Chapitre 18

Séries de Fourier
B. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
20 janvier 2003
Table des matières
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1 Séries de Fourier — Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Séries de Fourier — Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 Développement d’une fonction en série de Fourier . . . . . . . . . . .
18.4.1 Développement en série de Fourier — Définition . . . . . . . .
18.4.2 Développement en série de Fourier — Théorème fondamental .
18.4.3 Développement en série de Fourier — Exemples . . . . . . . .
18.4.4 Développement en série de Fourier — Interprétation physique
18.5 Série de Fourier sous forme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6 Séries de Fourier — Formule de Perseval . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6.1 Formule de Perseval — Théorème . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6.2 Formule de Perseval — Interprétation physique . . . . . . . . .
.1
Analyse harmonique numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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2
2
2
2
2
3
3
5
6
7
8
9
9
9
9
18.1
Introduction
Les sciences fournissent beaucoup d’exemples de phénomènes périodiques. Ces phénomènes se traduisent
par des fonctions f (t) périodiques (de période T ). Les fonctions les plus remarquables sont les fonctions
trigonométriques ou circulaires (T = 2π ) : cos nx , sin nx , ejnx (n ∈ Z). Considérons ces fonctions comme
élémentaires (harmoniques fondamentales). Le problème est de décomposer une fonction périodique quelconque en série de telles fonctions.
18.2
Séries de Fourier
18.2.1
Séries de Fourier — Définition
Définition 1 On appelle série de de Fourier, toute série de la forme :
∞
P
(an cos nωx + bn sin nωx) = a0 + a1 cos ωx + b1 sin ωx + · · · + an cos nωx + bn sin nωx + · · ·
n=0
Remarque 1 Le terme générale de la série de Fourier un (x) = an cos nωx+bn sin nωx est périodique de période
2π
T =
.
nω
2π
Si la série converge vers s(x). La fonction s(x) est périodique de période T =
.
ω
18.2.2
Séries de Fourier — Convergence
Notons que pour tout x ∈ R, on a la majoration :
|an cos nωx + bn sin nωx| ≤ |an | + |bn |
et on déduit alors le résultat suivant.
Proposition 1 Si les séries numériques
∞
P
n=0
|an | et
∞
P
n=0
|bn | convergent alors la série de Fourier
∞
P
(an cos nωx+
n=0
bn sin nωx) est absolument convergente pour tout x ∈ R et la fonction somme est continue sur R.
Exemple 1 Soit la série
∞
P
n=1
cos nωx
.
n2
Donc an =
1
n2
et bn = 0. On a alors
¯
¯
¯ cos(nωx) ¯
¯≤ 1
|an cos(nωx) + bn sin(nωx)| = ¯¯
¯ n2
2
n
Or Σ n12 est une série de Reimann qui est convergente car α = 2 > 1.
Conclusion 1 La série de Fourier
∞
P
n=1
cos nωx
n2
est absolument convergente sur R.
On admettra la proposition suivant.
Proposition 2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont positives est décroissantes vers 0, alors la série de
∞
P
2kπ
(an cos nωx + bn sin nωx) est convergente pour tout x 6=
Fourier
(k ∈ Z).
ω
n=0
18.3
Coefficients de Fourier
Soit la série de Fourier
∞
P
