PGCD et PPCM Table des matières 1 PGCD 2 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Propriétés ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 2 Nombres premiers entre eux 4 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Théorème de Gauss ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Corollaire du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.5 Théorème de Bezout ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.6 Corollaire du théorème de Bezout 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 PPCM 5 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Théorème : produit du pgcd et ppcm ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 Applications 6 4.1 Méthode des soustractions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2 Calcul du pgcd par l’algorithme de l’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.3 Application du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.4 Application du théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.5 Équation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 pgcd et ppcm 1 Lycée Marie Curie de Tarbes PGCD 1.1 Définitions Soient a et b deux entiers naturels. • On note D(a) l’ensemble des diviseurs de a ; et D(b) celui de b. • On note D(a; b) l’ensemble des diviseurs communs à a et à b . • D(a; b) est un ensemble non vide et fini. Étant fini, il est borné par son plus petit élément qui est 1, et par le plus grand de a et b. Ce plus grand élément est nommé PGCD de a et de b . Il est aussi noté pgcd (a; b) ou a ∧ b. Exemple 1 D(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28} , 1.2 D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} , pgcd (28; 24) = 4 Propriétés ROC 1. Si b divise a alors pgcd(a; b) = b. 2. Soit r est le reste de la division de a par b. On a D(a; b) = D(b; r), et donc pgcd (a; b) = pgcd (b; r). 3. D(a; 0) = D(a). Démonstration 1 1. Si b divise a alors b est un diviseur commun à a et b. De plus b est le plus grand diviseur de b. C’est donc le pgcd de a et b. 2. • On écrit a = bq + r et donc r = a − bq. Ainsi tout diviseur de a et de b est un diviseur de r et donc de b et de r . Soit D(a; b) ⊂ D(b; r). • Réciproquement : si a = bq + r , tout diviseur de b et de r , est un diviseur de a et donc de a et de b . Soit D(b; r) ⊂ D(a; b). • La double inclusion D(a; b) ⊂ D(r) et D(b; r) ⊂ D(a; b) nous permet de dire que D(a; b) = D(b; r) 3. Tout nombre non nul divise 0. Et donc les diviseurs commun à 0 et a seront les diviseurs de a. 1.3 1.3.1 Algorithme d’Euclide Méthode Soit a et b deux entiers naturels tels que a > b et r0 le reste de la division de a par b. – a = b q0 + r0 Si r0 = 0 alors b divise a et donc pgcd (a; b) = b Si r0 6= 0 alors on calcule r1 le reste de la division de b par r0 . – b = r0 q1 + r1 Si r1 = 0 alors r0 divise b et donc pgcd (a; b) = pgcd (b; r0 ) = r0 Si r1 6= 0 alors on calcule r2 le reste de la division de r0 par r1 . Arithmétique 5 Page 2 Francis Rignanese pgcd et ppcm Lycée Marie Curie de Tarbes – r0 = r1 q2 + r2 Si r2 = 0 alors r1 divise r2 et donc pgcd (a; b) = pgcd (b; r0 ) = pgcd (r0 ; r1 ) = r1 Si r2 6= 0 alors on calcule r3 le reste de la division de r2 par r1 ..etc, jusqu’au dernier reste non nul et donc le reste précédent rn est le pgcd (a; b). 