Chapitre 18

Séries de Fourier
B. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
20 janvier 2003

Table des matières
18.1Introduction................................................ 2
18.2SériesdeFourier ............................................. 2
18.2.1 Séries de Fourier — Définition .................................. 2
18.2.2 SériesdeFourier—Convergence................................. 2
18.3 CoefficientsdeFourier .......................................... 2
18.4Développementd’unefonctionensériedeFourier........................... 3
18.4.1 Développement en série de Fourier — Définition ........................ 3
18.4.2 DéveloppementensériedeFourier—Théorèmefondamental................. 5
18.4.3 DéveloppementensériedeFourier—Exemples ........................ 6
18.4.4 DéveloppementensériedeFourier—Interprétationphysique ................ 7
18.5SériedeFouriersousformecomplexe.................................. 8
18.6SériesdeFourier—FormuledePerseval ................................ 9
18.6.1 FormuledePerseval—Théorème ................................ 9
18.6.2 FormuledePerseval—Interprétationphysique......................... 9
.1 Analyseharmoniquenumérique..................................... 9
1

18.1 Introduction
Les sciences fournissent beaucoup d’exemples de phénomènes périodiques. Ces phénomènes se traduisent
par des fonctions f(t)périodiques (de période T). Les fonctions les plus remarquables sont les fonctions
trigonométriques ou circulaires (T =2π ): cosnx , sinnx ,ejnx
(n∈ Z). Cons idérons ces f onctions comme
élémentaires (harmoniqu es fondamentales). Le problème e st de décomp oser une fonction p é rio dique quel-
conque en série de telles fonctions.
18.2 Séries de Fourier
18.2.1 Séries de Fourier — Définition
Définition 1 On appelle série de de Fourier, toute série de la forme :
∞
P
n=0
(ancos nωx +bnsin nωx)=a0+a1cos ωx +b1sin ωx +···+ancos nωx +bnsin nωx +···
Remarque 1 Le terme générale de la série de Fourier un(x)=ancos nωx+bnsin nωx est périodique de période
T=2π
nω .
Si la série converge vers s(x).Lafonctions(x)est périodique de période T=2π
ω.
18.2.2 Séries de Fourier — Convergence
Notons que pour tout x∈R,on a la majoration :
|ancos nωx +bnsin nωx|≤|an|+|bn|
et on déduit alors le résultat suivant.
Proposition 1 Silessériesnumériques
∞
P
n=0
|an|et
∞
P
n=0
|bn|convergent alors la série de Fourier
∞
P
n=0
(ancos nωx+
bnsin nωx)est absolument convergente pour tout x∈Ret la fonction somme est continue sur R.
Exemple 1 Soit la série
∞
P
n=1
cos nωx
n2.Doncan=1 n2et bn=0.Onaalors
|ancos(nωx)+bnsin(nωx)|=¯¯¯¯
cos(nωx)
n2¯¯¯¯≤1 n2
Or Σ1
n2est une série de Reimann qui est convergente car α=2>1.
Conclusion 1 LasériedeFourier
∞
P
n=1
cos nωx
n2est absolument convergente sur R.
On admettra la proposition suivant.
Proposition 2 Silessuitesnumériques(an)et (bn)sont positives est décroissantes vers 0,alors la série de
Fourier
∞
P
n=0
(ancos nωx +bnsin nωx)est convergente pour tout x6=2kπ
ω(k∈Z).
18.3 Coefficients de Fourier
Soit la série de Fourier ∞
P
n=0
(ancos nωx +bnsin nωx)
Supposons que cette série converge et que sa somme est s(x):
s(x)=a0+a1cos ωx +b1sin ωx +···+ancos nωx +bnsin nωx +···
Problème : Quelle est la relation entre a0,an,bnd’un côté et s(x)de l’autre côté ?
2