(an cos nωx + bn sin nωx)
n=0
Supposons que cette série converge et que sa somme est s(x) :
s(x) = a0 + a1 cos ωx + b1 sin ωx + · · · + an cos nωx + bn sin nωx + · · ·
Problème : Quelle est la relation entre a0 , an , bn d’un côté et s(x) de l’autre côté ?
2
Coefficients de Fourier — Calcul de a0
Supposons que la série est intégrable terme à terme sur tout intervalle ∆ = [α, α + T ], on aura :
Z
α+T
s(x)dx =
α
Z
α+T
a0 dx +
n=0
α
=
Z
α+T
a0 dx +
Z
2π
T ,
Z
α+T
(an cos nωx + bn sin nωx)dx
α
"
an
Z
α+T
cos(nωx)dx + bn
α
Z
α+T
#
sin(nωx)dx
α
on a
α+T
cos(nωx)dx =
α
=
=
Z
∞
P
n=0
α
Sachant que ω =
∞
P
¸α+T
¸
·
1
2π
2π
1
2π
sin(n x)
=
sin(n (α + T )) − sin(n α)
n
T
n
T
T
α
·
¸
1
2π
2π
sin(n α + 2nπ) − sin(n α)
n
T
T
·
¸
1
2π
2π
sin(n α) − sin(n α) = 0
n
T
T
·
·
¸α+T
·
¸
1
1
2π
2π
2π
− cos(n x)
=−
cos(n (α + T )) − cos(n α)
n
T
n
T
T
α
·
¸
1
2π
2π
= −
cos(n α + 2nπ) − cos(n α)
n
T
T
·
¸
1
2π
2π
= −
cos(n α) − cos(n α) = 0
n
T
T
α+T
sin(nωx)dx =
α
d’où
1
a0 =
T
Z
α+T
s(x)dx
α
Coefficients de Fourier — Calcul de an et bn
On montre que (voir TD)
an =
2
T
Z
α+T
s(x) cos(nωx)dx
et
α
bn =
2
T
Z
α+T
s(x) sin(nωx)dx
α
Conclusion 2 Si s(x) = a0 + a1 cos ωx + b1 sin ωx + · · · + an cos nωx + bn sin nωx + · · · , alors
1
a0 =
T
Z
α+T
s(x)dx
α
Z
2 α+T
an =
s(x) cos(nωx)dx
T Zα
α+T
2
bn =
s(x) sin(nωx)dx
T α
et si la fonction s(x) est de période T = 2π et donc ω = 1 alors
Z π
Z
1
1 π
a0 =
s(x)dx
an =
s(x) cos(nx)dx
2π −π
π Z −π
π
1
bn =
s(x) sin(nx)dx
π −π
n = 1, 2, · · ·
n = 1, 2, · · ·
n = 1, 2, · · ·
n = 1, 2, · · ·
18.4
Développement d’une fonction en série de Fourier
18.4.1
Développement en série de Fourier — Définition
Soit f une fonction périodique de période T , intégrable sur toute intervalle fermé de R.
3
Définition 2 On appelle série de Fourier associée à f , la série trigonométrique
a0 +
∞
P
(an cos nωx + bn sin nωx)
n=1
où les coefficients sont donnés par :
Z
1
a0 =
T
Z
2 α+T
an =
s(x) cos(nωx)dx
T Zα
α+T
2
bn =
s(x) sin(nωx)dx
T α
α+T
s(x)dx
α
n = 1, 2, · · ·
n = 1, 2, · · ·
Remarque 2 Importante
- Si la fonction f (x) est paire, on a :
a0 =
2
T
Z
T /2
4
T
bn = 0
s(x)dx
an =
0
Z
T /2
s(x) cos(nωx)dx
0
n = 1, 2, · · ·
n = 1, 2, · · ·
- Si la fonction f (x) est impaire, on a :
a0 = 0
an = 0
Z
4 T /2
bn =
s(x) sin(nωx)dx
T 0
n = 1, 2, · · ·
n = 1, 2, · · ·
Cette remarque est très utile dont la mesure où le nombre de coefficients à calculer est diviser par 2.
Exemple 2 Déterminer la série de Fourier associée à la fonction périodique (T = 2π) définie par :
f (x) = x
pour − π ≤ x ≤ π.
Solution 1 - Traçons le graphe de f
3
2
1
- 1 5
- 1 0
- 5
5
1 0
1 5
- 1
- 2
- 3
- Détermination de la série de Fourier associée à f.
∞
P
Soit a0 +
an cos nωx + bn sin nωx la série de Fourier associée à f . Comme f est impaire alors an = 0
n=1
pour tout n et les coefficients bn sont donnés par
bn =
4
T
Z
T /2
f (x) sin(nωx)dx =
0
2
π
Z
π
x sin(nx)dx
car T = 2π et donc ω = 1
0
Pour calculer bn on fait une intégration par parties en prenant u(x) = x et v 0 (x) = sin(nx) :
Z
Z
2 π
2
2 π 1
1
x sin(nx)dx = [−x cos(nx)]π0 −
− cos(nx)dx
bn =
π 0
π
n
π 0
n
Z π
1
2
2