1.3.2 Algorithme DEBUT Lire A, B, (A > B) R ←− Reste(A/B) Tant que R 6= 0 faire A ←− B : B ←− R FTQ Ecrire ”Le PGCD de ” A ”et” B ”est” R FIN Exemple 2 pgcd(936; 164) 1.4 936 = 164 × 5 + 116 pgcd(936; 164) = pgcd(164; 116) 164 = 116 × 1 + 48; pgcd(164; 116) = pgce(116; 48) 116 = 48 × 2 + 20; pgcd(116; 48) = pgcd(48; 20) 48 = 20 × 2 + 8; pgcd(48; 20) = pgcd(20; 8) 20 = 8 × 2 + 4; pgcd(20; 8) = pgcd(8; 4) 8 = 4 × 2 + 0; pgcd(8; 4) = 4 Donc pgcd(936; 164) = 4 Théorème Soit g le pgcd de deux entiers naturels a et b. 1. L’ensemble des diviseurs commun à a et b est égal à l’ensemble des diviseurs de leur pgcd g. Autrement dit : D(a; b) = D(g). 2. Si l’on multiplie a et b par un entier naturel k, leur pgcd est multiplié par k. Autrement dit pgcd (ka; kb) = k × pgcd (a; b). 3. Si d est un diviseur commun à a et b alors pgcd a b ; d d = g . d Démonstration 2 1. Dans les restes successifs de l’algorithme d’Euclide on a vu que D(a; b) = D(b; r0 ) = ...... = D(rn ; 0) = D(rn ), et rn = g. 2. Si a = bq0 + r0 , alors ka = kbq + kr0 et ceci tout le long de l’algorithme d’Euclide ( kb = kr0 q1 + kr1 , kr0 = kr1 q2 + kr2 .....) . D’où le dernier reste non nul qui est le pgcd sera aussi multiplié par k. 3. Si d est un diviseur commun a et b ,c’est aussi un diviseur de leur pgcd ′ ′ g. ′ ′ On pose a = a d et b = b d . On a alors pgcd (a; b)= pgcd (a d; b d) = d × pgcd (a ; b ) g a b pgcd(a; b) = . , ou encore pgcd ; Et donc pgcd (a′ ; b′ ) = d d d d Arithmétique 5 ′ Page 3 ′ Francis Rignanese pgcd et ppcm 2 Lycée Marie Curie de Tarbes Nombres premiers entre eux 2.1 Définitions 1. Deux entiers naturels non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur pgcd est 1. Autrement dit 1 est le seul diviseur commun deux nombres premiers entre eux. a 2. Une fraction est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. b 2.2 Théorème b a et sont premiers entre eux. g g Autement dit g = pgcd(a; b) équivaut à dire qu’il existe deux entiers a′ et b′ premiers entre eux tels que a = a′ g et g = pgcd(a; b) équivaut à b = b′ g. Démonstration 3 a b – Montrons que si g = pgcd (a; b) alors et sont premiers entre eux. g g a b pgcd (a; b) g a b Nous avons pgcd = ; = = 1 . Donc et sont premiers entre eux. g g g g g g a b – Montrons que si et sont premiers entre eux alors g = pgcd(a; b). g g pgcd(a; b) a b = 1 d’où ; = 1 et donc pgcd(a; b) = g. Nous avons pgcd g g g 2.3 Théorème de Gauss ROC Si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, alors il divise l’autre. Autrement dit si a divise bc et si a est premier avec b alors il divise c. Démonstration 4 Si a et b sont premiers entre eux alors pgcd (a; b) = 1 et pgcd(ac; bc) = c. De plus si a divise bc , a divisant aussi ac, c’est un diviseur commun ac et bc, c’est donc un diviseur de leur pgcd donc de c . (On rappelle que l’ensemble des diviseurs communs deux entiers naturels coı̈ncide avec l’ensemble des diviseurs de leur pgcd). 2.4 Corollaire du théorème de Gauss Si a et b premiers entre eux divise c alors ab divise c. Démonstration 5 Si a divise c alors nous pouvons écrire que c = ac′ . Et si b divise aussi c ou ac′ tout en étant premier avec a alors d’après le théorème de Gauss il divise c′ . On a donc c′ = bc′′ . Finalement on obtient c = ac′ = abc′′ et donc ab divise c. Arithmétique 5 Page 4 Francis Rignanese pgcd et ppcm 2.5 Lycée Marie Curie de Tarbes Théorème de Bezout ROC Les entiers naturels a et b sont premiers entre eux, si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 . Démonstration 6 – Montrons que s’il existent deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1 alors a et b sont premiers entre eux. Le pgcd de a et b divise a u + b v donc divise 1. Ce pgcd est donc 1 ou encore a et b sont premiers entre eux. – Montrons, que si a et b sont premiers