Introduction à la théorie des modules - IMJ-PRG

Chapitre 4
Introduction `ala th´eorie des
modules
4.1 D´efinitions et exemples de base
Soit Aun anneau.
D´efinition 4.1.1. Un module (`agauche) sur Aest un groupeab´elien M
muni d’une op´eration externe :
A×M→M
(a, v)7→ a.v
qui v´erifie :
la double distributivit´e:∀(a, b)∈A2∀v∈M(a+b).v =a.v +b.v et
∀a∈A∀(v,w)∈M2a.(v+w)=a.v +a.w ;
l’associativit´emixte :∀(a, b)∈A2∀v∈Ma.(b.v)=(ab).v ;
l’action du neutre :∀v∈M1.v =v.
Un module sur un corps est un espacevectoriel.
Exemples 4.1.2.1. Un anneau Aest un module sur lui-mˆeme ;une alg`ebre
sur Aest aussi un module.
2. Un groupeab´elien est un module sur Z.
D´efinition 4.1.3. Un sous-module d’un A-module Mest un sous-groupe
ab´elien qui est stable pour l’op´eration externe.
Remarque 4.1.4.Les sous-modules de l’anneau A,vu comme module `a gauche
sur lui-mˆeme sontles id´eaux `a gauche.
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L’intersection d’une famille de sous-modules est un sous-module, et on adonc
une notion de sous-module engendr´epar une partie non vide F⊂M:le plus
petit sous-module qui contientF.
Proposition 4.1.5. Lesous-module engendr´epar F⊂Mest l’ensemble
C(F)des combinaisons lin´eaires des ´el´ements de F.
D´efinition 4.1.6. La somme (interne) d’une famille de sous-modules de M
est le sous-module engendr´epar la r´eunion. On la note :X
i∈I
Mi.
D´efinition 4.1.7. Une application f:M→Nentre les A-modules Met N
est A-lin´eaire si et seulementsi elle respecte les combinaisons lin´eaires :
∀(a, b)∈A2∀(v,w)∈M2f(a.v +b.w)=a.f(v)+b.f(w).
Les applications A-lin´eaires de Mvers Nformentun module not´e
HomA(M,N). Les applications A-lin´eaires de Mdans M(endomorphismes)
formentune alg`ebre sur A,not´eEndA(M). L’application r´eciproque d’un en-
domorphisme bijectif est lin´eaire :les endomorphismes bijectifs du A-module
Mformentun groupenot´eGLA(M).
Proposition 4.1.8. Image et noyau d’une application lin´eairesont des sous-
modules.
4.2 Exemples fondamentaux
4.2.1 Changementd’anneau
Si Best une A-alg`ebre, tout B-module est aussi un A-module.
4.2.2 Les modules AIet A(I)
On note AIl’alg`ebre des applications de l’ensemble Idans A.On utilisera
habituellementla notation a=(ai)i∈Iet le vocabulairefamille.
Les familles `a support fini formentun id´eal, donc un sous-module not´eA(I).
Les ´el´ementde A(I)s’´ecriventde mani`ere unique comme combinaison lin´eaire
des eiqui prennentla valeur 1en iet 0ailleurs (base canonique).
Proposition 4.2.1 (Propri´et´euniverselle).LeA-module A(I)muni de la
base canonique (ei)i∈Iv´erifie la propri´et´euniverselle suivante :Pour tout
A-module M,et toute famille (bi)i∈Id’´el´ements de M,il existe une unique
application lin´eairef:A(I)→Mqui envoie chaque eisur bi.
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D´efinition 4.2.2. Le A-module Mest libre de base (bi)i∈Isi et seulement
si l’application lin´eaire d´efinie dans la proposition pr´ec´edente est un isomor-
phisme.
4.2.3 Somme et produits directs
Soit (Mi)i∈Iune famille de module.
D´efinition 4.2.3. Le produit Y
i∈I
Mimuni des op´erations :
(xi)+(yi)=(xi+yi),a.(xi)=(a.xi),
est un A-module.
Pour chaque j∈I,la projection pj:Y
i∈I
Mi→Mjest lin´eaire.
Proposition 4.2.4 (Propri´et´euniverselle).Pour tout A-module Net toute
famille d’applications lin´eaires fi:N→Mi,il existe une unique application
lin´eairef:N→Y
i∈I
Mitelle que :∀jfj=pj◦f.
D´efinition 4.2.5. La somme directe M
i∈I
Miest le sous-module du produit
constitu´edes familles (xi)qui n’ontqu’un nombre fini de termes non nuls
(presque nulles).
Pour chaque j∈I,on d´efinit une application lin´eaire injective:kj:Mj→
M
i∈I
Mien associant`a xjla famille dontle seul terme non nul est xj.
Proposition 4.2.6 (Propri´et´euniverselle).Pour tout A-module Net toute
famille d’applications lin´eaires gi:Mj→N,il existe une unique application
lin´eaireg:M
i∈I
Mi→Ntelle que :∀jgj=g◦kj.
Lorsque les modules Misontdes sous-modules d’un module M,les inclusions
d´efinissentune application lin´eaire canonique g:M
i∈I
Mi→M.
