FICHE METHODE sur les FONCTIONS CIRCULAIRES I) A quoi sert

FICHE METHODE sur les
FONCTIONS CIRCULAIRES
I) A quoi sert une fonction circulaire ?
a) Exemples :
. Un triangle a deux cotés de 10 cm et l ’angle entre ces 2 cotés est de x° !
Comment varie son aire en fonction de l ’angle x ?
f(x) = 50 sin(x) .
. Il a nagé 100m avec un angle de x° par rapport au bord de la rivière !
A quelle distance du bord se trouve t-il en fonction de l ’angle x ? f(x) = 100 sin(x) .
. Il roule à vélo à la vitesse de 10m.s-1 et les roues ont un rayon de 0,5 mètres.
A quelle hauteur au dessus de la route, la punaise plantée sous son pneu se trouve t-elle en
fonction du temps t ? : f(t) = 0,5 – 0,5 cos(20t) .
. Il court à la vitesse de 5m.s -1 sur un cercle de 10m de rayon.
Quelles sont ses coordonnées en fonction du temps t, dans un repère orthonormal d ’origine le
centre du cercle ? : x(t) = 10cos(0,5t) et y(t) = 10sin(0,5t)
Un pilote veut atteindre 1000m d’altitude en ligne droite en montant avec un angle de x° !
Quelle distance doit-il parcourir en fonction de l ’angle x ?
f(x) =
1000
sin(x)
b) Remarques :
Dans notre univers, il existe de nombreux phénomènes « périodiques» c’est à dire qui reprennent
les mêmes valeurs à intervalles de temps réguliers ( alternance du jour et de la nuit, les saisons,
la pleine lune, l’apparition de la comète de Haley par exemple, les marées, …). Pour rendre
compte de ces phénomènes, on utilise en mathématiques des « fonctions périodiques » et les
fonctions périodiques de référence sont les fonctions circulaires ( cosinus, sinus )
Ce qui suit donne les principales « choses » à connaître concernant ces fonctions.
II) Qu’est ce que la fonction cosinus, sinus ?
Définition 1 : ( CERCLE TRIGONOMETRIQUE )
Un cercle de rayon égal à 1 et orienté ( munis d’un sens direct
et d’un sens indirect ) est appelé cercle trigonométrique.
Le sens direct est aussi appelé sens « trigonométrique »
ou « sens positif ».
( c’est le sens inverse de celui des aiguilles d’une montre )
Cercle trigonométrique
Sens indirect : –
1
Sens direct : +
Propriété 1 : ( CORRESPONDANCE entre IR et le CERCLE TRIGONOMETRIQUE )
Soient I un point du cercle trigonométrique ( appelé l’origine ) et x un nombre réel.
Au nombre réel x, il correspond un unique point M du cercle trigonométrique tel que :
la longueur de l’arc IM soit égale à x
en tournant dans le sens positif si x est positif et dans le
sens négatif si x est négatif. ( l’arc peut dépasser un tour complet )
( admis )
Autrement dit: A tous nombre réel, on peut associer un unique point du cercle trigonométrique
Exemples :
2
Au nombre 1 correspond le point M tel que
IM ait pour longueur 1 en tournant dans le sens + .
Au nombre -3 correspond le point P tel que
IP ait pour longueur 3 en tournant dans le sens – .
Au nombre 7 correspond le point S tel que
IS ait pour longueur 7 en tournant dans le sens + .
1
+
7
M
S
3
I
P
-3
–
4
-1
-2
Remarque :
A des nombres différents, peuvent correspondre le même point du cercle trigonométrique, par
exemple, au nombre 0, correspond le point I, mais au nombre 2π correspond aussi le point I car
périmètre du cercle = 2πR = 2π × 1 = 2π et pour le nombre 2π on a donc fait un tour complet à partir
de I , de même, aux nombres 4π, 6π, 8π, -2π, … correspondent le point I.
Propriété 2 : ( PERIODE DE 2π
π)
Soit un nombre x ∈ IR et M le point correspondant du cercle trigonométrique.
A tous nombres de la forme x + 2kπ