entre eux alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1. On note E l’ensemble des entiers a u + b v où u et v sont des éléments de Z . Cet ensemble contient des éléments strictement positifs puisque a = a × 1 + b × 0 est un élément de E. Notons m = a u1 + b v1 le plus petit d’entre eux et divisons a par m. On écrit a = mq + r avec 0 ≤ r < m ou a = (a u1 + b v1 )q + r avec 0 ≤ r < a u1 + b v1 . Mais si a = (a u1 + b v1 )q + r alors a = a u1 q + bv1 q + r ou a − a u1 q − bv1 q = r . On obtient a(1 − u1 q) + b(−v1 q) = r . Donc r est un élément de E. Mais si r , élément de E vérifiant 0 ≤ r < a u1 + b v1 , est non nul alors il est plus petit que a u1 + b v1 ce qui est contradictoire. Donc r = 0 . Autrement dit m divise a . De la même manière on montrerait que m divise b. Ainsi m est un diviseur commun a et b qui sont premiers entre eux. D’où m = 1. 2.6 Corollaire du théorème de Bezout g est le pgcd (a; b) signifie qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u; v) tel que a u + b v = g. Démonstration 7 b a et sont premiers entre eux. Et donc d’après le théoèrme de Bezout il existe un couple d’entiers On sait que g g a b relatifs (u; v) tel que u + v = 1. g g Autrement dit il existe un couple d’entiers relatifs (u; v) tel que a u + b v = g. 3 PPCM 3.1 Définitions Soit a et b deux entiers naturels non nuls. • On note M (a) l’ensemble des multiples de a strictement positifs et M (b) ceux de b. Les éléments communs ces deux ensembles constitue un ensemble noté M (a; b) , ensemble des multiples communs Arithmétique 5 Page 5 Francis Rignanese pgcd et ppcm Lycée Marie Curie de Tarbes a et b. Cet ensemble est non vide car il contient ab et tous ses multiples. • Le plus petit élément de M (a; b) est le plus petit commun multiple de a et de b . Il est not ppcm (a; b) ou a ∨ b. 3.2 Théorème : produit du pgcd et ppcm ROC Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On a pgcd (a; b) × ppcm(a; b) = a × b. Si l’on note g = pgcd (a; b) et m = ppcm (a; b) . On a alors a × b = m × g . Démonstration 8 – On sait qu’il existe deux entiers, a′ et b′ , premiers entre eux tels que a = a′ g et b = b′ g – m est un multiple commun à a et b. On sait alors qu’il existe deux entiers p et q tels que m = pa et m = qb. On a alors pa = qb ou bien pa′ g = qb′ g . Autrement dit pa′ = qb′ . – Si pa′ = qb′ alors a′ divise qb′ tout en étant premier avec b′ . Et donc d’après le théorème de Gauss a′ divise q . D’où il existe un entier k tel que q = ka′ . Ainsi l’égalité pa′ = qb′ donne pa′ = ka′ b′ . D’où p = kb′ . – Nous avons donc m = pa′ g = qb′ g soit m = kb′ a′ g = ka′ b′ g. Nous avons montré que si m est un multiple commun a et b il est multiple de a′ b′ g. – Montrons aussi que tout multiple de a′ b′ g est un multiple commun a et b. Un multiple de a′ b′ g est un multiple de (a′ g)b′ = ab′ ab′ donc multiple de a. De même un multiple de a′ b′ g est un multiple de a′ (b′ g) = a′ b donc multiple de b. D’où tout multiple de a′ b′ g est un multiple commun a et b . – Nous avons montré que l’ensemble des multiples communs a et b est égal à l’ensemble des multiples de a′ b′ g . Le plus petit élément du premier ensemble est m et celui du second est a′ b′ g. On a donc m = a′ b′ g . D’où m × g = (a′ × g) × (b′ × g) . Ou bien m × g = a × b. 4 Applications 4.1 Méthode des soustractions successives 1. Soit a et b deux entiers naturels tels que a ≥ b. Montrons que l’ensemble des diviseurs communs a et b est égal à l’ensemble des diviseurs communs à a et a − b. 2. Appliquez successivement ce résultat pour déterminer les diviseurs communs à 168 et 264. 