Université d`Orléans Master de Mathématiques Parcours MA

Université d’Orléans
Master de Mathématiques
Parcours MA
SOM2MT05
Analyse fonctionnelle approfondie
Printemps 2013
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html
Compléments de topologie
Définitions : Une topologie sur un ensemble X est une famille T de parties de X
vérifiant
• ∅, X ∈ T ,
S
• T
est stable par réunion quelconque : Uj ∈ T ∀ j ∈ J =⇒ j∈J Uj ∈ T ,
• T
est stable par intersection finie : U1 , . . . , UN ∈ T =⇒ U1 ∩ . . . ∩ UN ∈ T .
(X, T ) est un espace topologique.
Les éléments de T sont les ouverts de la topologie.
Autres notions de base : Ensemble fermé, voisinage d’un point, adhérence d’une partie,
intérieur d’une partie, frontière d’une partie, convergence d’une suite, continuité d’une
application, comparaison de topologies.
Exemples :
• La topologie grossière T = { ∅, X } ,
• La topologie discrète T = P(X) ,
• La topologie métrique associée à une distance.
Définitions équivalentes de la topologie T engendrée par une famille de parties F d’un
ensemble X :
• T
est la plus petite topologie sur X contenant F
( i.e. l’intersection des topologies sur X qui contiennent
S F ),
•
T est constituée des réunions quelconques A =
j∈J Aj d’intersections finies
b
Aj = Aj,1 ∩ . . . ∩ Aj,Nj d’ensembles Aj,ℓ pris dans F = F ∪ {∅, X }.
Les ensembles Aj sont appelés ouverts fondamentaux .
Exemple : La topologie dans un espace métrique est engendrée par les boules ouvertes.
Définition : Soient fj : X → Xj une famille d’applications d’un ensemble X dans des
espaces topologiques Xj . La topologie initiale pour les applications fj est la topologie
sur X engendrée par les ensembles fj−1 (Uj ), avec Uj ouvert dans Xj .
Propriété universelle de la topologie initiale : Une application f : Y → X d’un espace
topologique Y dans X est continue si et seulement si chaque application composée
fj ◦ f : Y → Xj est continue.
Exemples :
Q
• La topologie produit sur X =
j∈J Xj est la topologie initiale pour les projections
prj : xQ= (xj )j∈J 7−→ xj de X sur Xj . Les ouverts fondamentaux sont les produits
U = j∈J Uj , où Uj est ouvert dans Xj et Uj = Xj en dehors d’un nombre fini
d’indices j ∈ J .
• La topologie induite par un espace topologique Y
sur une partie X est la topologie
initiale pour l’inclusion i : X → Y . Elle est constituée des intersections X ∩ U avec X
des ouverts U de Y .
Définition : Soient fj : Xj → X une famille d’applications d’espaces topologiques Xj
dans un ensemble X . La topologie finale pour les applications fj est définie par
T = { A ⊂ X | fj−1 (A) est ouvert dans Xj ∀ j } .
Propriété universelle de la topologie finale : Une application f : X → Y de X dans
un espace topologique Y est continue si et seulement si chaque application composée
f ◦ fj : Xj → Y est continue.
Exemple : Soit X un espace topologique, muni d’une relation d’équivalence ∼ . La
topologie quotient sur Y = X/ ∼ est la topologie finale pour la projection canonique de
X sur Y .
Définition : Un espace topologique X est séparé (ou de Hausdorff ) si deux points
distincts peuvent toujours être séparés par des ouverts disjoints :
∀ x, y ∈ X avec x 6= y , ∃ U, V ouverts avec x ∈ U , y ∈ V et U ∩ V = ∅ .
Exemple : Tout espace métrique est séparé.
Définition : Un espace topologique X est compact s’il est séparé et s’il vérifie les
conditions équivalentes de Borel–Lebesgue.
Quelques propriétés des espaces compacts :
• Un espace compact possède la propriété de Bolzano–Weierstrass (condition nécessaire,
mais pas suffisante en général).
• Une partie d’une espace compact est compacte (pour la topologie induite) si et seulement si elle est fermée.
