TS 2016 Cours Ch8. Probabilité Conditionnelle 1. Un exemple de

TS 2016
Cours
Ch8. Probabilité Conditionnelle
1. Un exemple de construction d’arbre pondéré :
On étudie une certaine allergie et son lien éventuel avec un antécédent familial (parent ou grand parent souffrant de la même
allergie).
On prélève au hasard une personne dans la population étudiée.
On note A l’événement "la personne est allergique" et F l’événement "la personne présente un antécédent familial".
On suppose que P (A) = 0, 1, que parmi les personnes allergiques, 70% ont un antécédent familial et que parmi les personnes
non allergiques, seulement 2% ont un antécédent familial allergique.
On s’intéresse à la probabilité P (F ) qu’un individu ait un antécédent familial, et à la probabilité PF (A) qu’un individu soit
allergique, sachant qu’il a un antécédent familial.
...
...
...
b
b
...
...
1) Illustrer la situation par un arbre pondéré.
arbre
2) En déduire P (F ).
b
3) Cet arbre permet-il le calcul de PF (A) ?
...
4) Pour le calcul de PF (A) il faudrait connaître l’arbre dit "inversé"
ci-contre.
De cet arbre "inversé", donner l’expression de P (F ∩A) en fonction
de P (F ) et PF (A).
En déduire alors PF (A).
5) De même calculer P (A ∩ F ) puis PF (A).
PF (A)
≈ 24.
Vérifier
PF (A)
On peut interpréter ce résultat en disant que le risque d’allergie
est 24 fois plus important lorsqu’on a des antécédents familiaux
que lorsqu’on en a pas.
...
b
...
...
b
...
b
...
b
...
b
A
b
A
b
A
b
A
F
b
arbre "inversé"
b
F
b
1/ 4
TS 2016
Cours
Ch8. Probabilité Conditionnelle
2. Probabilité Conditionnelle :
1) Définition : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers, et p la probabilité définie sur cet univers.
On note A un événement de probabilité non nulle, alors pour tout événement B on note PA (B)
la probabilité de B sachant A définie par PA (B) =
P (A ∩ B)
soit P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
P (A)
2) Propriété : L’application PA définie ci-dessus qui à tout événement B fait correspondre PA (B) est une probabilité.
C’est à dire : à chaque issue PA fait correspondre un réel de [0; 1] et la somme des probabilités de chaque issue vaut 1.
3) Règles d’utilisation d’un arbre pondéré :
.
.
.
.
La somme des probabilité inscrites sur les branches issues d’un même noeud vaut 1.
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.
Les probabilités portées par les branches de niveau supérieur à 1, sont des probabilités conditionnelles.
PA (D)
D événement
b
A et D, A ∩ D
b
A
b
Exemple : Passer en couleur sur l’arbre ci-contre
P (A)
D événement
en bleu P (A ∩ D) = P (A) × PA (D),
b
P (B)
en vert P (A∩D ou B∩E) = P (A)×PA (D)+P (B)×PB (E)
PB (E)
A et D, A ∩ D
b
b
PA (D)
en rouge P (A) + P (B) + P (C) = 1,
E événement
b
b
........................
B
b
E événement
P (C)
b
C PB (E)
b
b
........................
Application 1 : Deux urnes contiennent chacune deux boules noires et 3 boules rouges. On tire au hasard une boule de
l’urne U1 , on note sa couleur et on la place dans l’urne U2 . On tire ensuite une boule dans l’urne U2 .
On note N1 et N2 les événements "la boule tirée dans l’urne U1 est noire" et "la boule tirée dans l’urne U2 est noire".
a) Représenter la situation par un arbre de probabilités.
b) Calculer la probabilité que les deux boules soient noires.
Application 2 : Pour fabriquer un objet, un artisan constitue un stock important d’un certain type de pièces auprès de
trois fournisseurs f , g et h. La moitié des pièces du stock provient de f , 30% provient de g le reste provient de h.
La proportion de pièces défectueuses est de 1% chez f , de 2% chez g et de 5% chez h.
On prélève au hasard une pièce dans le stock. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
2/ 4
TS 2016
Cours
Ch8. Probabilité Conditionnelle
3. Événements Indépendants : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers et P une probabilité définie sur Ω.
1) Définition événements incompatibles :
On rappelle que deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se produire simultanément, en même temps.
