Spin et Vorticité en Relativité d`Échelle

Premières Rencontres d’Avignon (2007-2009) autour de la Relativité d’Échelle
Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5, pages 67 à 70 sur 300
Spin et Vorticité en Relativité d'Échelle
Marie-Noëlle Célérier*
* Laboratoire Univers et Théories (LUTH)
Observatoire de Paris-Meudon, CNRS, Université Paris VII
5 place Jules Janssen - 92195 Meudon cedex, France
e-mail : [email protected]

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Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5
1. Le spin
Tout comme la relativité générale d'Einstein, la relativité d'échelle est une théorie
géométrique de la nature. Toutefois, l'essence fractale de son espace-temps est un
produit de l'abandon de l'hypothèse de différentiabilité de cet espace-temps retenue
en relativité générale.
Nous avons vu, dans un précédent exposé (M. N. Célérier 2007a), que la
mécanique quantique pouvait être entièrement fondée dans ce cadre. Or, il est bien
connu que le spin est un « moment cinétique » intrinsèque qui n'a aucune contre-
partie en mécanique classique. Si donc la mécanique quantique est, comme nous
l'avons montré, une théorie dont les propriétés non classiques sont dues à la
domination des fluctuations fractales au sein de l'espace-temps, l'apparition du spin
doit lui être intimement liée. Nous avons pu vérifier que ceci était effectivement le cas.
Dans son ouvrage de 1993 (L. Nottale 1993), Laurent Nottale proposait des
exemples de courbes de dimension fractale 2 ayant un spin de valeur exactement
égale à celui de l'électron. Or la dimension fractale 2 est, en relativité d'échelle, celle
de l'espace-temps de la mécanique quantique à (relativement) basse énergie. À ce
stade toutefois, un traitement plus complet du problème restait nécessaire.
La démonstration de l'équation de Schrödinger (équation d'évolution de la
fonction d'onde d'un système physique de spin ½) était également une première
étape vers l'obtention du spin en relativité d'échelle (L. Nottale 1993). Toutefois, à
ce stade, seul l'espace était quantifié et il manquait encore la quantification du temps.
Cette quantification de l'espace-temps à quatre dimensions fut obtenue en 2001
(M. N. Célérier and L. Nottale 2001) et publiée ultérieurement ((M. N. Célérier and
L. Nottale 2003, 2004), lorsque l'équation de Dirac (équation d'évolution de la
fonction d'onde de l'électron relativiste) fut également démontrée. Cette fonction
d'onde, représentée en mécanique quantique standard par des objets mathématiques
appelés bi-spineurs, émerge tout naturellement des principes premiers de la relativité
d'échelle, sous forme d'objets mathématiques aux propriétés équivalentes (appelés
bi-quaternions). Or, comme leur nom l'indique, les bi-spineurs (et donc les bi-
quaternions) représentent des entités physiques dotées d'une propriété quantique
particulière, le spin, qui est ici obtenu dans le cas relativiste, c. à d., pour un espace-
temps non-différentiable.
Ceci a été illustré par des simulations de géodésiques spinorielles au sein d'un
espace fractal, basées sur des solutions exactes de l'équation de Pauli qui est la limite
non-relativiste de l'équation de Dirac. Cette équation de Pauli a également pu être
démontrée à partir des principes fondamentaux de la relativité d'échelle et ses
propriétés particulières, notamment sa prédiction de la valeur correcte du moment
magnétique de l'électron, reformulées dans ce contexte (M. N. Célérier and
L. Nottale 2006).
Nous pouvons donc désormais donner au spin, considéré en mécanique
quantique standard comme une propriété intrinsèque décrite essentiellement en
termes algébriques (mathématiques), une représentation géométrique issue de la
fractalité de l'espace-temps, et donc en obtenir une compréhension plus physique
(voir les figures dans M. N. Célérier and L. Nottale 2006).

