Feuille 1 - Énoncés Groupes Anneaux Arithmétique des entiers

Université Pierre et Marie Curie Année 2015-2016
Master de Mathématiques 4M067 Cryptologie Algébrique
L. Zapponi D. Bernardi
Feuille 1 - Énoncés
Certains des exercices énoncés dans le cours sont repris dans ces feuilles. La
référence est alors indiquée entre parenthèses après le numéro de l’exercice. Les
exercices marqués d’une astérisque (*) sont plus difficiles.
Groupes
Exercice 1 (1.1) Montrer que dans un groupe, l’élément neutre est unique et
que tout élément possède un seul inverse.
Exercice 2 (1.2) Montrer qu’un groupe est un ensemble Gmuni d’une loi de
composition interne associative telle qu’il existe un élément neutre à gauche (i.e.
un élément e2Gtel que e.x =xpour tout x2G)etquetoutélémentpossède
un inverse à gauche (i.e. pour tout x2G,ilexistey2Gtel que y.x =e).
Anneaux
Exercice 3 Énumérer, à isomorphisme près, tous les anneaux de cardinal au
plus 4. Indication : il y en a 7.
Exercice 4 (1.20) Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents d’un an-
neau (commutatif) Aforme un idéal, appelé nilradical de A.
Exercice 5 (2.3) Montrer que si un idéal premier d’un anneau contient l’in-
tersection d’une famille finie non vide d’idéaux, il contient l’un d’entre eux.
Exercice 6 (2.4) Montrer que K[X]est intègre.
Exercice 7 (2.5) Montrer qu’un polynôme non nul f2K[X]est inversible si
et seulement si il est de degré 0, ce qui se traduit par l’égalité K[X]⇥=K⇥.
Arithmétique des entiers
Exercice 8 Supposons qu’il existe un diviseur positif d de a et b tel que d=
ax +by avec x, y 2Z.Montrerqued= pgcd(a, b).
Exercice 9 On considère la suite de Fibonacci définie par F0=0,F
1=1et
Fn+2 =Fn+1 +Fnpour tout n0.
a) (2.7) Montrer que pour tout n,ona
Fn=↵nn
↵
où ↵=1+p5
2⇡1.618 et =1p5 2⇡0.618 sont les racines du polynôme
X2X1.
1

b) On définit la suite de vecteurs (Vn)n2Npar Vn=✓Fn+1
Fn◆.Montrerquepour
tout n1,onaVn+1 =AVnoù Aest une matrice 2⇥2que l’on explicitera.
c) Montrer que l’on a An=✓Fn+1 Fn
FnFn1◆.
d) En déduire que pour tout n2,onaFn+1Fn1F2
n=(1)n.
e) Montrer que pour tout n0et tout m1,onaFn+m=Fn+1Fm+FnFm1.
En déduire que pour tout n0,onaF2n1=F2
n+F2
n1,F2n=F2 n+1 F2 n1
et F3n=F3
n+1 +F3
nF3
n1.
f) Montrer que Fnet Fn+1 sont premiers entre eux pour tout n.
g) Plus généralement, montrer que pgcd(Fa,F
b)=Fpgcd(a,b).
h) Décrire un algorithme pour calculer Fm(mod N)en temps polynomial (en
log(m)et log(N)) (Cette question nécessite l’étude de l’arithmétique modulaire
et de l’exponentiation rapide).
Algorithme d’Euclide
Exercice 10 Soient aet bdeux entiers naturels. On définit une suite unpar
la récurrence u0=a,u1=bet un=|un1un2|pour n>1.Montrerquela
suite vn= sup(un,u
n+1)converge vers d= pgcd(a, b).
Exercice 11 Le but de cet exercice est de présenter une modification de l’al-
gorithme d’Euclide étendu, qui converge un peu plus vite.
Soient aet b6=0deux entiers. Montrer qu’il existe un entier qet un entier r
avec |r||b|
2tels que a=bq +r.
l’algorithme se déroule comme l’algorithme classique, en remplaçant la division
euclidienne par la version modifiée ci-dessus : étant donnés deux entiers aet
b6=0,ondéfinitlessuitesrn,q
n,u net vnde la manière suivante :
8
>
<
>
:
r0=a,
r1=b,
ri1=qiri+ri+1.
8
>
<
>
:
u0=1,
u1=0,
ui+1 =ui1uiqi.
8
>
<
>
:
v0=0,
v1=1,
vi+1 =vi1viqi.
a) Montrer qu’il existe un plus petit entier ntel que rn+1 =0et que dans ce
cas, on a |rn|= pgcd(a, b)=|aun+bvn|.
b) Montrer que l’on a nlog2(b)+1.
c) Calculer le pgcd des entiers a= 5159 et b= 2010 en utilisant d’abord l’algo-
rithme d’Euclide classique, puis l’algorithme modifié.
Arithmétique modulaire
Exercice 12 Soit p>2un nombre premier.
a) Montrer que si p⌘3 (mod 4),lacongruencex2⌘1(modp)n’a pas de
solution.
On suppose désormais p⌘1 (mod 4).
2

