O S x y

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Ma 14/02/12
NOM, Prénom :
Interrogation no 4
Soit S = {M, m} un satellite artificiel terrestre de masse m sur une orbite circulaire de rayon r.
On travaille dans le référentiel géocentrique.
Données pour les applications numériques :
- masse de a Terre : MT = 6.1024 kg
- rayon terrestre : RT = 6 400 km
- constante gravitationnelle : G = 6, 67.10−11 u.S.I.
1) Montrer que la trajectoire circulaire est parcourue
à une vitesse v uniforme.
y
er
2) Donner la relation entre v, r et T , période de
révolution de S.
3) Établir l’expression de v en fonction de r, MT et G.
4) En déduire l’expression de la troisième loi de Képler
pour le satellite.
eθ
S
r
O
RT
θ
x
5) Exprimer l’énergie mécanique du satellite en fonction de m, MT , G, v et r.
6) En déduire la relation entre :
- l’énergie mécanique Em et l’énergie cinétique Ek d’une part ;
- l’énergie mécanique Em et l’énergie potentielle Ep d’autre part.
7) 2012 devrait être l’année du lancement du satellite SPOT-6 (masse m = 800 kg) à une
altitude h = 694 km. Calculer :
- sa vitesse vS
- sa période TS (en heures et minutes)
- son énergie mécanique Em,S (en giga-joules, GJ)
8)
a)
de
b)
1
La période de révolution de la Lune est TL = 27 j 7 h 3 min.
Donner la relation entre TL , TS et les distances rL et rS de la Lune et de SPOT-6 au centre
la Terre.
En déduire la distance de la Lune au centre de la Terre en km avec 3 chiffres significatifs.
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PTSI-A
Interrogation no 4
Ma 14/02/12
1) Principe fondamentale de la dynamique appliqué au satellite, soumis à la force gravitation→
−
dEp −
GMT .m −
→
−
−
−
→
nelle F = −
er , en mouvement circulaire à la vitesse →
v = rθ̇ →
eθ = v →
eθ dans
er = −
2
dr
r
le référentiel géocentrique considéré galiléen :
→
−−→ −
m−
a−
M/R0 = F
m r̈ − rθ̇2
⇔
→
→
→
(−
er ,−
eθ ,−
ez )
= F
rθ̈ + 2ṙθ̇
0
z̈
0
dv
→
La projection du PFD selon −
eθ donne :
=0
dt
⇔
→
→
→
(−
er ,−
eθ ,−
ez )
⇔
→
3) La projection du PFD selon −
er donne : v =
4) Les deux questions précédentes donnent :
= −
GMT .m
r2
0
0
v = Cte
2) Pour un mouvement circulaire uniforme de période T : v =
r
v2
r
dv
dt
0
m −
2π.r
T
GMT
r
4π 2
T2
=
(3ème loi de Képler)
r3
GMT
GMT m
1
5) Em = Ek + Ep = mv 2 −
2
r
6) Em = −Ek =
Ep
1 GMT m
=− .
2
2
r
7) vS = 7 510 m.s−1
TS = 1h 39 min
8.a) D’après la 3ème loi de Képler :
8.b) Donc : rL =
PTSI-A
TL
TS
2/3
.rS =
Em = −22, 6 GJ
TL2
TS2
=
rL3
rS3
TL
TS
2/3
.(RT + h) ≃ 383 000 km
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2