TD M3 : Oscillateurs et mouvements circulaires - e
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Mécanique TD-M3-oscillateurs-et-mouvements-circulaires Mécanique TD-M3-oscillateurs-et-mouvements-circulaires Mouvements circulaires TD M3 : Oscillateurs et mouvements circulaires Un peu de cours : le mouvement circulaire et circulaire uniforme Lors d’un mouvement circulaire, le point M se déplace sur un cercle de rayon R constant. On a : −−→ − OM = R → ur (13) Oscillateurs sans frottement Exercice 1 - Deux ressorts en équilibre * Considérons deux ressorts identiques, de même constante de raideur k = 20 N.m−1 , de longueur à vide `0 = 20 cm montés comme l’indique la figure ci-contre et soutenant deux points matériels M1 et M2 de masse m1 = 100 g et m2 = 150 g. On prendra le champ de pesanteur g = 10 N.kg−1 . → − g `1 L’expression de la vitesse est simplifiée par rapport à celle d’un mouvement quelconque : M1 1. En étudiant l’équilibre de M2 , calculez la longueur `2 du deuxième ressort. `2 2. En étudiant l’équilibre de M1 , calculez la longueur `1 du premier ressort. M2 → − − v = R θ̇ → uθ car Ṙ = 0 (14) En faisant intervenir la vitesse angulaire ω = θ̇, on peut écrire la norme de la vitesse v = Rω . Figure 1 – deux ressorts en série De la même manière l’expression de l’accélération se résume à : → − − − a = −Rθ̇2 → ur + R θ̈ → uθ (15) Exercice 2 - Le saut à l’élastique *** A Cas du mouvement circulaire uniforme Dans ce cas, la vitesse linéaire (v) et la vitesse angulaire ω = θ̇ sont constantes. Donc θ̈ = 0. L’expression de l’accélération se simplifie : → − − a = −R θ̇2 → ur B H Un sauteur à l’élastique, assimilable à un point matériel M de masse m = 70 kg, tombe depuis un pont (en A) sans vitesse initiale, avec un élastique fixé aux pieds. Pendant les 20 premiers mètres de chute, l’élastique n’exerce aucune action ; le sauteur est donc en chute libre. À partir du point B, l’élastique se tend : son action est alors modélisée par une force élastique de constante de raideur k = 120 N.m−1 , la longueur à vide de l’élastique − − − vaut `0 = 20 m. On supposera le référentiel Rg (A,→ ux , → uy , → uz ) galiléen. → − g `0 = 20 m − → u z Malgré une vitesse constante, l’accélération n’est pas nulle car le vecteur vitesse change de direction à chaque instant. On peut remarquer que pour un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont orthogonaux et que l’on a : •G C a= Sol Figure 2 – Saut à l’élastique 1. Exprimer et calculer la vitesse du sauteur au point B. 2. Quelle est l’équation du mouvement à partir de B (on pourra poser l’origine des axes en B). 3. En résolvant l’équation différentielle obtenue, trouver la hauteur totale de chute H. v2 R (17) Exercice 3 - Roue en rotation ** On met en rotation une roue de rayon R = 35 cm, autour de son axe. La roue fait alors 1 tour par seconde et le mouvement est supposé uniforme. On considère un point B situé à la périphérie de la roue. 1. Calculer la vitesse du point B. Indication On utilisera la formule cos2 + sin2 = 1. 2. Calculer l’accélération du point B. 4. Calculer l’accélération du sauteur lorsqu’il commence à remonter et la transformer en nombre de g. 1 (16) 2 Mécanique TD-M3-oscillateurs-et-mouvements-circulaires Mécanique TD-M3-oscillateurs-et-mouvements-circulaires Oscillateurs avec frottements Exercice 4 - Trajectoire circulaire ** (1) Un homme fait tourner une balle (assimilée à un point matériel M de masse m) au bout d’un fil inextensible sans masse de longueur OM = R. La trajectoire de la balle est un cercle de centre O et de rayon R dans la mesure où sa vitesse est suffisante. La main de l’homme est considérée comme fixe, le − − − référentiel (R,→ ex ,→ ey ,→ ez ) est considéré galiléen. Dans cet exercice, tout frottement est négligeable. Exercice 6 - Ressort et force constante *** Un point M de masse m est accrochée à un ressort horizontal de raideur k et de longueur à vide `0 . Le point M est astreint à un déplacement horizontal sur l’axe Ox. Un dispositif de freinage → − − − exerce une force de frottement visqueux f = −α → v où → v est la vitesse de M. À partir du repos → − (x = `0 ), M est soumis à une force constante F . − → ez → e− x O θ 1. Établir l’équation différentielle du mouvement. 2. Quelle est la condition pour avoir une solution pseudo-périodique ? Déterminer alors la solution x(t). 3. Déterminer x au bout d’une pseudo-période. M Figure 3 – Mouvement circulaire d’une balle suspendue à un fil 1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de la balle. 2. Déterminer l’expression de la tension du fil. 3. Déterminer l’expression de la vitesse minimale vmin avec laquelle la balle doit passer en (1) pour qu’elle continue son parcours sur la trajectoire circulaire de rayon R. Exercice 5 - Descente abrupte d’un véhicule ** A Une voiture, assimilée à un point matériel M de masse m = 1000 kg amorce une descente en A à la vitesse v0 = 125 km.h−1 . On assimile le début de la descente de A à B à un arc de cercle, de centre O, de rayon R = 130 m et d’angle α = 15◦ . On suppose que durant la descente la force motrice de la voiture est tangente à la route et de valeur algébrique F constante (positive pour une accélération et négative pour un freinage). On néglige les frottements sur la route. M B α O Figure 4 – Descente abrupte d’un véhicule 1. Sur le schéma, représenter au niveau du point M les vecteurs de la base polaire, indiquer les coordonnées R et θ avec lesquelles on repèrera le point M. 2. Déterminer les équations du mouvement en projection dans la base polaire. − 3. Après avoir multiplié par θ̇ l’équation selon → u , l’intégrer. θ 4. Déterminer l’expression de la réaction normale N en fonction de R, θ, g, m, v0 et F . 5. Calculer l’angle θd pour lequel la voiture quitterait la route, dans le cas où le conducteur coupe le moteur en A. Conclusion. 6. Faut-il accélérer ou freiner ? pour répondre à cette question, calculer la valeur de F pour que la voiture arrive en B sans décoller (soit pour θd = α). 3 4
