Particules chargées dans un champ

Exercices du chapitre M 4
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Particules chargées
dans un champ électromagnétique stationnaire
Exercice 1 : Force de Lorentz
[♦♦]
Tracer sur les schémas ci-dessous le vecteur force de Lorentz en décomposant ses composantes électrique et
magnétique. On suppose que les particules ont toutes une charge positive.
On rappelle qu’un vecteur noté est de direction perpendiculaire au plan de la feuille et orienté de la feuille
vers vous (il « sort » de la feuille), alors qu’un vecteur noté ⊗ est lui aussi de direction perpendiculaire au plan de la
feuille mais orienté de la feuille vers le sol (il « s’enfonce » dans la feuille).
#”
E
(a)
(b)
(c)
(d)
#”
v
#”
B
#”
v
#”⊗
E
#”
E
#”
v
#”
B
#”
B
#”
B⊗
#”
E
Exercice 2 : Analyse de mouvements
#”
v
[extrait écrit ATS, ♦♦]
#”
On considère un point matériel de charge q et de masse m, de vitesse initiale V 0 à l’entrée d’une zone où règnent
#”
#”
un champ électrique E ou un champ magnétique B. On suppose ces champs uniformes et indépendants du temps,
et on néglige toute autre force que celles provoquées par ces champs.
1 - La particule décrit une droite et possède une accélération constante a.
1.a - Déterminer la direction et la norme du ou des champs qui provoquent cette trajectoire.
1.b - Déterminer la position du point matériel en fonction du temps.
2 - La particule décrit une trajectoire circulaire de rayon R0 dans un plan (xOy).
2.a - Déterminer la direction et la norme du ou des champs qui provoquent cette trajectoire.
2.b - Déterminer l’équation de la trajectoire et la relation entre la norme du champ, V0 et R0 . Il est suggéré d’utiliser
les coordonnées polaires.
Exercice 3 : Oscilloscope analogique
y⊗
z
Dans une époque pas si reculée où la touche autoscale n’existait pas, les
oscilloscopes analogiques exploitaient la déviation d’un faisceau d’électron sous
l’effet d’une tension à imager sur un écran. Cet exercice propose de comprendre
le principe de fonctionnement de ces anciens oscilloscopes.
écran
fluorescent
x
P1
O
z
P2
D
L
X
[adapté écrit banque PT 2000, ♦]
Dans tout l’exercice, on se place dans un référentiel galiléen associé à un repère
ux , #”
uy , #”
uz ). Une zone de champ électrique uniforme est établie entre deux
(O, #”
plaques P1 et P2 , le champ est supposé nul en dehors de cette zone et les effets
de bord sont négligés. La distance entre les plaques est notée d, la longueur des
plaques D et la différence de potentiel U = V (P2 )−V (P1 ) est supposée positive.
Des électrons de charge q = −e et de masse m accélérés au préalable pénètrent
en O la zone où existe le champ avec une vitesse #”
v 0 = v0 #”
uz selon l’axe Oz.
1 - Établir l’expression de la force subie par les électrons en fonction de U , q et d.
2 - Établir l’équation de la trajectoire x = f (z) de l’électron dans la zone du champ en fonction de d, U et v0 .
3 - Déterminer les coordonnées du point de sortie K de la zone de champ et les composantes de la vitesse en ce point.
4 - Montrer que dans la zone entre les plaques chargées et l’écran fluorescent le mouvement est rectiligne uniforme.
5 - On note L la distance entre la sortie de la zone de champ et l’écran fluorescent. Déterminer l’abscisse XI du
point d’impact I de l’électron sur l’écran en fonction de U , v0 , D, d et L.
6 - Question complémentaire : en déduire le principe de fonctionnement d’un oscilloscope analogique. À quelle
condition est-il raisonnable de supposer U constante ? Proposer une solution permettant d’obtenir un chronogramme
sur l’écran et pas seulement un point.
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Étienne Thibierge, 8 février 2016, www.etienne-thibierge.fr
Exercices du chapitre M 4 : Particules chargées dans un champ électromagnétique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Exercice 4 : Sélecteur de vitesse
[♦♦]
Une particule de masse m et charge q pénètre avec une vitesse #”
v 0 = v0 #”
ux dans une zone où existent un champ
#”
#”
#”
#”
électrique E = E0 uy et un champ magnétique B = B0 uz uniformes et stationnaire.
1 - À quelle condition le vecteur vitesse de la particule reste-t-il inchangé ?
2 - Expliquer pourquoi ce dispositif peut servir de sélecteur de vitesse.
Exercice 5 : Cyclotron
[inspiré CCP PC 2014, ♦]
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques D1 et D2 , appelées « dees » en anglais, séparées d’une
zone étroite d’épaisseur a. Les dees sont situés dans l’entrefer d’un électroaimant qui fournit un champ magnétique
#”
uniforme B = B #”
e z , de norme B = 1,5 T. Une tension harmonique u est appliquée entre les deux extrémités de la
bande intermédiaire, si bien qu’il y règne un champ électrique orienté selon #”
ex.
On injecte des protons au sein de la zone intermédiaire avec une vitesse initiale négligeable.
Données : masse d’un proton m = 1,7 · 10−27 kg.
x
y
z
#”
B
D1
a
D2
Fig. 1 – Étude d’un cyclotron. Schéma de principe et photo du cyclotron de l’université de Rutgers, qui mesure une
trentaine de centimètres de diamètre.
1 - Montrer qu’à l’intérieur d’un dee la norme de la vitesse des protons est constante.
2 - En déduire le rayon de courbure R de la trajectoire des protons ayant une vitesse v ainsi que le temps que passe
un proton dans un dee.
3 - Quelle doit être la fréquence f de la tension pour que le proton soit accéléré de façon optimale à chaque passage
entre les dee ? Pour simplifier, on pourra supposer a R. Justifier le choix d’une tension harmonique au lieu, par
exemple, d’une tension créneau.
4 - La tension u a pour amplitude Um = 200 kV.
4.a - Déterminer en fonction de n le rapport des rayons Rn et Rn+1 de deux demi-cercles consécutifs. Le demicercle n = 1 est celui qui suit la première phase d’accélération.
4.b - Calculer le rayon de la trajectoire après un tour (donc un passage dans chaque dee), puis après dix tours.
5 - Le rayon de la dernière trajectoire décrite par les protons accélérés avant de bombarder une cible est RN = 35 cm.
5.a - Déterminer l’énergie cinétique du proton avant le choc contre la cible proche du cyclotron.
5.b - Déterminer le nombre de tours parcourus par le proton.
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Étienne Thibierge, 8 février 2016, www.etienne-thibierge.fr