Coefficients de Fourier — Calcul de a0
Supposons que la série est intégrable terme à terme sur tout intervalle ∆=[α, α +T],onaura:
Zα+T
α
s(x)dx =Zα+T
α
a0dx +
∞
P
n=0 Zα+T
α
(ancos nωx +bnsin nωx)dx
=Zα+T
α
a0dx +
∞
P
n=0 "anZα+T
α
cos(nωx)dx +bnZα+T
α
sin(nωx)dx#
Sachant que ω=2π
T,ona
Zα+T
α
cos(nωx)dx =·1
nsin(n2π Tx)¸α+T
α
=1
n·sin(n2π T(α+T)) −sin(n2π Tα)¸
=1
n·sin(n2π Tα+2nπ)−sin(n2π Tα)¸
=1
n·sin(n2π Tα)−sin(n2π Tα)¸=0
Zα+T
α
sin(nωx)dx =·−1
ncos(n2π Tx)¸α+T
α
=−1
n·cos(n2π T(α+T)) −cos(n2π Tα)¸
=−1
n·cos(n2π Tα+2nπ)−cos(n2π Tα)¸
=−1
n·cos(n2π Tα)−cos(n2π Tα)¸=0
d’où
a0=1
TZα+T
α
s(x)dx
Coefficients de Fourier — Calcul de anet bn
On montre que (voir TD)
an=2
TZα+T
α
s(x)cos(nωx)dx et bn=2
TZα+T
α
s(x)sin(nωx)dx
Conclusion 2 Si s(x)=a0+a1cos ωx +b1sin ωx +···+ancos nωx +bnsin nωx +···,alors
a0=1
TZα+T
α
s(x)dx an=2
TZα+T
α
s(x)cos(nωx)dx n =1,2,···
bn=2
TZα+T
α
s(x)sin(nωx)dx n =1,2,···
et si la fonction s(x)est de période T=2πet donc ω=1alors
a0=1
2πZπ
−π
s(x)dx an=1
πZπ
−π
s(x)cos(nx)dx n =1,2,···
bn=1
πZπ
−π
s(x)sin(nx)dx n =1,2,···
18.4 Développement d’une fonction en série de Fourier
18.4.1 Développement en série de Fourier — Définition
Soit fune fonction périodique de période T, intégrable sur toute intervalle fermé de R.
3

Définition 2 On appelle série de Fourier associée à f, la série trigonométrique
a0+
∞
P
n=1
(ancos nωx +bnsin nωx)
où les coefficients sont donnés par :
a0=1
TZα+T
α
s(x)dx an=2
TZα+T
α
s(x)cos(nωx)dx n =1,2,···
bn=2
TZα+T
α
s(x)sin(nωx)dx n =1,2,···
Remarque 2 Importante
-Silafonctionf(x)est paire,ona:
a0=2
TZT/2
0
s(x)dx an=4
TZT/2
0
s(x)cos(nωx)dx n =1,2,···
bn=0 n=1,2,···
-Silafonctionf(x)est impaire,ona:
a0=0 an=0 n=1,2,···
bn=4
TZT/2
0
s(x)sin(nωx)dx n =1,2,···
Cetteremarqueesttrèsutiledontlamesureoùlenombredecoefficients à calculer est diviser par 2.
Exemple 2 Déterminer la série de Fourier associée à la fonction périodique (T=2π)définie par :
f(x)=xpour−π≤x≤π.
Solution 1 - Traçons le graphe de f
-15 -10 -5 510 15
-3
-2
-1
1
2
3
- Détermination de la série de Fourier associée à f.
Soit a0+
∞
P
n=1
ancos nωx +bnsin nωx lasériedeFourierassociéeàf. Comme fest impaire alors an=0
pour tout net les coefficients bnsont donnés par
bn=4
TZT/2
0
f(x)sin(nωx)dx =2
πZπ
0
xsin(nx)dx car T=2πet donc ω=1
Pour calculer bnon fait une intégration par parties en prenant u(x)=xet v0(x)=sin(nx):
bn=2
πZπ
0
xsin(nx)dx =2
π[−x1 ncos(nx)]π
0−2
πZπ
0
−1
ncos(nx)dx
=2
π[−π1 ncos(nπ)−0] + 2 nπ Zπ
0
cos(nx)dx
=−2
ncos(nπ)+ 2 nπ [1 nsin(nx)]π
0
=−2
ncos(nπ)+ 2 nπ [1 nsin(nπ)−1 nsin(0)]
4