• Soit f : X → Y
une application continue d’un espace compact X dans un espace
topologique séparé Y . Alors f (X) est compact et f est un homéomorphisme (i.e. une
application bijective bicontinue) de X sur f (X), si f est injective.
Théorème d’Urysohn : Etant donné deux parties fermées disjointes F0 et F1 dans
un espace compact X , il existe une fonction continue f : X → [ 0, 1 ] égale à 0 sur F0
et à 1 sur F1 .
Théorème de Tietze : Soit Y une partie fermée d’un espace compact X . Alors toute
fonction continue f : Y → C se prolonge en une fonction continue F : X → C avec
max x∈X |F (x)| = max y∈Y |f (y)| .
Q
Théorème de Tychonoff : Un produit X = i∈I Xi d’espaces topologiques est compact si et seulement si chaque composante Xi est compacte.
Exemples :
N
• Le cube de Hilbert [ 0, 1 ]
est compact.
• Soient X un ensemble et Y
un espace topologique. Rappelons que Y X désigne
l’ensemble des applications de X dans Y et observons que la topologie produit sur Y X
coı̈ncide avec la topologie de la convergence simple (ou ponctuelle). D’après Tychonoff,
Y X est compact si et seulement si Y est compact.
Q
Lemme : Un produit X = i∈I Xi d’espaces topologiques est séparé si et seulement si
chaque composante Xi est séparée.
Définition : Une relation d’ordre (partiel) sur un ensemble X est une partie R de
X × X telle que
• (x, x) ∈ R ∀ x ∈ X ,
• (x, y) ∈ R , (y, x) ∈ R =⇒ x = y ,
• (x, y) ∈ R , (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R .
L’ordre est total si deux éléments peuvent toujours être mis en relation.
Autre notation :
• x ≤ y ⇐⇒ (x, y) ∈ R
• x < y ⇐⇒ (x, y) ∈ R et x 6= y
Exemple : L’inclusion A ⊂ B est un ordre partiel sur les parties d’un ensemble X .
Définitions :
x ∈ X est un majorant, resp. un minorant de A ⊂ X si x ≥ y , resp. x ≤ y ∀ y ∈ A .
x ∈ X est maximal, resp. minimal si y ≥ x , resp. y ≤ x =⇒ y = x .
Lemme de Zorn : Tout ensemble non vide ordonné inductif possède un élément maximal (inductif signifie que toute partie totalement ordonnée possède un majorant).
Remarques :
• Axiome de la théorie des ensembles, équivalent à l’axiome du choix .
• Application 1 :
Tout espace vectoriel E possède une base. Plus précisément, tout
système libre dans E peut être complété en une base de E , et tout système de générateurs dans E peut être épuré en une base de E .
• Application 2 :
Dans un anneau commutatif, tout idéal est contenu dans un idéal
maximal (théorème de Krull).
• Application 3 : théorème de Tychonoff
• Application 4 : théorème de Hahn–Banach
Définition : Un espace topologique est localement compact s’il est séparé et si tout point
possède un voisinage compact.
Exemple : Rn est localement compact.
Quelques propriétés des espaces localement compacts :
• Dans un espace localement compact X , tout point x possède un système fondamental
de voisinages compacts (i.e. tout voisinage de x contient un voisinage compact de x).
• Dans un espace localement compact X , une partie Y est localement compacte (pour
la topologie induite) si et seulement si Y est l’intersection d’une partie ouverte et d’une
partie fermée de X .
• Tout espace localement compact est de Baire.
b = X ⊔ {∞} d’un espace localement comProposition : Compactifié d’Alexandroff X
pact (non compact) X :
b
• Les ouverts U de X et les complémentaires X r K des parties compactes K de X
b,
constituent une topologie sur X
b
• X est compact,
b
b
• X est ouvert dans X et la topologie induite par X sur X coı̈ncide avec la topologie
initiale de X .
cn = Sn .
Exemple : R
b = C0 (X) ⊕ C .
Propriété fonctionnelle du compactifié d’Alexandroff : C(X)