O S x y

NOM, Pr´enom : Ma 14/02/12 Interrogation no4
Code-
Copie :
Soit S={M, m}un satellite artificiel terrestre de masse msur une orbite circulaire de rayon r.
On travaille dans le r´ef´erentiel g´eocentrique.
Donn´ees pour les applications num´eriques :
- masse de a Terre : MT= 6.1024 kg
- rayon terrestre : RT= 6 400 km
- constante gravitationnelle : G= 6,67.10−11 u.S.I.
1) Montrer que la trajectoire circulaire est parcourue
`a une vitesse vuniforme.
2) Donner la relation entre v,ret T, p´eriode de
r´evolution de S.
3) ´ Etablir l’expression de ven fonction de r,MTet G.
4) En d´eduire l’expression de la troisi`eme loi de K´epler
pour le satellite.
5) Exprimer l’´energie m´ecanique du satellite en fonc-
tion de m,MT,G,vet r.
O
S
x
y
r
θ
RT
er
eθ
6) En d´eduire la relation entre :
- l’´energie m´ecanique Emet l’´energie cin´etique Ekd’une part ;
- l’´energie m´ecanique Emet l’´energie potentielle Epd’autre part.
7) 2012 devrait ˆetre l’ann´ee du lancement du satellite SPOT-6 (masse m= 800 kg) `a une
altitude h= 694 km. Calculer :
- sa vitesse vS
- sa p´eriode TS(en heures et minutes)
- son ´energie m´ecanique Em,S(en giga-joules, GJ)
8) La p´eriode de r´evolution de la Lune est TL= 27 j7h3min.
a) Donner la relation entre TL,TSet les distances rLet rSde la Lune et de SPOT-6 au centre
de la Terre.
b) En d´eduire la distance de la Lune au centre de la Terre en km avec 3 chiffres significatifs.
1http://atelierprepa.over-blog.com/ PTSI-A

Interrogation no4Ma 14/02/12
1) Principe fondamentale de la dynamique appliqu´e au satellite, soumis `a la force gravitation-
nelle −→ F=−dEp
dr
−→
er=−GMT.m
r2
−→
er, en mouvement circulaire `a la vitesse −→ v=r˙ θ−→ eθ=v−→ eθdans
le r´ef´erentiel g´eocentrique consid´er´e galil´een :
m−−−−→ aM/R0=−→ F⇔m
¨r−r˙ θ2=F⇔m−v2
r=−GMT.m r2
r¨ θ+ 2 ˙r˙ θ0dv
dt0
(−→ er,−→ eθ,−→ ez)
¨z0(−→
er,−→ eθ,−→ ez)0 0
La projection du PFD selon −→ eθdonne : dv
dt= 0 ⇔v=Cte
2) Pour un mouvement circulaire uniforme de p´eriode T:v=2π.r
T
3) La projection du PFD selon −→ erdonne : v=rGMT
r
4) Les deux questions pr´ec´edentes donnent : T2
r3=4π2 GMT
(3`eme loi de K´epler)
5) Em=Ek+Ep=1
2mv2−GMTm r
6) Em=−Ek=Ep
2=−1 2.GMTm r
7) vS= 7 510 m.s−1TS= 1h39 min Em=−22,6GJ
8.a) D’apr`es la 3`eme loi de K´epler : T2
L
r3
L
=T2
S
r3
S
8.b) Donc : rL=TL
TS2/3
.rS=TL
TS2/3
.(RT+h)≃383 000 km
PTSI-A http://atelierprepa.over-blog.com/ 2