1. On doit montrer une double inclusion : D(a; b) ⊂ D(a − b; b) et D(a − b; b) ⊂ D(a; b). Pour montrer la première inclusion on montre qu’un élément quelconque de D(a; b) est aussi élément de D(a−b; b). – Soit d un diviseur commun a et b. Alors d divise a − b et donc a et a − b. D’où D(a; b) ⊂ D(a − b; b) Arithmétique 5 Page 6 Francis Rignanese pgcd et ppcm Lycée Marie Curie de Tarbes – Soit d un diviseur commun a et a − b. Alors d divise la somme , soit b et donc d divise a et b. D’où D(a − b; b) ⊂ D(a; b) – Conclusion D(a − b; b) = D(a; b) 2. Nous déduisons du résultat précédent que D(264; 168) = D(168; 96) = D(96; 72) = D(72; 24) = D(48; 24) = D(24; 24) = D(24). Donc D(264; 168) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}. 4.2 Calcul du pgcd par l’algorithme de l’Euclide Dterminer le pgcd de 138807 et 52089. 138807 = 52089 × 2 + 34629, pgcd(13807; 52089) = pgcd(52089; 34629) 52089 = 34629 × 1 + 17460, pgcd(52089; 34629) = pgcd(34629; 17460) 34629 = 17460 × 1 + 17169, pgcd(34629; 17460) = pgcd(17460; 17169) 17460 = 17169 × 1 + 291, pgcd(17460; 17169) = pgcd(17169; 291) 17169 = 291 × 59 + 0, pgcd(17169; 291) = 291 Conclusion pgcd(13807; 52089) = 291 dernier reste non nul. 4.3 Application du théorème de Gauss Déterminer les couples d’entiers (x; y) solutions de l’équation : 55 = 16 × 4 + 7; 16 = 7 × 2 + 4; 55x = 16y. 7=2×3+1 pgcd(55; 16) = pgcd(16; 7) = pgcd(7; 2) = pgcd(2; 1) = 1. Donc 55 et 16 sont premiers entre eux. D’autre part, si 55x = 16y alors 16 divise 55x et étant premier avec 55 il divise x, d’après le théorème de Gauss. Donc x = 16k. Si on remplace dans 55x = 16y on obtient 55 × 16k = 16y. Autrement dit y = 55k. Les couples solutions sont donc (16k; 55k) où k ∈ Z. 4.4 Application du théorème de Bezout Dmontrez que pour tout entier naturel n, les nombres a = 2n + 1 et b = 3n + 2 sont premiers entre eux. On cherche deux entiers u et v tels que a u + b v = 1. On a : −3(2n + 1) + 2(3n + 2) = −6n − 3 + 6n + 4 = 1. Donc a et b sont premiers entre eux. 4.5 Équation diophantienne Résoudre dans Z × Z l’équation 62 x + 43 y = 3 1. On trouve une solution particulière de l’équation 62 x + 43 y = 1 en utilisant l’algorithme d’Euclide. (Il est vident que 62 et 43 doivent être premiers entre eux) Arithmétique 5 Page 7 Francis Rignanese pgcd et ppcm Lycée Marie Curie de Tarbes (1) 62 = 43 × 1 + 19 (2) 43 = 19 × 2 + 5 (3) 19 = 5 × 3 + 4 (4) 5 = 4 × 1 + 1 En remontant on obtient : (4) ⇔ 5 − 4 = 1 (3) ⇔ 4 = 19 − 5 × 3 ; 5 − 4 = 1 ⇔ 5 − (19 − 5 × 3) × 1 = 1 ⇔ −19 + 5 × 4 = 1 (2) ⇔ 5 = 43 − 19 × 2 ; −19 + 5 × 4 = 1 ⇔ −19 + (43 − 19 × 2) × 4 = 1 ⇔ −9 × 19 + 43 × 4 = 1 (1) ⇔ 19 = 62 − 43 ; −9 × 19 + 43 × 4 = 1 ⇔ −9(62 − 43) + 43 × 4 = 1 ⇔ −9 × 62 + 13 × 43 = 1 Une solution particulière de l’équation 62 x + 43 y = 1 est (−9; 13) 2. Une solution particulière de l’équation 62 x + 43 y = 3 est (−27; 39) 3. Recherche des solutions de 62 x + 43 y = 3 62 x + 43 y = 3 On a 62 × (−27) + 43 × 39 = 3 Par soustraction on obtient 62(x + 27) + 43(y − 39) = 0 ou encore 62(x + 27) = 43(39 − y) Ainsi 43 divise 62(x + 27) tout en tant premier avec 62. D’où d’après le théorème de Gauss il divise x + 27 Et donc x + 27 = 43k, k ∈ Z, ou x = −27 + 43k. Si on remplace dans 62(x + 27) = 43(39 − y), x + 27 par 43k on obtient 62 × 43k = 43(39 − y). Autrement dit 62k = 39 − y ou y = 39 − 62k. 4. L’ensemble des solutions de l’équation 62 x + 43 y = 1 est S = {(−27 + 43k ; 39 − 62k); k ∈ Z}. Arithmétique 5 Page 8 Francis Rignanese