π où k ∈ Z
Z correspond le même point M du cercle
trigonométrique.
( tous les 2π on retombe sur le même point du cercle )
Preuve : Le cercle ayant un rayon de 1, son périmètre est égal à 2π, donc, à partir d’un point, si on
parcours un arc de cercle de longueur 4π, 6π, 8π, -2π, 2kπ ( k ∈ Z
Z ) …alors on effectue
un ou plusieurs tours complets et on se retrouve sur le point de départ.
Définition 2 : ( MESURE PRINCIPALE d’un ANGLE en RADIANS )
Soient I et M deux points non diamétralement opposés du cercle
trigonométrique. Soit O le centre du cercle.
Il n’y a qu’un seul arc faisant strictement moins d’un demi tour et
permettant joindre I à M de I vers M.
La « longueur orientée » de cet arc est appelée mesure principale
de l’angle IOM exprimée en radians.
Cette mesure est nécessairement comprise entre -π ( - ½ tour )
et π ( + ½ tour).
Si les points I et M sont diamétralement opposés alors la mesure
principale est par définition égale à π ( et non pas -π )
M
I
O
Exemples des principales valeurs et positions à retenir :
3π
4
5π
6
π
2π
3
120°
135°
150°
π
2
π
3
π
90°
4
60°
180°
π
0-5π
66
-150°
3π
-0
4
π
6
45°
30°
0
0°
-30°
-135°
-45°
-120°
-60°
-90°
2π
π0
-0
3
3
0π
2
π
0-6
0π
4
Propriété 3 : ( CONVERSION DE MESURE d’ANGLE : DEGRE / RADIAN )
Les mesures d’angles en degrés et radians sont proportionnelles.
360° correspond à 2π
π radians On a
Application : 2π radians
x radians où x est inconnu.
x
50
2π
100π 5π
Les mesures sont proportionnelles donc
=
donc x =
× 50 =
=
radians.
360
360
18
2π 360
360°
50°
mesure de α en radian
mesure de α en degrés
=
360
2π
360°
x°
→
→
2π radians
1 radians où x est inconnu.
1
x
360
180
=
donc x =
×1=
degrés ≈ 57,29°
Les mesures sont proportionnelles donc
2π 360
2π
π
→
→
M
Définition 3 : ( Cosinus et sinus )
Soit O le centre du cercle trigonométrique et ( O,I , J ) un repère
orthornormé.
Soit x un nombre réel et M le point correspondant du cercle
trigonométrique tel que IOM= x.
Le cosinus de x noté cos(x) est l’abscisse du point M dans (O, I, J).
Le sinus de x noté
J
sin(x)
O
cos(x)
sin(x) est l’ordonnée du point M dans (O, I, J).
Il peut ainsi associer à tous nombre réel les nombres cos(x) et sin(x).
π
Exemples : Au nombre
correspond le point J (0 ; 1)
2
π
π
donc : cos( ) = 0 et sin( ) = 1.
2
2
Au nombre π correspond le point de coordonnées (-1 ; 0) donc cos( π ) = -1 et sin( π ) = 0.
II
Propriété 4 : ( VALEURS REMARQUABLES ) ( admis )
x en Degrés
0°
x en Radians
0
Cos(x)
1
Sin(x)
0
Propriété 5 :
Pour tous x ∈ IR on a :
1) -1 ≤ cos(x) ≤ 1 et
30°
π
6
45°
π
4
3
2
1
2
2
2
60°
π
3
1
2
2
2
3
2
90°
π
2
180°
0
-1
1
0
π
-1 ≤ sin(x) ≤ 1
2) cos²(x) + sin²(x) = 1
3) cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = - sin(x)
4) Pour tout k ∈ Z
Z on a cos( x + 2kπ
π) = cos(x) et
sin( x + 2kπ
π) = sin(x)
Eléments de Preuve :
1) Car cos(x) et sin(x) sont les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique de rayon 1.
2) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle IOM.
3) Au nombre x correspond le point M et à -x correspond P,le symétrique de M par rapport à (Ox)
qui a même abscisse que M donc cos(x) = cos(-x), mais qui a une ordonnée opposée à celle de M
donc sin(-x) = -sin(x).
4) Résulte de la propriété 2 car les points qui correspondent aux nombres x + 2kπ sont confondus.
Définition 4 : ( FONCTIONS COSINUS et SINUS )
La fonction cosinus notée cos associe à tous nombre réel x
 IR
IR
le nombre « cosinus x » noté cos(x). cos :  x
cos(x)

