Relativité d`Échelle et Mécanique Quantique

Premières Rencontres d’Avignon (2007-2009) autour de la Relativité d’Échelle
Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5, pages 71 à 73 sur 300
Relativité d'Échelle et Mécanique Quantique
Marie-Noëlle Célérier*
* Laboratoire Univers et Théories (LUTH)
Observatoire de Paris-Meudon, CNRS, Université Paris VII
5 place Jules Janssen - 92195 Meudon cedex, France
e-mail : [email protected]

72 Premières Rencontres d’Avignon (2007-2009) autour de la Relativité d’Échelle
Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5
La mécanique quantique est une théorie qui a rencontré d'énormes succès pour la
description de la physique à très petite échelle (physique atomique et physique des
particules) ainsi que dans le domaine classique des phénomènes de type supra-
conductivité ou super-fluidité. Une théorie fondamentale, telle la relativité d'échelle,
se doit donc de reproduire, à partir des principes premiers qui la fonde, les
prédictions de cette mécanique quantique confirmées par l'expérience et
éventuellement aller au-delà avec de nouvelles prédictions qui devront soit être
confirmées par l'expérience (ce qui renforcerait la théorie), soit infirmées (ce qui
invaliderait la théorie).
Or, il convient de souligner que, bien que très puissante dans ses applications, la
mécanique quantique standard actuelle et son développement relativiste, la théorie
des champs, ne reposent que sur un ensemble de postulats, posés a priori, dont la
validité n'est pas établie à partir de principes premiers.
Ceci n'est pas le cas de la théorie physique destinée à décrire la gravitation, à
savoir la relativité dite générale, qui repose sur le principe de relativité développé
initialement par Galilée, puis par Einstein. Cette théorie peut être considérée, parmi
le corpus standard de la physique moderne, comme la seule dont les équations soient
parfaitement démontrées à partir de principes premiers qui établissent un lien
réciproque entre les phénomènes observés et la structure géométrique de l'espace-temps.
Inspiré par ces constatations, Laurent Nottale suggéra, dans les années 1979-
1980, que les propriétés quantiques puissent provenir d'une nouvelle manifestation
du principe de relativité élargi aux transformations d'échelle. Il fut alors amené à
décrire la nouvelle relativité d'échelle comme une physique agissant au sein d'un
espace-temps non-différentiable et donc fractal, et à entamer la construction de la
mécanique quantique sur ce principe relativiste généralisé (L. Nottale and J. Schneider
1984, L. Nottale 1993).
Ce travail s'est poursuivi au cours des années suivantes et nous sommes à présent
en mesure de fonder les lois de la mécanique quantique sur ce principe de relativité
généralisé dans le cadre de la théorie de la relativité d'échelle.
En ce qui concerne la mécanique quantique non-relativiste (de mouvement),
nous avons identifié cinq postulats principaux dont peuvent être déduits les autres
« axiomes », souvent présentés comme tels dans la littérature, mais n'étant en réalité
que des conséquences de ces postulats principaux. Ceux-ci ont tous été démontrés
grâce aux principes premiers de la relativité d'échelle (L. Nottale and M. N. Célérier
2007), ce qui confère à présent à la mécanique quantique le statut de théorie à part
entière, dont une description géométrique est disponible au même titre que pour la
relativité générale d'Einstein.
Les équations de la mécanique quantique relativiste ont également fait l'objet
d'une démonstration avec les méthodes de la relativité d'échelle. L'équation de
Klein-Gordon qui décrit l'évolution de la fonction d'onde d'une particule relativiste
de spin 0 a été démontrée la première (L. Nottale 1994). Puis, l'équation de Dirac
pour l'électron et son anti-particule, le positron, a émergé d'un niveau plus profond
de la théorie (M. N. Célérier and L. Nottale 2001), ce qui nous a permis de donner
une interprétation rigoureuse de la transition classique-quantique/quantique-
classique (M. N. Célérier and L. Nottale 2004). Enfin, conformément à sa propriété
connue de longue date en mécanique quantique, l'équation de Pauli pour une

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particule de spin ½, tel l'électron, a été obtenue comme limite non-relativiste de
l'équation de Dirac (M. N. Célérier and L. Nottale 2006).
Les bases des théories quantiques des champs ont également été refondées dans
le cadre de la relativité d'échelle. Ce fut le cas, tout d'abord, des théories de jauge
abéliennes qui servent à décrire l'électromagnétisme (L. Nottale 1994, L. Nottale
2003), puis des théories de jauge non-abéliennes qui décrivent les interactions
nucléaires (electro-)faibles et fortes et que l'on soupçonne d'être de bonnes
candidates à l'unification des forces à très petites échelles, c. à d., à très grande
énergie (L. Nottale, M. N. Célérier and T. Lehner 2006).
Nous nourrissons l'espoir que l'ensemble des transformations d'échelle, qui
agissent sur les variables d'échelles internes qui décrivent la structure fractale et qui
impliquent des transformations sur les coordonnées spatio-temporelles puis sur les
diverses grandeurs physiques, puisse être ainsi suffisamment riche pour générer la
totalité des champs à l'oeuvre dans l'univers, y compris le boson de Higgs, sensé
fournir leur masse aux particules, et qui est activement recherché par les physiciens
des particules dans les grands accélérateurs, dont le LHC en cours de construction à
Genève. Une estimation préliminaire de la masse de ce boson de Higgs a été
proposée par Laurent Nottale (L. Nottale 2000, L. Nottale 2001). Il nous reste
toutefois à poursuivre le développement de ces travaux de manière à obtenir la
représentation géométrique, au sein d'un espace-temps fractal, d'une théorie des
champs complète qui permettrait l'unification des lois de la physique à très petite
échelle et pourrait constituer une alternative aux théories actuellement à la mode
(théorie des cordes, supersymétrie, etc.) dont les résultats n'ont jusqu'à présent fourni
aucune prédiction soit cohérente, soit vérifiable.
1. Références bibliographiques
L. Nottale and J. Schneider, 1984, J. Math. Phys. 25, 1296.
L. Nottale, 1993, Fractal Space-Time and Microphysics: Towards a Theory of Scale
Relativity, World Scientific, Singapore.
L. Nottale and M. N. Célérier, 2007, J. Phys. A: Math. Gen. In press.
L. Nottale, 1994, invited conference in Relativity in General, (1993 Spanish Relativity
Meeting), Salas, Eds. J. Diaz Alonso and M. Lorente Paramo (Frontières), pp.121-132.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2001, arXiv: hep-th/0112213.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2004, J. Phys. A: Math. Gen. 37, 931.
M. N. Célérier and L. Nottale, 2006, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 12565.
L. Nottale, 2003, Electromagnetic Phenomena T. 3, N. 1 (9), 24.
L. Nottale, M. N. Célérier and T. Lehner, 2006, J. Math. Phys. 47, 032303.
L. Nottale, 2000, in Science of the Interface, Proceedings of the International Symposium
in honor of Otto Rössler, ZKM Karlsruhe, 18-21 May 2000, Eds. H. Diebner, T. Druckney
and P. Weibel (Genista Verlag, Tübingen), p. 38.
L. Nottale, 2001, Chaos, Solitons and Fractals 12, 1577.