par Z n dépendent de n et de p).
La variable aléatoire F n 
Xn
est la variable aléatoire qui est la fréquence associée à X n. La
n
variable F n prend des valeurs discrètes dans [ 0 ; 1 ]
E(F n ) = p (indépendante de n) et (F n ) diminue quand n augmente.
Centrer et réduire
Définition : Une variable aléatoire est centrée et réduite lorsque son espérance est nulle et son
écart-type égal à 1.
Propriété : Soit X une variable aléatoire d’espérance m et d’écart-type , la variable aléatoire
Xm
Z
est une variable aléatoire centrée et réduite.

Théorème de Moivre-Laplace
Soit p un nombre réel de l’intervalle ] 0 ; 1 [.
Soit une suite de variables aléatoires (X n ) où chaque variable aléatoire X n suit la loi binomiale
B (n ; p ).
Xnn p
On pose Z n 
, variable centrée et réduite associée à X n , alors, pour tous réels a
n p (1  p )
b
et b tels que a < b, on a : lim P(a  Z n  b ) 
n


1
e
2
a
x2
2
dx
Loi normale centrée réduite
Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) si, pour tous
b
réels a et b tels que a < b, on a : P (a  X  b ) 

a

1
e
2
Si X suit la loi normale N (0 ; 1) alors E(X) = 0 et (X) = 1.
1
x2
2
dx.
Lorsque la variable aléatoire X suit la loi normale N (0 ; 1), pour tout nombre  de l’intervalle
] 0 ; 1 [, il existe un unique nombre réel positif u  tel que P( – u  ≤ X ≤ u  ) = 1 – 
Valeurs particulières à connaître :
u 0,05 ≈ 1,96 d’où : P(– 1,96 ≤ X ≤ 1,96) = 0,95
u 0,01 ≈ 2,58 d’où : P(– 2,58 ≤ X ≤ 2,58) = 0,99
Autres lois normales
Définition : Une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ ;  2 ) si la variable aléatoire
X 
Z
suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

Espérance et écart-type
Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ ;  2 ) alors E(X) = µ et (X) = 
Calculs
La variable aléatoire X suivant la loi normale N (µ ;  2 ), il faut savoir calculer des probabilités
de la forme : P( a ≤ X ≤ b), P (X ≤ c) et P (X  c), a, b et c étant des nombres réels donnés.
Il faut aussi savoir déterminer le nombre x tel que P(X ≤ x) = p, p étant une probabilité donnée.
A connaitre :
P(µ –  ≤ X ≤ µ + ) ≈ 0,68 (à 10 – 2 près)
P(µ – 2  ≤ X ≤ µ + 2 ) ≈ 0,95 (à 10 – 2 près)
P(µ – 3  ≤ X ≤ µ + 3 ) ≈ 0,997 (à 10 – 3 près)
2
Intervalles de fluctuation
Définition : Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F n 
Xn
au
n
seuil 1 –  (ou avec le risque ) est un intervalle déterminé à partir de p et de n et qui contient
F n avec une probabilité d’autant plus proche de 1 – que n est grand.
Théorème
Soit p un nombre réel fixé de l’intervalle ] 0 ; 1 [.
Soit une suite de variables aléatoires (X n ), chaque variable aléatoire X n suivant la loi binomiale
Xn

B(n ; p ), alors, pour tout réel  dans ] 0 ; 1 [, on a lim P 
 I n   1   où I n est
n
 n


p (1 p )
p (1  p ) 
l’intervalle I n   p  u 
; p  u
 et u  désigne l’unique réel tel
n
n


que P( – u  ≤ Z ≤ u  ) = 1 – , la variable aléatoire Z suivant la loi normale N (0 ; 1).

Propriété : L’intervalle I n   p  u 

p (1  p ) 
 est un intervalle de
n

Xn
fluctuation asymptotique au seuil 1 –  de la variable aléatoire F n 
.
n

p (1  p )
p (1 p ) 
En particulier, l’intervalle
J n   p  1,96
; p  1,96
 est un
n
n


intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
p (1 p )
; p  u
n
Conditions d’utilisation
Les exigences habituelles de précision pour utiliser cette approximation sont : n  30, n p  5 et
n p (1 – p )  5
Il faut savoir utiliser un intervalle de fluctuation pour prendre une décision.
La règle de décision adoptée étant la suivante :
Si la fréquence observée f dans un échantillon appartient à un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95 %, on considère que l’échantillon est compatible avec le modèle ;
sinon, on considère que l’échantillon n’est pas compatible avec le modèle.
3
Méthode :
1.
Enoncer l’hypothèse
2.
3.
Vérifier les conditions
n  30, n p  5 et n (1 – p)  5,
4.
Déterminer l’intervalle de fluctuation
5.
Arrondir la borne inférieure à 10 – 3 par défaut et la borne supérieure à 10 – 3 par excès.
(10 – 3 est un exemple)
6.
Appliquer la règle de décision
Intervalle de confiance
Un intervalle de confiance (on dit aussi une « fourchette de sondage ») pour une proportion p à
un niveau de confiance de 95 % est la réalisation, à partir d’un échantillon, d’un intervalle
aléatoire contenant la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 95 %.
Définitions
Il faut savoir estimer une proportion inconnue p grâce à un échantillon :

1
1 
la proportion p est estimée par la fréquence f obs , l’intervalle  f obs 
; f obs 
 étant
n
n


un intervalle de confiance au niveau de 95 %.
Conditions d’utilisation
On se place dans le cas où l’échantillon contient au moins 30 éléments et où la fréquence f
observée est telle que n  30, n f obs  5 et n (1 – f obs )  5,
La précision de l’estimation est donnée par l’amplitude de l’intervalle

1
1 
2
f

;
f

et dépend donc de la taille n de l’échantillon.
 obs
 qui est égale à
obs
n
n
n


4