cos(nx)dx
[−π cos(nπ) − 0] +
=
π
n
nπ 0
2
2 1
= − cos(nπ) +
[ sin(nx)]π0
n
nπ n
2
2 1
1
= − cos(nπ) +
[ sin(nπ) − sin(0)]
n
nπ n
n
4
Comme cos nπ = (−1)n ) et sin(nπ) = 0 on obtient
bn = (−1)n+1
2
n
d’où la série de Fourier associée à f :
a0 +
∞
P
sin nx
sin x sin 2x
−
+ · · · + (−1)n+1
+ ···)
1
2
n
∞ (−1)n+1
P
= 2
sin(nx)
n
n=1
an cos(nx) + bn sin(nx) = 2(
n=1
18.4.2
Développement en série de Fourier — Théorème fondamental
Problème 1 Etant donné une fonction périodique f , on se demande pour quelles conditions imposées à f on
aura :
a0 +
∞
P
n=1
(an cos nωx + bn sin nωx) = a0 + a1 cos ωx + b1 sin ωx + · · · + an cos nωx + bn sin nωx + · · · = f (x)?
La réponse à cette question est donnée par le théorème de Dirichlet suivant.
Théorème 1 (de Dirichlet)
2π
vérifiant :
ω
i) f est continue sur tout intervalle ∆ = [α, α + T ] sauf éventuellement en un nombre fini de points en
lesquels elle possède une limite à droite et une limite à gauche (f (x + 0) et f (x − 0) ;
ii) f est dérivable sur tout intervalle ∆ = [α, α + T ] sauf éventuellement en un nombre fini de points en
lesquels elle possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche ;
Alors, la série de Fourier associée à f est telle que :
∞
P
a0 +
(an cos nωx + bn sin nωx) = f (x) en tout point de continuité de f ;
Soit f une fonction périodique de période T =
a0 +
n=1
∞
P
(an cos nωx + bn sin nωx) =
n=1
f (x+0)+f (x−0)
2
en tout point de discontinuité de f .
Remarque 3 Si f est continue en tout point et satisfait les conditions du théorème de Dirichlet, alors
f (x) = a0 +
∞
P
n=1
(an cos nωx + bn sin nωx) pour tout x ∈ Df
Exemple 3 Soit f la fonction périodique (T = 2π) définie par :
f (x) = x
pour − π ≤ x ≤ π
la série de Fourier associée à f converge t-elle vers f ?
n+1
Solution 2 D’après l’exemple précédent, la série associée à f est 2( 11 sin x− 12 sin 2x+· · ·+ (−1)n
∞
P
(−1)n+1
2
sin(nx)
n
sin nx+· · · ) =
n=1
Verification des condition de Dirichlet :
La fonction est continue sur ]−π, π[ elle n’est pas continue en −π et en π avec
lim f (x) = −π et lim− f (x) =
x→−π +
x→π
π (nombre fini de point de discontinuité) ;
La fonction est dérivable sur ] − π, π[ elle n’est pas dérivable en −π et en π car f n’est pas continue en ces
points (nombre fini de point de non dérivabilité).
Ainsi, les conditions de Dirichlet sont vérifiées et donc
f (x) = 2
∞ (−1)n+1
P
sin(nx)
n
n=0
pour tout x ∈] − π, π[
Cette égalité a lieu partout sauf aux points de discontinuité. En de tels points, la somme de la série est égale à
la moyenne arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c’est-à-dire 0.
5
18.4.3
Développement en série de Fourier — Exemples
Exemple 4 On se donne une fonction périodique de période T = 2π définie comme suit :
½
0
pour − π < x ≤ 0
f (x) =
x
pour 0 < x ≤ π
Déterminons la série de Fourier associée à f .
Solution 3 - Graphe de la fonction
3
2 . 5
2
1 . 5
1
0 . 5
- 1 5
- 1 0
- 5
5
1 0
1 5
- Calculons les coefficients de Fourier :
Z
Z
Z
1 π
1 0
1 π
1 π2
π
a0 =
f (x)dx =
0dx +
xdx =
=
π −π
π −π
π 0
π 2
2
Pour le calcul de an , on utilise une intégration par partie :