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2. La vorticité
Une propriété bien connue de l'équation de Schrödinger est que, lorsqu' on lui
applique une transformation dite de Mädelung, on obtient des équations de type
mécanique des fluides où les composantes de la fonction d'onde peuvent être
interprétées comme permettant d'obtenir la densité (sous forme de probabilité de
présence) et le champ de vitesse d'un flot irrotationnel au sein d'un fluide
compressible (E. Mädelung 1927).
À la suite de Mädelung, Takabayasi appliqua le même type de transformation à
l'équation de Klein-Gordon complexe et obtint également les équations du
mouvement pour une quantité de type courant relativiste irrotationnel
(T. Takabayasi 1952, 1953). Toutefois, cet auteur se heurta à un problème
d'interprétation du « potentiel quantique » apparaissant dans les équations qui ne fut
résolut que plusieurs années plus tard par Laurent Nottale dans le cadre de la
relativité d'échelle (L. Nottale 2005).
De plus, l'interprétation « fluide » de la mécanique quantique, telle que proposée
par Bohm (1952), était incompatible avec certaines propriétés bien établies des
particules (T. Takabayasi 1952, 1953). Or, ces inconvénients disparaissent lorsque
l'on se place dans le cadre de la relativité d'échelle (L. Nottale and M. N. Célérier
2007).
Il convient également de se rappeler qu'en relativité d'échelle existe non
seulement une équation de Schrödinger quantique, applicable à la physique à très
petite échelle, mais également une équation de Schrödinger « macroscopique »
applicable à des phénomènes physiques « classiques » présentant certaines
propriétés particulières (L. Nottale 1997; L. Nottale, G. Schumacher and
E. T. Lefèvre 2000; L. Nottale 2001). De plus, les transformations de type Mädelung
sont réversibles, c. à d., que l'on peut « remonter » des équations de la mécanique
des fluides vers celles de la mécanique quantique (T. Takabayasi 1952, 1953 ;
L. Nottale 1997). Ceci a constitué une motivation pour nous inciter à tenter de
construire une mécanique des fluides à partir des équations de type quantique issues
de la relativité d'échelle.
Il a ainsi pu être démontré que la mécanique des fluides irrotationnels
correspondait à des cas particuliers des équations de Schrödinger et de Klein-
Gordon et que la vorticité rencontrée dans d'autres sortes d'écoulements pouvait
apparaître par transformation de l'équation de Schrödinger avec champ vectoriel
(L. Nottale 2008) pour des fluides non-relativistes ou de l'équation de Dirac
(M. N. Célérier 2007b) pour des fluides relativistes. Soulignons toutefois que ce
travail est loin d'être achevé, mais que son but ultime serait d'obtenir, si possible,
une théorie physique cohérente de la turbulence qui n'est actuellement décrite que de
manière phénoménologique. En effet, les lignes de courant d'un fluide turbulent
pourraient être non-différentiables ce qui nous incite à examiner si la relativité
d'échelle ne pourrait pas être un bon contexte pour la compréhension d'un tel
phénomène.
Nous conclurons en remarquant que, dans l'état actuel de nos résultats, il semble
que le spin en mécanique quantique et la vorticité en mécanique des fluides
n'émergent pas forcément dans les mêmes conditions de fractalité de l'espace ou de
l'espace-temps. À titre d'exemple, l'équation de Schrödinger, alors qu'elle décrit un
électron dont le spin est l'une des propriétés géométriques des géodésiques de

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l'espace non-différentiable qui le représentent, quelles que soit les conditions par
ailleurs, ne correspond à un fluide classique rotationnel que dans certains cas bien
particuliers, tel par exemple celui d'un système soumis à l'action d'un champ
vectoriel. Ceci nous amène à conclure que les deux propriétés, malgré leur apparente
similitude, sembleraient être de nature fondamentalement différente.
3. Références bibliographiques
M. N. Célérier, 2007a, « Relativité d'Echelle et Mécanique Quantique », ce numéro.
L. Nottale, 1993, Fractal Space-Time and Microphysics: Towards a Theory of Scale
Relativity, World Scientific, Singapore.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2001, arXiv: hep-th/0112213.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2003, Electromagnetic Phenomena T. 3, N. 1 (9), 83.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2004, J. Phys. A: Math. Gen. 37, 931.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2006, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 12565.
E. Mädelung, 1927, Zeit. für Phys. 40, 322.
T. Takabayasi, 1952, Progr. Theor. Phys. 8, 143.
T. Takabayasi, 1953, Progr. Theor. Phys. 9, 187.
L. Nottale, 2005, Progr. Phys. 1, 12.
L. Nottale and M. N. Célérier, 2007, J. Phys. A: Math. Gen. Accepté pour publication.
L. Nottale, 1997, Astron. Astrophys. 327, 867.
L. Nottale, G. Schumacher and E. T. Lefèvre, 2000, Astron. Astrophys. 361, 379.
L. Nottale, 2001, in Frontiers of Fundamental Physics, Proceedings of Birla Science
Center Fourth International Symposium, 11-13 dec. 2000, Hyderabad, India, Eds. B.G.
Sidharth and M.V. Altaisky, (Kluwer Academic), p. 65.
L. Nottale, 2008, The Theory of Scale Relativity – Nondifferentiable Space-Time, Fractal
Geometry and Quantum Mechanics, (livre, 518 pp.) Soumis pour publication.
M. N. Célérier, 2007b, En préparation.