Dans ce cas A ∩ B = ∅ et P (A ∩ B) = 0.
Exemple : On lance un dé cubique équilibré, on note le numéro de la face supérieure.
A l’événement obtenir un nombre pair et B l’événement obtenir 1 ou 3 sont incompatibles.
2) Définition événements indépendants :
Deux événements A et B, sont indépendants si le fait de savoir A réalisé ne modifie pas la probabilité d’obtenir B.
Deux événements A et B de probabilité non nulle, sont indépendants si
PA (B) = P (B) ce qui équivaut à PB (A) = P (A) soit encore P (A ∩ B) = P (A) × P (B).
Exemple : De l’exemple précédent les événements A et B ne sont pas indépendants.
En effet probabilité d’obtenir 3 ou 5 sachant qu’on a obtenu un nombre pair est nulle, PA (B) = 0.
1
2
Pourtant P (B) = = .
6
3
Prouver les équivalences P (A ∩ B) = P (A) × P (B) ⇔ PA (B) = P (B) ⇔ PB (A) = P (A).
Application 1 : Dans une population, un individu est atteint par la maladie m1 avec la probabilité 0,05
et par la maladie m2 avec la probabilité 0,14. On choisit au hasard un individu dans cette population.
On admet que les événements M1 "l’individu a la maladie m1 " et M2 "l’individu a la maladie m2 " sont indépendants.
a) Quelle est la probabilité de l’événement E "l’individu a contracté au moins une de ces deux maladies" ?
b) Présenter dans un tableau les probabilités des événements M1 ∩ M2 , M1 ∩ M2 , M1 ∩ M2 et M1 ∩ M2 .
c) Déterminer la probabilité de l’événement F "l’individu présente une seule de ces deux maladies".
3) ROC. Propriété :
Lorsque A et B sont indépendants ALORS A et B le sont aussi
Preuve : Soit A et B indépendants, c’est à dire P (A ∩ B) = P (A) × P (B),
P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
=
, on remarque P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B).
D’autre part PB (A) =
P (B)
P (B)
P (B) − P (A) × P (B)
= 1 − P (A) = P (A), c’est à dire A et B indépendants.
Lorsque A et B indépendants PB (A) =
P (B)
Application 2 : On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant six jetons, trois sont rouge, numérotés 1 ; 2 et 3,
deux sont bleus numérotés 1 et 2, et un seul est vert numéroté 1.
On considère les évenements R "le jeton est rouge", U "le numéro est 1" et D "le numéro est 2".
Les événements R et U sont-ils indépendants ? et R et D ? et R et D ?
3/ 4
TS 2016
Cours
Ch8. Probabilité Conditionnelle
4. Partition de l’univers : Revenons à la remarque P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) et généralisons.
1) Définition : Soit Ω un ensemble et E1 , E2 · · · En des parties de Ω. On dit que E1 , E2 · · · En est une partition de Ω si ces
parties sont deux à deux disjointes et leur union vaut Ω.
2) Propriété : À savoir mettre en oeuvre, Formule des probabilités Totales
Soit E1 , E2 · · · En une partition de Ω pour laquelle aucun des événements Ei n’a une probabilité nulle et A un événement,
ALORS
événement A = (A ∩ E1 ) ∪ (A ∩ E2 ) · · · ∪ (A ∩ En )
probabilité OU et Somme P (A) = P (A ∩ E1 ) + (A ∩ E2 ) + · · · + P (A ∩ En )
probabilité conditionnelle P (A) = PE1 (A) × P (E1 ) + PE2 (A) × P (E2 ) + · · · + PEn (A) × P (En )
3) Remarque P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B), A et A forment une partition de Ω.
Application :
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.
40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;
25% des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation "pur jus"
20% des bouteilles de jus de fruit vendues possèdent l’appellation "pur jus".
Partie A :
1) Déterminer la proportion des bouteilles "pur jus" parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange.
2) Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus". Calculer la probabilité que ce soit
du jus d’orange.
Partie B : Afin d’avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot
de quatre bouteilles de jus de fruits vendues.
On rappelle que 20% des bouteilles de jus de fruit vendues possèdent l’appellation "pur jus".
On admet que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces
quatre bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.
Déterminer la probabilité pour qu’au moins trois bouteilles de cet échantillon de bouteilles soient "pur jus". On arrondira
le résultat au millième.
4/ 4