Z
Z

1 π
1 1
1 π
π
an =
x cos nxdx = 
−
sin nxdx
[x
sin
nx]
0


π 0
π | n {z
} n 0
0
=
=
1
1 1
[ cos(nx)]π0 = 2 [cos(nπ) − 1]
nπ n
n π
1
[(−1)n − 1]
n2 π
De la même manière pour calculer les bn , on utilise une intégration par partie :
¸
·
Z
Z
1 π
1
1 π
1
bn =
x sin nxdx =
cos nxdx
[−x cos nx]π0 +
π 0
π
n
n 0
π
1 1
= −
cos(nx) +
[ sin nx]π
nπ
nπ |n {z 0}
0
=
1
(−1)n+1
n
Le développement en série de Fourier est
f (x) = a0 +
∞
X
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
=
π
2 cos x sin x
sin 2x
2 cos 3x sin 3x
+
+
+ (−
) + (0 −
) + (−
)
2
π 12
1
2
π 32
3
2 cos 5x sin 5x
sin 4x
+
) + (−
) + ...
+(0 −
4
π 52
5
Aux points de discontinuité de la fonction f (x) la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique
des limites de la fonction à gauche et à droite (dans le cas présent à π2 ).
Remarque 4 En posant dans l’égalité obtenue x = 0, on obtient
∞
P
1
π2
=
2
(2n
−
1)2
n=0
6
18.4.4
Développement en série de Fourier — Interprétation physique
Le théorème de Dirichlet montre que f est telle que
f (x) = a0 +
∞
P
(an cos nωx + bn sin nωx) en tout point de continuité de f
n=1
et donc f est décomposée en la somme :
d’un terme constant égale à la valeur moyenne de f sur une période,
T
T
d’une infinité de termes sinusoidaux de périodes T, , · · · , , · · ·
2
n
Le terme u1 (x) = a1 cos ωx + b1 sin ωx de période T est appelé fondamental.
T
Le terme un (x) = an cos nωx + bn sin nωx de période
est appelé l’harmonique de rang n. Ce dernier peut
n
s’écrire sous la forme :
un (x) = An cos(ω n x − ϕn ) avec An =
p
bn
a2n + b2n ; tan ϕn =
et ω n = nω
an
An est l’amplitude de l’harmonique, ω n aa pulsation et ϕn sa phase.
Définition 3 On appelle spectre d’amplitude de f le diagramme en bâtons obtenu en représentant An en fonction de ω n = nω.
De la même façon, on définit parfois le spectre de phase représentant ϕn en fonction de ω n = nω.
Remarque 5 Le spectre d’amplitude et le spectre de phase caractérisent sans ambiguité la fonction.
Exemple 5 Soit f la fonction de période 2π définie par

 −1
1
f (x) =

0
:
x ∈] − π, 0[
x ∈ [0, π[
x=π
a) Déterminer la série de Fourier associée à f ;
b) Montrer que cette série est convergente ;
c) Représenter son spectre d’amplitude.
Solution 4 a) Calcul des coefficients de Fourier.
Comme la fonction f est impaire les coefficients de Fourier an sont nuls : an = 0.
Z
2 π
2
2
2
bn =
sin nxdx =
[− cos nx]π0 =
[− cos nπ + cos 0] =
[(−)n+1 + 1]
π 0
nπ
nπ
nπ
ainsi,
½
b2p = 0
4
b2p = (2p+1)π
n = 2p pair
n = 2p + 1 impair
b) Il est facile de vérifier les conditions de Dirichlet. D’où
si x 6= 0, on a
f (x) =
=
4 sin x sin 3x
sin(2p + 1)x
(
+
+ ··· +
+ ···)
π 1
3
2p + 1
4
4
4
sin x +
sin 3x + · · · +
sin(2p + 1)x + · · ·
π
3π
(2p + 1)π
et si x = 0, on a
f (x + 0) + f (x − 0)
1−1
=
=0
2
2
Egalité exacte entre la fonction et la série de Fourier associée sauf aux points de discontinuité x=0.
s(0) =
7
c) Spectre d’amplitude
p nω = n
An = a2n + b2n
1
2
0
4
π
3
4
3π
4
0
5
4
5π
6
0
7
4
7π
8
0
9
10
0
4
9π
11
4
11π
12
0
13
4
13π
···
···
2
1.8
1.6
1.4
1.2
An 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
8 nw10
12
14
16
18
Remarque 6 Le développement précédent permet d’obtenir quelques formules de sommation. Ainsi, pour x =
on obtient :
∞
X
(−1)p
π
=
2p + 1
4
p=0
18.5
Série de Fourier sous forme complexe
Soit f une fonction périodique (T =
2π
) que l’on peut développer en série de Fourier :
ω
f (x) = a0 +
∞
X
an cos nωx + bn sin nωx
n=1
En tenant compte des formules d’Euler on a
cos nω =
einωx − e−inωx
einωx − e−inωx
einωx + e−inωx
et sin nωx =
= −i
2
2i
2
En substituant cos nωx et sin nωx dans la série de Fourier, on obtient
f (x) = a0 +
∞
X
n=1
an
∞
X
einωx + e−inωx
einωx − e−inωx
an − ibn inωx an + ibn −inωx
(
+
)
− ibn
= a0 +
e
e
2
2
2
2
n=1
Posons
c0 = a0 ,
cn =
an − ibn
2
et c−n =
an + ibn
2
On obtient
f (x) = c0 +
∞
P
(cn einωx + c−n e−inωx ) =
n=1
+∞
P
cn einωx
n=−∞
qui est la forme complexe de la série de Fourier.
Noter qu’on peut exprimer les coefficients cn et c−n par des intégrales. En effet :
#
"Z
Z α+T
α+T
1
1
cn =
f (x) cos(nωx)dx − i
f (x) sin(nωx)dx
(an − ibn ) =
2
2T
α
α


