Chapitre 8. Loi binomiale et échantillonnage

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QCM chapitre 8 (cf. p. 234 du manuel)
Pour bien commencer
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice 1.
Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés à 6 faces et à faire la somme des numéros des
faces supérieures.
a. La probabilité d’obtenir 4 est :
A 1
12 B 1 18 C 1 36 D 1 11
b. La probabilité d'obtenir 12 est :
A 1
6 B
1
11 C
1
12 D 1 36
c. La probabilité d’obtenir un total supérieur à 10 est :
A 1
3 B
3
11 C
1
12 D 5 36
Réponses justes : a. A
b. D
c. C
On déduit ces réponses de la loi de la somme des numéros des deux dés, qui est donnée ci-dessous :
Somme des numéros 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilités 1
36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36
Exercice 2.
L’algorithme ci-dessous calcule la fréquence d'apparition du 6 pour n lancers d'un dé à 6 faces.
a. La première zone grisée contient l'instruction :
A « Tant que S ⩽ n : »
B « Répéter n fois : »
C « Pour S allant de 0 à n »
D « Si A ≠ 6 »

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Réponse juste : B
Entre les deux zones grisées, on teste la valeur du dé. L’algorithme doit simuler n lancers d’un dé ; il
faut donc « Répéter n fois » le test.
b. La seconde zone grisée contient l'instruction :
A « Afficher S
n» B « Afficher S »
C « Afficher A » D « Afficher 6
n»
Réponse juste : A
Le nombre de 6 obtenus est contenu dans la variable S. En sortie, on souhaite la fréquence d’apparition
du 6 ; il faut donc « Afficher S
n ».
c. En programmant cet algorithme et en l'exécutant avec n = 100, Sofiane obtient comme réponse 0,21.
Combien le programme aura-t-il réalisé d'affectations de variables ?
A 100 B 121 C 122 D 201
Réponse juste : C
Le programme commence par affecter 0 à S : 1 affectation.
Ensuite, on répète 100 fois « Affecter à A… » : 100 affectations.
La réponse de Sofiane est 0,21. Le « 6 » est donc apparu 21 fois. L’instruction « Ajouter 1 à S » est
donc exécutée 21 fois : 21 affectations.
1 + 100 + 21 = 122
Pour les exercices 3 à 6, on considère une boîte contenant 26 jetons blancs et 14 jetons noirs. Un
échantillon de n jetons correspond à n tirages successifs d’un jeton avec remise.
Exercice 3.
Pour prélever dans cette boîte un échantillon de 10 jetons, on peut :
A prendre 10 jetons l’un après l’autre en les gardant tous.
B prendre 10 jetons l’un après l’autre en les remettant dans la boîte au fur et à mesure.
C prendre 10 jetons l’un après l’autre et ne garder que les jetons blancs.
D prendre 10 jetons d’un seul coup puis les remettre tous dans la boîte.
Réponse juste : B
La définition d’un échantillon de n jetons est rappelée dans l’énoncé.
Exercice 4.
On prélève au hasard 3 jetons dans cette boîte. La probabilité d’obtenir un seul jeton noir est :
A 0,443 625 B 0,147 875
C
2
713
320 20 ×× D
713
220 20
××

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Réponse juste : C
La probabilité d’obtenir un jeton noir puis deux blancs est égale à :
22
14 26 7 13
40 40 20 20
×=×
. Le
jeton noir peut être obtenu soit au premier tirage, soit au second, soit au troisième. On multiplie donc
par 3 la probabilité précédente.
Exercice 5.
Si on prélève dans cette boîte un échantillon de 100 jetons et on note f la fréquence des jetons blancs
dans cet échantillon, alors :
A f vaut 0,65.
B On ne peut rien dire sur f sans connaître l’échantillon prélevé.
C Au seuil de 95 %, f est comprise entre 0,55 et 0,75.
D f est comprise entre 0 et 1.
Réponses justes : C et D
La proportion de jetons blancs dans la boîte est égale à p = 26
40 = 0,65 et la taille de l’échantillon est
égale à n = 100. Les conditions sur p et n (p compris entre 0,2 et 0,8 et n ⩾ 25) sont vérifiées donc
l’intervalle de fluctuation, au seuil de 95 %, de la fréquence f des jetons blancs dans un échantillon de
taille 100 est l’intervalle 11
;pp
nn
−+
= [0,55 ; 0,75].
Exercice 6.
Si on prélève dans cette boîte un échantillon de 100 jetons et un autre de 25 jetons, et que l’on note f1
la fréquence des jetons blancs dans l’échantillon de 100 jetons et f2 celle dans l’autre échantillon alors :
A f1 et f2 sont égales.
B f1 est plus petite que f2.
C Au seuil de 95 %, la fluctuation de f1 est plus petite que celle de f2.
Réponse juste : C
Plus l’échantillon est grand, plus l’intervalle de fluctuation (au seuil de 95 %) est petit.