TS 2016 Cours Ch8. Probabilité Conditionnelle 1. Un exemple de

TS 2016 Cours Ch8. Probabilité Conditionnelle
1. Un exemple de construction d’arbre pondéré :
On étudie une certaine allergie et son lien éventuel avec un antécédent familial (parent ou grand parent souffrant de la même
allergie).
On prélève au hasard une personne dans la population étudiée.
On note Al’événement "la personne est allergique" et Fl’événement "la personne présente un antécédent familial".
On suppose que P(A) = 0,1, que parmi les personnes allergiques, 70% ont un antécédent familial et que parmi les personnes
non allergiques, seulement 2% ont un antécédent familial allergique.
On s’intéresse à la probabilité P(F) qu’un individu ait un antécédent familial, et à la probabilité PF(A) qu’un individu soit
allergique, sachant qu’il a un antécédent familial.
1) Illustrer la situation par un arbre pondéré.
2) En déduire P(F).
3) Cet arbre permet-il le calcul de PF(A) ?
4) Pour le calcul de PF(A) il faudrait connaître l’arbre dit "inversé"
ci-contre.
De cet arbre "inversé", donner l’expression de P(F∩A) en fonction
de P(F) et PF(A).
En déduire alors PF(A).
5) De même calculer P(A∩F) puis PF(A).
Vérifier PF(A)
PF(A)≈24.
On peut interpréter ce résultat en disant que le risque d’allergie
est 24 fois plus important lorsqu’on a des antécédents familiaux
que lorsqu’on en a pas.
arbre
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
arbre "inversé"
FA
A
FA
A
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2. Probabilité Conditionnelle :
1) Définition : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers, et pla probabilité définie sur cet univers.
On note Aun événement de probabilité non nulle, alors pour tout événement Bon note PA(B)
la probabilité de Bsachant Adéfinie par PA(B) = P(A∩B)
P(A)soit P(A∩B) = P(A)×PA(B)
2) Propriété : L’application PAdéfinie ci-dessus qui à tout événement Bfait correspondre PA(B) est une probabilité.
C’est à dire : à chaque issue PAfait correspondre un réel de [0; 1] et la somme des probabilités de chaque issue vaut 1.
3) Règles d’utilisation d’un arbre pondéré :
. La somme des probabilité inscrites sur les branches issues d’un même noeud vaut 1.
. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
. La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.
. Les probabilités portées par les branches de niveau supérieur à 1, sont des probabilités conditionnelles.
Exemple : Passer en couleur sur l’arbre ci-contre
en rouge P(A) + P(B) + P(C) = 1,
en bleu P(A∩D) = P(A)×PA(D),
en vert P(A∩Dou B∩E) = P(A)×PA(D)+P(B)×PB(E)
A
P(A)
D
PA(D)Aet D, A ∩D
événement
D
PA(D)Aet D, A ∩D
événement
B
P(B)E
PB(E)........................
événement
E
PB(E)........................
événement
C
P(C)
Application 1 : Deux urnes contiennent chacune deux boules noires et 3 boules rouges. On tire au hasard une boule de
l’urne U1, on note sa couleur et on la place dans l’urne U2. On tire ensuite une boule dans l’urne U2.
On note N1et N2les événements "la boule tirée dans l’urne U1est noire" et "la boule tirée dans l’urne U2est noire".
a) Représenter la situation par un arbre de probabilités.
b) Calculer la probabilité que les deux boules soient noires.
Application 2 : Pour fabriquer un objet, un artisan constitue un stock important d’un certain type de pièces auprès de
trois fournisseurs f,get h. La moitié des pièces du stock provient de f, 30% provient de gle reste provient de h.
La proportion de pièces défectueuses est de 1% chez f, de 2% chez get de 5% chez h.
On prélève au hasard une pièce dans le stock. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
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3. Événements Indépendants : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers et Pune probabilité définie sur Ω.
1) Définition événements incompatibles :
On rappelle que deux événements Aet Bsont incompatibles s’ils ne peuvent se produire simultanément, en même temps.
Dans ce cas A∩B=∅et P(A∩B) = 0.
Exemple : On lance un dé cubique équilibré, on note le numéro de la face supérieure.