Z α+T
1 

=
f (x)(cos(nωx) − i sin(nωx))dx

{z
}
|
2T
α
e−inωx
8
π
2,
et donc
cn =
1
2T
De la même manière
c−n =
Z
1
2T
α+T
f (x)e−inωx dx
α
Z
α+T
f (x)einωx dx
α
On peut grouper les deux formules ci-dessus et l’expression de c0 dans une même formule
cn =
1
2T
Z
α+T
f (x)e−inωx dx
pour n = 0, ±1, ±2, ±3, · · ·
α
18.6
Séries de Fourier — Formule de Perseval
18.6.1
Formule de Perseval — Théorème
Théorème 2 Si f est une fonction périodique de période T telle que : f (x) = a0 +
∞
P
(an cos nωx+bn sin nωx),
n=1
alors
1
T
18.6.2
Z
α+T
∞ a2 + b2
P
n
n
.
2
n=1
f 2 (t)dt = a20 +
α
Formule de Perseval — Interprétation physique
Si f représente un signal périodique du temps,
E(f ) =
1
T
Z
α+T
f 2 (t)dt
α
représent le carré de la valeur efficace ou encore l’énergie du signal. La formule de Perseval peut donc s’interpréter
en terme d’énergie :
∞
X
2
E(f ) = fmoy
+
E(un )
n=1
En particulier, si fmoy = 0, l’énergie du signal est la somme des énergies des harmoniques.
Exemple 6 Soit f une fonction périodique de période T = 2π définie par : f (t) = t
sur ] − π, π[
3
2
1
-15
-10
-5
0
5
x
10
15
-1
-2
-3
a) Déterminer le développement en série de Fourier de f .
b) Calculer l’énergie du signal.
.1
Analyse harmonique numérique
La décomposition des fonctions en série de Fourier s’appelle analyse harmonique. Nous allons faire quelques
remarques sur le calcul approché des coefficients de Fourier c-à-d l’analyse harmonique numérique. On sait que
les coefficients de Fourier de la fonction f de période T = 2π sont donnés par :
Z π
Z
Z
1
1 π
1 π
a0 =
f (x)dx ; ak =
f (x) cos kωxdx et bk =
f (x) sin kωxdx
2π −π
π −π
π −π
9
Notons qu’en pratique, la fonction f est donnée soit sous forme de tableau (expérimentation) soit par
une courbe tracée par un appareil. Le calcul des coefficients de Fourier se fait alors au moyen de méthodes
d’intégration numérique (méthode des rectangles, méthode des trapèzes , · · · ). Rappelons que pour cela, on
partage l’intervalle [−π, π] en n − 1 parties (égales) de longueur 2π
n par les points :
x1 , x2 , x2 , · · · , xn
|{z}
|{z}
−π
Les valeurs de f en ces points sont :
π
y1 = f (x1 ), · · · yn = f (xn )
Nous prenons ces valeurs soit dans le tableau, soit sur la courbe de la fonction.
8
7
6
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
En utilisant (par exemple) la formule des rectangles, on obtient :
Z π
1
a0 =
f (x)dx
2π −π
·
¸
2π
2π
2π
1
y1 ×
+ y2 ×
+ · · · + yn ×
(largeur × longueur)
'
2π
n
n
n
n
1X
yi
=
n i=1
de la même manière on obtient
ak =
n
2 P
yi cos kxi
n i=0
et bk =
n
2 P
yi sin kxi
n i=0
Remarque 7 Il existe des appareils (dits analyseurs harmoniques) qui, d’après le graphique de la fonction
donnée, permettent de calculer approximativement les coefficients de Fourier.
10
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
Série 18 :
Mathématiques
Séries de fourier
1. Donner le développement en série de Fourier des fonctions suivantes :
(a) f1 (x) = sin2 x ; f2 (x) = cos2 x ; f3 (x) = sin3 x ; f3 (x) = cos3 x ;
(b) En déduire le développement en série de Fourier de cosp x, sinp x sous la forme :
p
P
(an cos nx +
n=0
bn sin nx)
2. Soit f la fonction périodique de période 2π déf inie par :
½
π − x si 0 ≤ x ≤ π
f (x) =
π + x si −π ≤ x ≤ 0
(a) Tracer le graphe de f ;
(b) Ecrire la série de Fourier associée à f ;
(c) Montrer que la série obtenue en (b) est absolument convergente ;
∞
P
1
;
(d) Déduire du développement obtenu la somme :
(2p
+
1)2
p=0
3. Signal carré
Soit f la fonction périodique de période T = 2π définie par :


