PGCD et PPCM

PGCD et PPCM
Table des mati`eres
1 PGCD 2
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propri´et´es ROC ................................................ 2
1.3 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 M´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Nombres premiers entre eux 4
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Th´eor`eme de Gauss ROC ........................................... 4
2.4 Corollaire du th´eor`eme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Th´eor`eme de Bezout ROC .......................................... 5
2.6 Corollaire du th´eor`eme de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 PPCM 5
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Th´eor`eme : produit du pgcd et ppcm ROC ................................. 6
4 Applications 6
4.1 M´ethode des soustractions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Calcul du pgcd par l’algorithme de l’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Application du th´eor`eme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4 Application du th´eor`eme de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.5 ´ Equation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1

pgcd et ppcm Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
1 PGCD
1.1 D´efinitions
Soient aet bdeux entiers naturels.
•On note D(a) l’ensemble des diviseurs de a; et D(b) celui de b.
•On note D(a;b) l’ensemble des diviseurs communs `a aet `a b.
•D(a;b) est un ensemble non vide et fini.
´
Etant fini, il est born´e par son plus petit ´el´ement qui est 1, et par le plus grand de aet b.
Ce plus grand ´el´ement est nomm´e PGCD de aet de b. Il est aussi not´e pgcd (a;b) ou a∧b.
Exemple 1
D(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}, D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}, pgcd (28; 24) = 4
1.2 Propri´et´es ROC
1. Si bdivise aalors pgcd(a;b) = b.
2. Soit rest le reste de la division de apar b. On a D(a;b) = D(b;r),et donc pgcd (a;b) = pgcd (b;r).
3. D(a; 0) = D(a).
D´emonstration 1
1. Si bdivise aalors best un diviseur commun `a aet b. De plus best le plus grand diviseur de b. C’est donc le
pgcd de aet b.
2. •On ´ecrit a=bq +ret donc r=a−bq.
Ainsi tout diviseur de aet de best un diviseur de ret donc de bet de r. Soit D(a;b)⊂D(b;r).
•R´eciproquement : si a=bq +r, tout diviseur de bet de r, est un diviseur de aet donc de aet de b.
Soit D(b;r)⊂D(a;b).
•La double inclusion D(a;b)⊂D(r)et D(b;r)⊂D(a;b)nous permet de dire que D(a;b) = D(b;r)
3. Tout nombre non nul divise 0. Et donc les diviseurs commun `a 0 et aseront les diviseurs de a.
1.3 Algorithme d’Euclide
1.3.1 M´ethode
Soit aet bdeux entiers naturels tels que a > b et r0le reste de la division de apar b.
–a=b q0+r0
Si r0= 0 alors bdivise aet donc pgcd (a;b) = b
Si r06= 0 alors on calcule r1le reste de la division de bpar r0.
–b=r0q1+r1
Si r1= 0 alors r0divise bet donc pgcd (a;b) = pgcd (b;r0) = r0
Si r16= 0 alors on calcule r2le reste de la division de r0par r1.
Arithm´etique 5 Page 2 Francis Rignanese

pgcd et ppcm Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
–r0=r1q2+r2
Si r2= 0 alors r1divise r2et donc pgcd (a;b) = pgcd (b;r0) = pgcd (r0;r1) = r1
Si r26= 0 alors on calcule r3le reste de la division de r2par r1
..etc, jusqu’au dernier reste non nul et donc le reste pr´ec´edent rnest le pgcd (a;b).
1.3.2 Algorithme
DEBUT
Lire A, B, (A > B)
R←− Reste(A/B)
Tant que R6= 0 faire
A←− B:B←− R
FTQ
Ecrire ”Le PGCD de ” A ”et” B ”est” R
FIN
Exemple 2
pgcd(936; 164)
936 = 164 ×5 + 116 pgcd(936; 164) = pgcd(164; 116)
164 = 116 ×1 + 48; pgcd(164; 116) = pgce(116; 48)
116 = 48 ×2 + 20; pgcd(116; 48) = pgcd(48; 20)
48 = 20 ×2 + 8; pgcd(48; 20) = pgcd(20; 8)
20 = 8 ×2 + 4; pgcd(20; 8) = pgcd(8; 4)
8 = 4 ×2 + 0; pgcd(8; 4) = 4
Donc pgcd(936; 164) = 4
1.4 Th´eor`eme
Soit gle pgcd de deux entiers naturels aet b.
1. L’ensemble des diviseurs commun `a aet best ´egal `a l’ensemble des diviseurs de leur pgcd g.
Autrement dit : D(a;b) = D(g).
2. Si l’on multiplie aet bpar un entier naturel k, leur pgcd est multipli´e par k.
Autrement dit pgcd (ka;kb) = k×pgcd (a;b).
3. Si dest un diviseur commun `a aet balors pgcd a
d;b d=g d.
D´emonstration 2
1. Dans les restes successifs de l’algorithme d’Euclide on a vu que
D(a;b) = D(b;r0) = ...... =D(rn; 0) = D(rn),et rn=g.
2. Si a=bq0+r0,alors ka =kbq +kr0et ceci tout le long de l’algorithme d’Euclide ( kb =kr0q1+kr1,
kr0=kr1q2+kr2.....). D’o`u le dernier reste non nul qui est le pgcd sera aussi multipli´e par k.
3. Si dest un diviseur commun aet b,c’est aussi un diviseur de leur pgcd g.
On pose a=a′det b=b′d. On a alors pgcd (a;b) = pgcd (a′d;b′d) = d×pgcd (a′;b′)
Et donc pgcd (a′;b′) = pgcd(a;b)
d,ou encore pgcd a d;b d=g d.
Arithm´etique 5 Page 3 Francis Rignanese