D´efinition 4.2.7. a) On dit que la somme interne des modules Miest directe
si et seulementsi l’application canonique gest injective.
b) On dit que Mest somme directe des Milorsque l’application canonique
gest bijective.
c) Deux sous-modules de Msontsuppl´ementaires si et seulementsi Mest
´egal `a leur somme directe (chacun est dit suppl´ementaire de l’autre).
Exercice4.2.8.Montrer que des sous-modules sonten somme directe si et
seulementsi chacun aune intersection triviale avec la somme des autres. 21/10/2010
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4.2.4 Module quotient
Proposition 4.2.9. Soit Nun sous-module d’un A-module M,alors
l’op´eration externe induit sur le groupeab´elien quotient M/Nune structure
de A-module.
Proposition 4.2.10 (Factorisation d’un morphisme d’anneau).Soit
f:M→M′une application lin´eaire, Nun sous-module de M,
p:M→M/Nla projection canonique.L’application lin´eaireffacto-
rise par le quotient M/Nsi et seulement si N⊂Ker(f).Lemorphisme ga
mˆeme image que fet est injectif si et seulement si N=Ker(f).
Corollaire 4.2.11 (Premier th´eor`eme d’isomorphisme).Soit f:M→N
une application lin´eaire, alors le quotient M/Ker(f)est isomorphe `a l’image
de f.
Exercice4.2.12 (Second th´eor`eme d’isomorphisme).SoientNet Pdeux
sous-module de M.D´emontrer que :(N+P)/P est isomorphe `a N/N∩P.
Exercice4.2.13 (Troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme).SoientP⊂Ndeux
sous-modules de M.D´emontrer que l’inclusion de Ndans Minduit une iden-
tification de N/P avec un sous-module de M/P ,et que :M/Nest isomorphe
`a (M/P )/(N/P ).
4.3 Modules de typefini
D´efinition 4.3.1. Un A-module est de typefini si et seulements’il est en-
gendr´epar un nombre fini d’´el´ements.
Remarque 4.3.2.La condition ´equivaut `a l’existence d’une application lin´eaire
surjectivef:An→M,c’est `a dire `a l’existence d’un isomorphisme avec un
quotientde An.
Lemme 4.3.3. Soit Nest un sous-module de typefini d’un A-module M.Si
le quotient M/Nest de typefini, alors Mest de typefini.
Th´eor`eme 4.3.4. Sur un anneau commutatif noeth´erien, tout sous-module
d’un module de typefini est de typefini.
Th´eor`eme 4.3.5 (Hilbert).Si Aest une anneau commutatif noeth´erien,
alors A[X]et plus g´en´eralement A[X1,...,Xn]sont des anneaux noeth´eriens.
Proposition 4.3.6. Un quotient d’un anneau noeth´erien est noeth´erien.
Corollaire 4.3.7. Si Aest un anneau commutatif noeth´erien, tout quotient
de A[X1,...,Xn]est noeth´erien.
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4.4 Produit tensoriel de deux modules
D´efinition 4.4.1. Lorsque M,Net Fsonttrois modules sur un mˆeme
anneau commutatif A,on appelle application bilin´eaire une application
f:M×N→F,qui est lin´eaire dans chacune des deux variables.
Le produit tensoriel permet de ramener l’´etudedes applications bilin´eaires `a
celle des applications lin´eaires.
D´efinition 4.4.2. Lorsque Met Nsontdeux modules sur un mˆeme anneau
commutatif A,un produit tensoriel de Met Nest un couple (E,φ), o`uE
est un A-module, φ:M×N→Fest une applicationbilin´eaire, qui satisfait
la propri´et´euniverselle suivante :
Pour toute application bilin´eaire f:M×N→F, il existe une unique
application lin´eaire g:E→Ftelle que :f=g◦φ.
Proposition 4.4.3. Deux produits tensoriels des A-modules Met Nsont
canoniquement isomorphes. On dit que le produit tensoriel est unique `a iso-
morphique canonique pr`es. 25/10/2010
Th´eor`eme 4.4.4. Deux modules Met Nsur le mˆeme anneau commutatif
Aadmettent un produit tensoriel not´eM⊗AN=M⊗N:le quotient de
C=A(M×N)par le sous-module des ´el´ements de la forme :o`ue(x, y),x∈M,
y∈Nest la base canonique de C.
La classe de e(x, y)dans M⊗Nsera not´ee x⊗y.
Proposition 4.4.5. Soit Aune anneau commutatif. Pour tous les ensembles
Iet J,on aun isomorphisme canonique :
A(I)⊗A(J)≈A(I×J).
Corollaire 4.4.6. Leproduit tensoriel de deux modules libres sur un anneau
commutatif Aest un module libresur A.
Proposition 4.4.7. Si Jest un id´eal de l’anneau commutatif A,alors
A(I)⊗A/J est un A/J-module et on aun isomorphisme canonique
A(I)⊗A/J ≈(A/J)(I).
Corollaire 4.4.8. Soit Jun id´eal de l’anneau commutatif A.Si Mun A-
module libre, alors M⊗A/J est un A/J module libre.
Si Sest une partie multiplicativede l’anneau int`egre A,on note S−1Mle
S−1A-module des fractions de M`a d´enominateurs dans S.C’est le quotient
de M×Spar la relation :
(v,s)∼(v′,s′)↔∃t∈Sts′v=tsv′.
Proposition 4.4.9. On aun isomorphe canonique S−1A⊗M≈S−1M.
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