 1 si 0 < x < T
2
f (x) =
T

 −1 si − < x < 0
2
(a) Tracer le graphe de f ;
(b) Déterminer la série de Fourier associée à la fonction f ;
(c) Représenter le spectre des ampliture de f .
4. Signal triangulaire
Soit f la fonction paire, périodique de période T = 2π, définie par :
·
¸
T
f (x) = x
si x ∈ 0,
2
(a) Tracer le graphe de f ;
(b) Déterminer la série de Fourier associée à la fonction f ;
(c) Dire s’il y a égalité entre la fonction f (x) et la série de Fourier associée.
5. Signal sinusoidal redressé
Soit f la fonction périodique de période T = 2π définie par : f (x) = |sin x| si x ∈ [−π, π]
(a) Tracer le graphe de f ;
(b) Détrminer la série de Fourier associée à la fonction f ;
∞
P
(an cos nx + bn sin nx)?
(c) Dire pourquoi f (x) = s(x) =
n=0
6. Signale en dents de scie
Soit la fonction périodique de période T = 2π définie par : f (x) = x
(a) Tracer le graphe de f ;
(b) Détrminer la série de Fourier associée à la fonction f ;
11
si x ∈ [0, T ]
(c) Représenter le spectre des amplitures de f .
7. Energie et harmoniques
Soit s(t) le signal pair et périodique de période T = 1 défini par :


 1 si 0 ≤ t ≤ 1
4
s(t) =
1
1

 0 si
<t≤
4
2
(a) Représenter le signal s pour t variant entre −2 et 2 (secondes) ;
(b) Calculer la valeur moyenne et l’énergie de s sur une période ;
(c) Calculer les coefficients de Fourier de s ;
(d) Ecrire la série de Fourier de s ;
(e) Calculer les valeurs numériques des coefficients an pour n = 0, · · · , 6 ;
(f) Représenter le spectre des fréquences de s ;
(g) On note En l’énergie de l’harmique de rang n. Calculer En pour n = 0, · · · , 6 ;
(h) Combien d’harmoniques sont-elles nécessaires pour transmettre au moins, respectivement : 60%, 90%,
95% de l’énergie du signal ?
8. Phénomène de Gibbs
Soit f la fonction impaire, 2π−périodique, définie par :
f (x) =
π
4
si x ∈ [0, π[
(a) Déterminer la série de Fourier S(x) associée à la fonction f ;
(b) On note Sn (x) la somme partielle de rang n de la série S(x). Représenter à l’aide d’une calculatrice
graphique ou d’un programme sur ordinateur les fonctions Sn pour n = 2, n = 5 et n = 20 ;
sin 2(n + 1)x
0
0
(c) Calculer la dérivée Sn , puis montrer que Sn =
pour x ∈ [0, π[ ;
2 sin x
(d) Etudier les variations de S1 , S2 et S3 sur ]0, π[ ;
(e) On note xn et An l’abscisse et l’ordonnée du premier extremum de la fonction Sn sur l’intervalle
]0, π[. Montrer que cette extremum est un maximum.
(f) Calculer à 10−4 près : A1 , A2 , A10 , A30 et A50 .
12