3ème cours trigonométrie I - Rappel : cosinus d’un angle aigu a) Vocabulaire : Soit ABC un triangle rectangle en A. Le côté opposé (face) à l’angle droit est l’hypoténuse. Ici c’est BC Si on s’intéresse à l’angled B : C A Le côté opposé à l’angle d B est AC. Le côté adjacent à l’angle d B est AB. Si on s’intéresse à l’angled C : B Le côté opposé à l’angle d C est AB. Le côté adjacent à l’angle d C est AC. Remarque : d B +d C = 90° b) Formule : cos B̂ = côté adjacent à d B AB = hypoténuse BC côté adjacent à d C AC d cos C = = hypoténuse BC Remarque : Comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le cosinus d’un angle est toujours plus petit que 1. c) Exemples : Exemple 1 Soit EFG rectangle en E tel que d G = 35° et FG = 5 cm. Calculer EG. Dans le triangle EFG rectangle en E, on a cos Ĝ = EG FG EG = cos d G × FG = (cos 35°) x 5 ≈ 4,1 cm 1 3ème cours trigonométrie Exemple 2 Soit STU rectangle en S tel que Û = 65° et US = 3 cm. Calculer UT. Dans le triangle STU rectangle en S, on a cos d U = UT = SU cos d U = SU UT 3 ≈ 7,1 cm cos 65° Exemple 3 a) Soit XYZ rectangle en X tel que XZ = 4 cm et YZ = 6 cm. Calculerd Z. Dans le triangle XYZ rectangle en X, on a : XZ 4 cos d Z= = YZ 6 A l'aide de la calculatrice, on obtient : d Z ≈ 48,2 ° II - Relations trigonométriques dans le triangle rectangle : a) Formules : Soit ABC un triangle rectangle en A. C A côté adjacent à d B AB cos d B = = hypoténuse BC côté opposé à d B AC sin d B= = hypoténuse BC B côté opposé à d B AC tan d B = = AB côté adjacent à d B Remarque : Il y a un moyen pour se souvenir facilement de la formule : S O H opposé sin = hypoténuse C A H adjacent cos = hypoténuse T O A opposé tan = adjacent 2 3ème cours trigonométrie b) Exemples (on donnera des valeurs approchées à 0,1 près) : Exemple 1 : Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et Î = 50°. Calculer KJ. Dans le triangle IJK rectangle en K, on a : KJ sin d I= KJ = (sin 50°) x 8 ≈ 6,13 cm IJ Exemple 2 Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Calculer d M puisd L. Dans le triangle LMN rectangle en N, on a : LN 6,5 = d’où d M ≈ 65,2 ° tan d M = 3 MN MN 3 tan d L = = d’où d L ≈ 24,8 ° LN 6,5 On vérifie que d L +d M = 90° Exemple 3 Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Calculerd Q. Dans le triangle OPQ rectangle en O, on a : OP 5 sin d Q = = PQ 7 d Q ≈ 45,6° III - Formules et valeurs remarquables : C A a) Formules Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : AB² AC² (cosd B )2 = (sind B )2 = B BC² BC² AB² AC² AB² + AC² D'où : (cosd B )2 + (sind B )2 = + = BC² BC² BC² Or le triangle ABC étant rectangle en B, l'égalité de Pythagore qui lui est associée s'écrit : AB² + AC² = BC² BC² B )2 = =1 On en déduit que : (cosd B )2 + (sind BC² 3 3ème cours trigonométrie Conclusion, pour tout angle aigu dont la valeur en degré est x : on a : (cos x )2 + (sin x )2 = 1 AC BC sin d AC AC BC B d D’autre part, tan B = = × = = AB BC AB AB cos d B BC b) Valeurs remarquables : • Soit STU un triangle rectangle isocèle en S tel que ST = a. Quelle est la mesure de l’anglea TUS ? En utilisant le théorème de Pythagore, calculer TU en fonction de a. En déduire les valeurs exactes de cos 45° ,sin 45°.et tan 45°. TU² = ST² + SA² = 2a² => a 1 2 ST = = = cos(d T) = TU a 2 2 2 SU a 1 2 sin (d T) = = = = TU a 2 2 2 SU a tan(d T) = = =1 ST a • U TU = a 2 S cos 45° = sin 45° = T 2 2 2 2 tan 45° = 1 E Soit EFG un triangle équilatéral de côté a et H le pied de la hauteur issue de E. Quelles sont les mesures des angles a EFH et a FEH ? Exprimer en fonction de a les longueurs FH et EH. Trouver les valeurs exactes de cos 30°; cos 60°; sin 30° , sin 60°,tan.30° et tan 60°. F H G a a EFH = 60° FEH = 30° FH² + HE² = FE² a² a² 3a² + HE² = a² HE² = a² = 4 4 4 FH = a et HE = 2 3a² a 3 = 4 2 a 3 2 3 EH = =3= cos a FEH = a 2 EF cos 30° = 3 2 4 3ème cours trigonométrie a FH 2 1 sin a FEH = = = EF a 2 sin 30° = On vérifie que (sin 30° )² + (cos30°)² = a 2 1 3 FH = = = tan a FEH° = 3 EH a 3 3 2 a FH 2 1 cos a EFH = = = EF a 2 a 3 2 3 EH = = sin a EFH = a 2 EF a 3 2 EH tan a EFH = = = a FH 2 > 1 2 1 3 + =1 4 4 tan 30° = cos 60° = 1 2 sin 60° = 3 2 3 3 3 Tableau récapitulatif : Angle Cosinus Sinus tangente 30° 45° 3 2 2 2 60° 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 3 3 5