Gaz libres de fermions 1 Naines blanches

Physique Statistique (PHY433)
Maxime Dahan
Ann´ee 2015-2016
Petite Classe no6
Lundi 14 Mars 2016
Gaz libres de fermions
1 Naines blanches
Les ´etoiles naines blanches sont celles dans lesquelles plus aucune r´eaction nucl´eaire ne se produit, suite
`a l’´epuisement des ressources en combustible. Ce sont des ´etoiles tr`es denses, dont la masse Mest proche
de celle du soleil tandis que leur rayon Rest semblable `a celui de la terre. En ordre de grandeur, cela
correspond `a M= 1030 kg et R= 5000 km, soit une densit´e ρde l’ordre de 2×106g/cm3. La temp´erature
Tau centre de l’´etoile est de l’ordre de 107K. On cherche `a comprendre ce qui assure la stabilit´e d’un
tel syst`eme et `a d´ecrire les forces qui s’opposent `a l’effondrement gravitationnel.
La mati`ere d’une naine blanche peut ˆetre mod´elis´ee, `a une tr`es bonne approximation, comme un gaz
de Fermi sans interactions compos´e `a la fois de protons et neutrons (venant de noyaux atomiques ionis´es)
et d’´electrons. On suppose que le rapport du nombre de nucl´eons sur le nombre d’´electrons est ´egal `a 2.
Dans la suite, nous nous contenterons de d´ecrire l’´etoile comme une sph`ere homog`ene de rayon R.
On rappelle que la densit´e d’´etats d’un gaz de particules non relativistes de spin ss’´ecrit :
D(E) = (2s+ 1) V
4π2¯h3(2m)3/2√E
On pourra consid´erer que les protons et neutrons ont la mˆeme masse, ´egale `a 1837 fois celle de l’´electron
(9.1 10−31 kg).
1. Donner les expressions g´en´erales du nombre de particules et l’´energie interne en fonction de la
densit´e d’´etats `a une particule et du facteur d’occupation de Fermi. Que deviennent ces expressions
dans la limite T→0 ?
2. Calculer l’´energie de Fermi du gaz d’´electrons de l’´etoile. En d´eduire la temp´erature de Fermi. La
comparer `a la temp´erature de l’´etoile. Que constate-t-on ?
3. Obtenir l’expression de l’´energie interne du gaz d’´electrons `a temp´erature nulle. En d´eduire le grand
potentiel et la pression. Exprimer le r´esultat pour la pression en fonction de Met R, et ´evaluer son
ordre de grandeur.
4. Calculer l’´energie de Fermi des protons et la comparer `a celle des ´electrons. Montrer qu’on est ici
dans la limite oppos´ee (celle des hautes temp´eratures). Expliquer pourquoi le potentiel chimique
des protons doit ˆetre fortement n´egatif, et en d´eduire que les protons ob´eissent `a une statistique
tr`es proche de la distribution de Boltzmann. En d´eduire (sans calcul d´etaill´e) leur ´energie interne
et la pression du gaz de protons. Les comparer `a celles des ´electrons.
5. L’´energie potentielle gravitationnelle pour une sph`ere homog`ene est EG=−(3/5)GM 2/R, o`u G=
6.67 ×10−11 m3kg−1s−2est la constante gravitationnelle. En d´eduire la pression gravitationnelle
sur la surface de l’´etoile.
6. Montrer qu’il y a un rayon d’´equilibre de l’´etoile et l’exprimer en fonction de la masse. V´erifier
qu’on obtient bien l’ordre de grandeur donn´e dans l’´enonc´e.
7. Revenir aux r´esultats du point 2. Est-ce que le traitement non-relativiste fait ici est justifi´e ? Que
faut-il modifier pour un traitement relativiste ?
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8. On se place dans la limite ultra-relativiste o`u la relation entre ´energie et impulsion devient ε=pc.
Calculer `a nouveau l’´energie interne et la pression du gaz d´electrons. En d´eduire qu’il y a une masse
critique au-del`a de laquelle l’´etoile n’est pas stable, et la calculer. Cette limite s’appelle la limite de
Chandrasekhar, voir S. Chandrasekhar, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 95, 207
(1935).
2 Limite classique du gaz parfait quantique
On consid`ere un gaz parfait quantique (bosons ou fermions) et on ´etudie sa limite classique, c’est `a dire
lorsque le paramˆetre eα=eβµ est petit devant 1. On va chercher `a calculer l’expression de ZG(α, β), la
fonction de partition grand-canonique du syst`eme.
1. Ecrire dans cette limite l’expression de ln ZG(α, β) en fonction de D(ε) et de Z1(β) la fonction de
partition canonique `a une particule.
2. En d´eduire l’expression de ZC(N, β), la fonction de partition canonique `a Nparticules, en fonction
de Z1(β) et N. Quel r´esultat retrouve t-on ?
3. Ecrire la relation entre Nle nombre moyen de particules et eα. Discuter la validit´e de l’approxima-
tion classique.
On rappelle que R∞
0√xe−xdx =√π/2
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