Gaz libres de fermions 1 Naines blanches

Physique Statistique (PHY433)
Maxime Dahan
Année 2015-2016
Petite Classe no 6
Lundi 14 Mars 2016
Gaz libres de fermions
1
Naines blanches
Les étoiles naines blanches sont celles dans lesquelles plus aucune réaction nucléaire ne se produit, suite
à l’épuisement des ressources en combustible. Ce sont des étoiles très denses, dont la masse M est proche
de celle du soleil tandis que leur rayon R est semblable à celui de la terre. En ordre de grandeur, cela
correspond à M = 1030 kg et R = 5000 km, soit une densité ρ de l’ordre de 2×106 g/cm3 . La température
T au centre de l’étoile est de l’ordre de 107 K. On cherche à comprendre ce qui assure la stabilité d’un
tel système et à décrire les forces qui s’opposent à l’effondrement gravitationnel.
La matière d’une naine blanche peut être modélisée, à une très bonne approximation, comme un gaz
de Fermi sans interactions composé à la fois de protons et neutrons (venant de noyaux atomiques ionisés)
et d’électrons. On suppose que le rapport du nombre de nucléons sur le nombre d’électrons est égal à 2.
Dans la suite, nous nous contenterons de décrire l’étoile comme une sphère homogène de rayon R.
On rappelle que la densité d’états d’un gaz de particules non relativistes de spin s s’écrit :
D(E) = (2s + 1)
√
V
3/2
E
3 (2m)
2
4π h̄
On pourra considérer que les protons et neutrons ont la même masse, égale à 1837 fois celle de l’électron
(9.1 10−31 kg).
1. Donner les expressions générales du nombre de particules et l’énergie interne en fonction de la
densité d’états à une particule et du facteur d’occupation de Fermi. Que deviennent ces expressions
dans la limite T → 0 ?
2. Calculer l’énergie de Fermi du gaz d’électrons de l’étoile. En déduire la température de Fermi. La
comparer à la température de l’étoile. Que constate-t-on ?
3. Obtenir l’expression de l’énergie interne du gaz d’électrons à température nulle. En déduire le grand
potentiel et la pression. Exprimer le résultat pour la pression en fonction de M et R, et évaluer son
ordre de grandeur.
4. Calculer l’énergie de Fermi des protons et la comparer à celle des électrons. Montrer qu’on est ici
dans la limite opposée (celle des hautes températures). Expliquer pourquoi le potentiel chimique
des protons doit être fortement négatif, et en déduire que les protons obéissent à une statistique
très proche de la distribution de Boltzmann. En déduire (sans calcul détaillé) leur énergie interne
et la pression du gaz de protons. Les comparer à celles des électrons.
5. L’énergie potentielle gravitationnelle pour une sphère homogène est EG = −(3/5)GM 2 /R, où G =
6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 est la constante gravitationnelle. En déduire la pression gravitationnelle
sur la surface de l’étoile.
6. Montrer qu’il y a un rayon d’équilibre de l’étoile et l’exprimer en fonction de la masse. Vérifier
qu’on obtient bien l’ordre de grandeur donné dans l’énoncé.
7. Revenir aux résultats du point 2. Est-ce que le traitement non-relativiste fait ici est justifié ? Que
faut-il modifier pour un traitement relativiste ?
1
8. On se place dans la limite ultra-relativiste où la relation entre énergie et impulsion devient ε = pc.
Calculer à nouveau l’énergie interne et la pression du gaz délectrons. En déduire qu’il y a une masse
critique au-delà de laquelle l’étoile n’est pas stable, et la calculer. Cette limite s’appelle la limite de
Chandrasekhar, voir S. Chandrasekhar, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 95, 207
(1935).
2
Limite classique du gaz parfait quantique
On considère un gaz parfait quantique (bosons ou fermions) et on étudie sa limite classique, c’est à dire
lorsque le paramêtre eα = eβµ est petit devant 1. On va chercher à calculer l’expression de ZG (α, β), la
fonction de partition grand-canonique du système.
1. Ecrire dans cette limite l’expression de ln ZG (α, β) en fonction de D(ε) et de Z1 (β) la fonction de
partition canonique à une particule.
2. En déduire l’expression de ZC (N, β), la fonction de partition canonique à N particules, en fonction
de Z1 (β) et N . Quel résultat retrouve t-on ?
3. Ecrire la relation entre N le nombre moyen de particules et eα . Discuter la validité de l’approximation classique.
On rappelle que
R ∞ √ −x
√
xe dx = π/2
0
2