pgcd et ppcm Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
2 Nombres premiers entre eux
2.1 D´efinitions
1. Deux entiers naturels non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur pgcd est 1.
Autrement dit 1 est le seul diviseur commun deux nombres premiers entre eux.
2. Une fraction a
best irr´eductible lorsque aet bsont premiers entre eux.
2.2 Th´eor`eme
g=pgcd(a;b) ´equivaut `a a
get b gsont premiers entre eux.
Autement dit g=pgcd(a;b) ´equivaut `a dire qu’il existe deux entiers a′et b′premiers entre eux tels que a=a′get
b=b′g.
D´emonstration 3
–Montrons que si g=pgcd (a;b)alors a
get b gsont premiers entre eux.
Nous avons pgcd a
g;b g=pgcd (a;b) g=g g= 1 . Donc a get b gsont premiers entre eux.
–Montrons que si a
get b gsont premiers entre eux alors g=pgcd(a;b).
Nous avons pgcd a
g;b g= 1 d’o`u pgcd(a;b) g= 1 et donc pgcd(a;b) = g.
2.3 Th´eor`eme de Gauss ROC
Si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, alors il divise l’autre.
Autrement dit si adivise bc et si aest premier avec balors il divise c.
D´emonstration 4
Si aet bsont premiers entre eux alors pgcd (a;b) = 1 et pgcd(ac;bc) = c.
De plus si adivise bc , a divisant aussi ac, c’est un diviseur commun ac et bc, c’est donc un diviseur de leur
pgcd donc de c. (On rappelle que l’ensemble des diviseurs communs deux entiers naturels co¨ıncide avec l’ensemble
des diviseurs de leur pgcd).
2.4 Corollaire du th´eor`eme de Gauss
Si aet bpremiers entre eux divise calors ab divise c.
D´emonstration 5
Si adivise calors nous pouvons ´ecrire que c=ac′.
Et si bdivise aussi cou ac′tout en ´etant premier avec aalors d’apr`es le th´eor`eme de Gauss il divise c′.
On a donc c′=bc′′ .
Finalement on obtient c=ac′=abc′′ et donc ab divise c.
Arithm´etique 5 Page 4 Francis Rignanese

pgcd et ppcm Lyc´ee Marie Curie de Tarbes
2.5 Th´eor`eme de Bezout ROC
Les entiers naturels aet bsont premiers entre eux, si et seulement si il existe deux entiers relatifs uet vtels
que
a u +b v = 1
.
D´emonstration 6
–Montrons que s’il existent deux entiers relatifs uet vtels que a u +b v = 1 alors aet bsont
premiers entre eux.
Le pgcd de aet bdivise a u +b v donc divise 1. Ce pgcd est donc 1 ou encore aet bsont premiers
entre eux.
–Montrons, que si aet bsont premiers entre eux alors il existe deux entiers relatifs uet v
tels que a u +b v = 1.
On note El’ensemble des entiers a u +b v o`u uet vsont des ´el´ements de Z. Cet ensemble contient des
´el´ements strictement positifs puisque a=a×1 + b×0est un ´el´ement de E.
Notons m=a u1+b v1le plus petit d’entre eux et divisons apar m.
On ´ecrit a=mq +ravec 0≤r < m ou a= (a u1+b v1)q+ravec 0≤r < a u1+b v1.
Mais si a= (a u1+b v1)q+ralors a=a u1q+bv1q+rou a−a u1q−bv1q=r.
On obtient a(1 −u1q) + b(−v1q) = r. Donc rest un ´el´ement de E.
Mais si r, ´el´ement de Ev´erifiant 0≤r < a u1+b v1, est non nul alors il est plus petit que a u1+b v1ce
qui est contradictoire.
Donc r= 0 . Autrement dit mdivise a.
De la mˆeme mani`ere on montrerait que mdivise b.
Ainsi mest un diviseur commun aet bqui sont premiers entre eux. D’o`u m= 1.
2.6 Corollaire du th´eor`eme de Bezout
gest le pgcd (a;b) signifie qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u;v) tel que a u +b v =g.
D´emonstration 7
On sait que a
get b gsont premiers entre eux. Et donc d’apr`es le th´eo`erme de Bezout il existe un couple d’entiers
relatifs (u;v)tel que a
gu+b gv= 1.
Autrement dit il existe un couple d’entiers relatifs (u;v)tel que a u +b v =g.
3 PPCM
3.1 D´efinitions
Soit aet bdeux entiers naturels non nuls.
•On note M(a) l’ensemble des multiples de astrictement positifs et M(b) ceux de b.
Les ´el´ements communs ces deux ensembles constitue un ensemble not´e M(a;b) , ensemble des multiples communs
Arithm´etique 5 Page 5 Francis Rignanese