Organisation des Systèmes Planétaires dans le Cadre de la

Premières Rencontres d’Avignon (2007-2009) autour de la Relativité d’Échelle
Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5, pages 26 à 30 sur 300
Organisation des Systèmes Planétaires dans le
Cadre de la Relativité d’Échelle
P. H. M. Galopeau *
* CETP, CNRS, IPSL, Vélizy, France
RÉSUMÉ. Les mouvements des planétésimaux au sein de la nébuleuse protoplanétaire
qui donnera naissance à un système planétaire sont décrits, dans le cadre de la relativité
d’échelle développée par L. Nottale, en termes de trajectoires fractales et de processus
irréversibles. Dans ce contexte, l’équation fondamentale de la dynamique prend la forme
d’une équation de Schrödinger dont les solutions conduisent à une distribution statistique des
planétésimaux faisant apparaître des pics de probabilité pour certaines grandeurs
conservatives telles que l’énergie ou le vecteur de Runge-Lenz. En conséquence, une fois
l’accrétion terminée, les éléments orbitaux des corps du système planétaire (semi-grands
axes, excentricités) se distribuent autour de valeurs de probabilité maximum :
an = (GM/w2)n2 et e = k/n respectivement, où k et n sont des nombres entiers. M désigne la
masse de l’étoile centrale et w une constante ayant la dimension d’une vitesse. Les
observations correspondant à notre propre système solaire ainsi que les celles récentes des
systèmes planétaires extra-solaires confirment d’une manière très significative les prédictions
de « quantification » de an et e. Ces systèmes gravitationnels s’organisent en hiérarchie
faisant apparaître des constantes w multiples ou sous-multiples de w0 = 144.7
0.5 km/s.

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1. Description fractale de la nébuleuse protoplanétaire
Le modèle standard de formation des systèmes planétaires est reconsidéré dans le
cadre de la relativité d’échelle (cf. références citées en fin d’article). Au-delà de
l’horizon de prédictibilité, nous supposons que le mouvement des planétésimaux est
hautement chaotique et vérifie les trois conditions suivantes :
 Les trajectoires possibles sont en nombre infini (le mouvement n’est
plus déterministe) ;
 Les trajectoires sont des lignes fractales de dimension DF = 2
(mouvement de type brownien) ;
 On abandonne l’hypothèse de différentiabilité, ce qui implique une
irréversibilité « microscopique » dans les transformations dt  dt.
Il résulte que le déplacement élémentaire dX le long d’une fractale durant dt se
décompose en la somme de deux termes : dX = dx + d
avec x la coordonnée de
position (différentiable) vérifiant dx = v dt et d
une fluctuation remplissant les
conditions <d
> = 0 et <d
2> = 2 D dt. Le paramètre D représente une échelle de
longueur caractéristique du système.
Comme le mouvement est supposé localement irréversible, il est nécessaire de
distinguer deux dérivées temporelles d+/dt et d/dt que l’on peut rassembler en un
opérateur complexe :
()()
2
dd idd
dt dt
d,
ce qui conduit à définir une vitesse complexe de la façon suivante :
22
vv vv
xiViU
dt
d
V
et on démontre que la dérivée complexe le long d’une trajectoire fractale
devient :
Dans ces conditions, l’équation fondamentale de la dynamique prend la forme
d’une équation de Schrödinger :

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Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5
où
= exp(iS/2m D ), liée à l’action complexe S, est telle que
*
est une
densité de probabilité proportionnelle à la densité de matière des planétésimaux.
 = GM/r est le potentiel gravitationnel de l’étoile de masse M.
2. Distribution des semi-grands axes
La recherche de solutions stationnaires conduit à une distribution des semi-
grands axes des planètes présentant des pics de probabilité : a
n
= (GM/w
2
)n
2
où n est
un entier et w une vitesse multiple ou sous-multiple de w
0
= 144.70.5 km/s qui a été
déterminé de manière indépendante à partir de différents systèmes gravitationnels
(systèmes planétaires, étoiles binaires, couples de galaxies…). Cette loi est très bien
vérifiée observationnellement par les planètes du système solaire et les exoplanètes.
Figure 1. (Gauche) Histogramme de la distribution de n = w
0
(P/2GM)
1/3
où P est la
période sidérale de la planète, M la masse de l’étoile et w
0
= 144 km/s. Dans ce graphique on
a choisi 127 planètes et exoplanètes vérifiant
n
< 0.25. (Droite) Histogramme de la déviation
n à partir de l’entier le plus proche. La probabilité d’obtenir une telle distribution par hasard
est P < 1.510
4
.
Figure 2. Système solaire externe (planètes géantes, KBO, SKBO) : histogramme de la
distribution du semi-grand axe a. On a représenté la valeur du rang n correspondant à
n = w(P/2GM)
1/3
= w(a/ GM)
1/2
où P est la période sidérale M la masse solaire et

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w = 144/5 = 28.8 km/s. Les pics n = 8 et n = 9 sont légèrement décalés par rapport aux
prédictions théoriques probablement à cause des résonances avec Neptune.
3. Distribution des excentricités
L’équation de Schrödinger du mouvement d’un corps dans un potentiel
gravitationnel Newtonien peut être résolue en coordonnées paraboliques. Dans ce
cas, les solutions sont des états correspondant à des valeurs bien définies de
l’énergie E et des projections sur un axe z du moment angulaire L et du vecteur de
Runge-Lenz A (dont le module est égal à l’excentricité). En choisissant l’axe z selon
le demi-grand axe de l’orbite, on obtient la « loi de quantification » des
excentricités :
z
k
Ae
n
où k est un entier variant de 0 à n1, et n le « nombre quantique principal »
précédemment défini. Les observations des planètes du système solaire et les
exoplanètes confirment l’existence de pics de probabilité aux valeurs entières
prédites.
Figure 3. (Gauche) Histogramme de la distribution de k = e  n où k est l’excentricité et n
le « nombre quantique principal » défini comme la partie entière de [w
0
(P/2GM)
1/3
+1/2], P
étant la période sidérale de la planète, M la masse de l’étoile et w
0
= 144 km/s. Dans ce
graphique, on a choisi 124 planètes et exoplanètes vérifiant
k
< 0.5. (Droite) Histogramme de
la déviation k à partir de l’entier le plus proche. La probabilité d’obtenir une telle
distribution par hasard est P < 2.410
7
.
4. Références bibliographiques
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Relativity, London, World Scientific.
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