b) Montrer qu’il existe a2(Z/pZ)⇥tel que a(p1)/26=1.Endéduirequ’ilexiste
b2(Z/pZ)⇥tel que b2=1.
c) Montrer que l’on peut trouver xet yentiers naturels tels que x2+y2=mp,
avec m<p/2.
d) Supposons que m>1et posons x0⌘x(mod m)et y0⌘y(mod m),avec
|x0|m/2et |y0|m/2.Montrerque
X=xx0+yy0
met Y=xy0yx0 m
sont des entiers et que l’on a X2+Y2=pm0,avecm0m/2.
e) En déduire qu’il existe deux entiers naturels aet btels que a2+b2=p.
Exercice 13 (*)
a) Montrer que le seul entier positif npour lequel ndivise 2n1est n=1.
b) Soient a>2et k1deux entiers. Montrer que l’ensemble des entiers nqui
sont le produit d’exactement knombres premiers (comptés avec multiplicité) et
pour lesquels ndivise an1est fini et non vide.
Exercice 14 Soient n>0et k>1des entiers. Montrer qu’il existe nentiers
consécutifs qui sont tous divisibles par des puissances k-ièmes (d’entiers). Traiter
explicitement le cas n=5et k=2.
Exercice 15
a) On a 8906252= 793212890625,unentierdontl’écrituredécimalesetermine
par 890625.Demême1093762= 11963109376.Montrerquepourchaquenil
existe exactement 4 entiers qui s’écrivent avec au plus nchiffres et qui sont
congrus à leur carré modulo 10n.Trouverunmoyendecalculerces4entiers.
b) Soit n>1un entier. Déterminer le nombre de solutions x2Z/nZde l’équa-
tion x2=1.
Exercice 16 Soient a, b, u, v des entiers tels que au +bv =1.
a) Déterminer deux entiers xet ytels que a2x+b2y=1.
b) Déterminer deux entiers zet ttels que (a+b)z+abt =1.
c) (*) Soient a, b, c, u, v, w des entiers tels que au +bv +cw =1.Montrerquesi
b6=0,ilexistek, U, V 2Ztels que (a+kc)U+bV =1.Attention,ilyaun
piège : on ne demande pas de déterminer k, U, V ,etBézoutestunleurre...
Exercice 17 Montrer que (Z/nZ)⇥est cyclique si et seulement si n2{1,2,4}
ou bien il existe un nombre premier p>2et un nombre entier ↵>0tels que
n=p↵ou n=2p↵.
Nombres premiers
Exercice 18 Montrer qu’il n’existe pas de polynômes f, g 2C[X]tels que
⇡(n)=f(n)
g(n)
pour tout entier positif n.
3

Exercice 19 Montrer qu’il n’existe pas de polynôme f2Z[X]non constant
tel que f(n)est premier pour tout entier positif n.
Exercice 20 Soit f2Z[X]un polynôme non constant. Montrer qu’il existe
une infinité de nombres premiers ptels que fpossède une racine modulo p.
Exercice 21 Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers p⌘3 (mod 4).
Exercice 22
a) Soient a1,...,a
ndes entiers non nuls tels qu’il existe un nombre premier qui
divise un seul d’entre eux. Montrer que la somme
1
a1
+1
a2
+···+1
an
n’est pas un entier.
b) Montrer que pour tout nombre entier n,lasomme
1+1
2+1 3+···+1 n
n’est pas un entier.
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Université Pierre et Marie Curie Année 2015-2016
Master de Mathématiques 4M067 Cryptologie Algébrique
L. Zapponi D. Bernardi
Feuille 1 - Solutions
Groupes
Solution 1 Si eet e0sont deux éléments neutres, ils sont égaux puisque
e=e.e0=e0.
De même, si yet y0sont deux inverses de x,onvoitqu’ilsontégauxgrâceaux
égalités
y=y.e =y.(x.y0)=(y.x).y0=e.y0=y0.
Solution 2 Il est clair qu’un groupe possède ces propriétés. Réciproquement,
supposons que Gpossède ces propriétés, Soit xun élément de G. Il a un inverse
àgauchequenousnoteronsyet yauninverseàgauchequenousnoteronsz.
On a
xy =e(xy)=(zy)(xy)=z(yx)y=z(ey)=zy =e
et
xe =x(yx)=(xy)x=ex =x.
La deuxième égalité montre que eest élément neutre à droite, et la première
que yest inverse à droite de x,doncGest bien un groupe.
Anneaux
Solution 3 Soit n4l’ordre d’un anneau Aet p|nl’ordre de 1dans le groupe
additif (A, +).Sip=n,legroupe(A, +) est cyclique, isomorphe à Z/nZ.Mais
l’anneau Alui-même est forcément isomorphe à Z/nZpuisque le produit de
k.1Apar l.1Aest kl.1A. Ceci nous donne les 4 anneaux Z/nZpour 1n4.
Restent les cas où n=4et p=2.OnpeutécrireA={0,1,x,y},etona
1+1=x+x=y+y=0,x+1=y,y+1=xet x+y=1, ce qui complète la
table d’addition de A.
Il reste à déterminer la table de multiplication. On pose a=x2,etl’ona
forcément xy =x(x+ 1) = a+x=yx et y2=a+1.Sil’anneauexiste,ilest
donc déterminé par la valeur de a.
Les cas a=0et a=1donnent le même anneau isomorphe à l’anneau quo-
tient F2[X]/(X2),l’isomorphismeétantinduitparX7! xet X7! yrespective-
ment. Le cas a=xdonne un anneau isomorphe à (Z/2Z)2,parx7! (1,0).Enfin,
le cas a=ydonne un corps, que l’on note F4,isomorpheàF2[X]/(X2+X+ 1)
par X7! x.Pourvérifierquecestroisderniersanneauxnesontpasisomorphes,
on peut par exemple compter leurs éléments inversibles, au nombre de 2, 1 et 3
respectivement.
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