Partie du cours d`Algèbre de Bac 2 en mathématiques Petite

Partie du cours d’Algèbre de Bac 2 en
mathématiques
Petite introduction aux anneau-modules
et à leur algèbre linéaire.
Anne-Marie Simon
Université libre de Bruxelles Faculté des Sciences
Département de mathématiques
Première version : 8 novembre 2006
Deuxième version ; 10 décembre 2009
corrigée et complétée le 25 novembre 2010

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Table des matières
1 Anneaux-Modules 1
1.1 Les anneaux-modules et leurs homomorphismes . . . . . . . 1
1.2 Factorisation des homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Groupes d’homomorphismes et anneaux d’endomorphismes 12
1.4 Un théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Sommes et produits directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Modules libres 29
2.1 Parties libres, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Modules libres de type fini et matrices . . . . . . . . . . . . 36
2.3 L’axiome du choix et le lemme de Zorn . . . . . . . . . . . 52
2.4 Autour des bases et de leur cardinal . . . . . . . . . . . . . 57
3 Étude d’un endomorphisme 61
3.1 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Triangulation.......................... 63
3.3 Polynôme minimal, polynôme caractéristique . . . . . . . . 66
3.4 Composantes primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Un théorème de Jordan-Chevalley . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Forme normale de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Dualité 83
4.1 Pointdevue .......................... 83
4.2 Modules et homomorphismes duaux . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Dualité coordonnée pour les modules libres . . . . . . . . . 88
4.4 Lebidual ............................ 90
4.5 Orthodualité .......................... 92
4.6 Propriétés d’exactitude de la dualité . . . . . . . . . . . . . 95
4.7 Dimension d’un dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
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iv TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Anneaux-Modules
1.1. Les anneaux-modules et leurs homomorphismes
Dans ces notes, les anneaux sont tous supposés unitaux (non nuls), leur
addition est le plus souvent désignée par « +», leur multiplication par « ·»
bien que ce « ·» soit le plus souvent omis de la notation, leur neutre additif
est désigné par « 0» et leur neutre multiplicatif par « 1». De même, les
homomorphismes d’anneaux ici considérés sont tous des homomorphismes
d’anneaux unitaux, ce qui signifie qu’ils appliquent le neutre multiplicatif
du premier anneau sur le neutre multiplicatif du second.
Dans la définition d’espace vectoriel sur un corps K, remplaçons le
corps par un anneau (unital), nous obtenons alors la définition d’anneau-
module, à gauche ou à droite, selon que les coefficients, c.-à-d. les éléments
de l’anneau, s’écrivent à gauche ou à droite des éléments du module. Plus
précisément, nous avons.
Définition 1.1.1. Soit Aun anneau. Un A-module gauche est un groupe
commutatif (M, +) muni d’une multiplication scalaire à gauche par les élé-
ments de l’anneau A, c.-à-d. d’une fonction
A×M→M: (a, w)7→ aw
telle que, ∀a, b ∈A, ∀v, w ∈M, on a :
a(v+w) = av +aw,(a+b)v=av +bv (double distributivité),
a(bv) = (ab)v(associativité mixte),
1v=v.
Le neutre du groupe additif (M, +) sera aussi désigné par 0.
Observons les identités suivantes valables pour un A-module gauche :
∀a∈A, ∀w∈M, 0w= 0, a0 = 0,(−1)w=−w.
De la même façon, un A-module droit est un groupe commutatif
(M, +) muni d’une multiplication scalaire à droite par les éléments de l’an-
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