Al’événement obtenir un nombre pair et Bl’événement obtenir 1 ou 3 sont incompatibles.
2) Définition événements indépendants :
Deux événements Aet B, sont indépendants si le fait de savoir Aréalisé ne modifie pas la probabilité d’obtenir B.
Deux événements Aet Bde probabilité non nulle, sont indépendants si
PA(B) = P(B) ce qui équivaut à PB(A) = P(A) soit encore P(A∩B) = P(A)×P(B).
Exemple : De l’exemple précédent les événements Aet Bne sont pas indépendants.
En effet probabilité d’obtenir 3 ou 5 sachant qu’on a obtenu un nombre pair est nulle, PA(B) = 0.
Pourtant P(B) = 2
6=1 3.
Prouver les équivalences P(A∩B) = P(A)×P(B)⇔PA(B) = P(B)⇔PB(A) = P(A).
Application 1 : Dans une population, un individu est atteint par la maladie m1avec la probabilité 0,05
et par la maladie m2avec la probabilité 0,14. On choisit au hasard un individu dans cette population.
On admet que les événements M1"l’individu a la maladie m1" et M2"l’individu a la maladie m2" sont indépendants.
a) Quelle est la probabilité de l’événement E"l’individu a contracté au moins une de ces deux maladies" ?
b) Présenter dans un tableau les probabilités des événements M1∩M2,M1∩M2,M1∩M2et M1∩M2.
c) Déterminer la probabilité de l’événement F"l’individu présente une seule de ces deux maladies".
3) ROC. Propriété : Lorsque Aet Bsont indépendants ALORS Aet Ble sont aussi
Preuve : Soit Aet Bindépendants, c’est à dire P(A∩B) = P(A)×P(B),
D’autre part PB(A) = P(A∩B)
P(B)=P(B)−P(A∩B) P(B), on remarque P(B) = P(A∩B) + P(A∩B).
Lorsque Aet Bindépendants PB(A) = P(B)−P(A)×P(B)
P(B)= 1 −P(A) = P(A), c’est à dire Aet Bindépendants.
Application 2 : On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant six jetons, trois sont rouge, numérotés 1 ; 2 et 3,
deux sont bleus numérotés 1 et 2, et un seul est vert numéroté 1.
On considère les évenements R"le jeton est rouge", U"le numéro est 1" et D"le numéro est 2".
Les événements Ret Usont-ils indépendants ? et Ret D? et Ret D?
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4. Partition de l’univers : Revenons à la remarque P(B) = P(A∩B) + P(A∩B) et généralisons.
1) Définition : Soit Ω un ensemble et E1,E2···Endes parties de Ω. On dit que E1,E2···Enest une partition de Ωsi ces
parties sont deux à deux disjointes et leur union vaut Ω.
2) Propriété : À savoir mettre en oeuvre, Formule des probabilités Totales
Soit E1,E2···Enune partition de Ω pour laquelle aucun des événements Ein’a une probabilité nulle et Aun événement,
ALORS
événement A= (A∩E1)∪(A∩E2)· · · ∪ (A∩En)
probabilité OU et Somme P(A) = P(A∩E1) + (A∩E2) + ···+P(A∩En)
probabilité conditionnelle P(A) = PE1(A)×P(E1) + PE2(A)×P(E2) + ···+PEn(A)×P(En)
3) Remarque P(B) = P(A∩B) + P(A∩B), Aet Aforment une partition de Ω.
Application :
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.
40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;
25% des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation "pur jus"
20% des bouteilles de jus de fruit vendues possèdent l’appellation "pur jus".
Partie A :
1) Déterminer la proportion des bouteilles "pur jus" parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange.
2) Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus". Calculer la probabilité que ce soit
du jus d’orange.
Partie B : Afin d’avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot
de quatre bouteilles de jus de fruits vendues.
On rappelle que 20% des bouteilles de jus de fruit vendues possèdent l’appellation "pur jus".
On admet que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces
quatre bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.
Déterminer la probabilité pour qu’au moins trois bouteilles de cet échantillon de bouteilles soient "pur jus". On arrondira
le résultat au millième.
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