La fonction sinus notée sin associe à tous nombre réel x
 IR
IR
le nombre « sinus x » noté cos(x).
sin :  x
sin(x)

→
→

→
→

Exemples :
cos (
1
π
) = = 0,5
3
2
sin(
3
π
)=
≈ 0,86
3
2
III) Propriétés des fonctions cosinus et sinus.
cos(
2
π
)=
≈ 0,70
4
2
Les fonction sinus et
cosinus ont des propriétés caractéristiques en rapport avec les
phénomènes naturels qu’elles permettent de décrire, voici les principales.
Définition 5 : GRAPHIQUES DES FONCTIONS COSINUS et SINUS .
Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des
sinusoides d’équations : y = cos(x) et y = sin(x) .
Voici un tableau de valeurs des fonctions cosinus et sinus ainsi que les courbes partielles:
-5π -3π -2π
π
π
π
π
π
π
π
π 2π 3π 5π
x
0
-π
π
6
4
3
2
3
4
6
6
4
3
2
3 4
6
1
1
3
2 1
2
3
3
2 1
2
3
1
-1
cos(x) -1 0
0 - 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
-π
-5π -3π -2π
6
4
3
Sin(x)
0
-
1
2
-
-
π
2
-
π
3
-
π
4
2
3 - 2 - 3 - 2
2
2
2
2
2
-
π
6
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-
1 y
valeurs de f(x) = cos(x)
« La courbe est une
sinusoide »
0,5
VALEURS de x
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0,5
-1
1 y
valeurs de f(x) = sin(x)
« La courbe est une
sinusoide »
0,5
VALEURS de x
x
0
-3
-2
-1
0
-0,5
-1
1
2
3
Propriété 6 : PARITE et IMPARITE
La fonction cosinus est telle que pour tout nombre réel x ∈ IR on a cos(-x) = cos(x)
On dit alors que la fonction cosinus est « paire » et une conséquence est que la courbe de la
fonction cosinus est symétrique par rapport à (oy).
(résulte de la définition de cos )
Exemple :
-π
3
π
)=
= cos( )
6
2
6
cos(
La fonction sinus est telle que pour tout nombre réel x ∈ IR on a sin(-x) = -sin(x)
On dit alors que la fonction sinus est « impaire » et une conséquence est que la courbe de la
fonction sinus est symétrique par rapport au point O.
(résulte de la définition de sin )
Exemple :
sin(
-π
-1
π
)=
= - sin( )
6
2
6
Propriété 7 : PERIODICITE
Les fonctions cosinus et sinus sont telles que pour tout nombre réel x∈IR et k ∈ Z
Z on a
cos(x + 2kπ
π ) = cos(x) et sin(x + 2kπ
π ) = sin(x) .
On dit alors que les fonctions cosinus et sinus sont « périodiques de période 2π
π » et une
conséquence est que les courbes des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par
translation de vecteur 2π
πi.
( les fonctions reprennent les mêmes valeurs tous les 2π )
(résulte des définitions )

→
Exemples :
cos(
3
-π
π
+ 2π ) =
= cos(- )
2
6
6
Propriété 8 : SENS DE VARIATION et SIGNES .
Pour la fonction cosinus sur [-π
π ; π] :
Valeurs de x
π
-π
π
0
2
1
Variations de
0
x
cos(x)
-1
→
sin(
(admis )
π
2
–
0
+
Pour la fonction sinus sur [-π
π ; π] :
Valeurs de x
π
-π
π
0
2
Variations de
x
sin(x)
→
0
Signe de sin(x)
0
π
2
1
0
+
-1
Le maximum de la fonction
cosinus vaut 1 pour x = 0
Le minimum vaut –1 pour x = π
ou x = -π .
π
sur [-π ; π] :
Le maximum de la fonction
0
-1
–
sur [-π ; π] :
–
0

π
0

Signe de cos(x)
0
-π
-1
π
+ 2π ) =
= sin(- )
6
2
6
–
sinus vaut 1 pour x =
π
2
Le minimum vaut -1 pour x = -
( un cosinus ou un sinus d’un nombre réel est compris entre -1 et 1 )
π
2