UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015 L1 Économie Cours de M. Desgraupes Mathématiques: Mise à niveau Séance 05: Inéquations Table des matières 1 Inéquations à une variable 1.1 Signe des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Signe des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Signe des radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 5 2 Inéquations à deux variables 2.1 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Région du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Systèmes d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 10 11 3 Exercices 14 1 Inéquations à une variable Le problème est de trouver l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles une expression en x est positive ou négative. Par exemple : • 4 x2 − 4 x − 3 • 4 x3 − 8 x2 + x + 3 √ • 3 x2 − 1 • cos(x) sin(x) • sin(3x − π) • log 1 2 − e−x De manière générale, cela revient à résoudre des inéquations. Si E est l’expression, on part de l’inégalité E < 0 ou E > 0 et on essaie de la transformer pour extraire les valeurs de x correspondantes. Exemple 1 Étudier le signe de E = x+1 − 1. x−2 Corrigé On pose (x + 1) − (x − 2) <0 x−2 3 <0 x−2 x − 2 < 0 ⇐⇒ x < 2 x+1 − 1 < 0 ⇐⇒ x−2 ⇐⇒ ⇐⇒ L’expression est finalement négative pour x < 2 et positive pour x > 2. En x = 2, elle n’est pas définie. Si l’expression peut être décomposée en un produit de sous-expressions, on étudie le signe de chaque sous-expression et on applique les règles de signe pour déterminer le signe du produit. Cela conduit à construire un tableau des signes dont les colonnes correspondent à des intervalles en x dans lesquels le signe de chaque sous-expression est connu. Exemple Étudier le signe de cos(x) sin(x) sur l’intervalle [0, 2π]. Corrigé Sur cet intervalle, la fonction sinus change de signe en 0 et π tandis que la fonction cosinus change de signe en π/2 et 3π/2. cos(x) π 3π π 2π 2 2 +0− − 0 + sin(x) + x 0 +0− − cos(x) sin(x) + 0 − 0 + 0 − 1.1 Signe des polynômes Dans le cas des polynômes, il faut passer par la factorisation du polynôme en un produit de facteurs de degré 1 et de facteurs irréductibles de degré 2. Exemple 1 Étudier le signe de P (x) = 4 x2 − 4 x − 3 Corrigé On cherche les racines de P qui sont 3/2 et −1/2. Le polynôme se factorise comme ceci : 3 1 P (x) = 4 x − x+ = (2x − 3)(2x + 1) 2 2 2 Le tableau de variation est : −∞ x − 1 2 3 2 (2x − 3) − (2x + 1) − 0 + +∞ −0+ + + 0 −0+ P (x) Exemple 2 Étudier le signe de P (x) = 4 x3 − 8 x2 + x + 3 Corrigé On cherche les racines de P . On constate que 1 est racine évidente. Le polynôme se factorise comme ceci (car on reconnaît l’exemple précédent) : P (x) = (x − 1)(4 x2 − 4 x − 3) = (x − 1)(2x − 3)(2x + 1) Le tableau de variation est : x −∞ − 1 2 1 3 2 +∞ (x − 1) − −0+ (2x − 3) − − −0+ (2x + 1) − 0 + + P (x) + + − 0 +0− 0 + Exemple 3 Étudier le signe de P (x) = x3 − x2 + 2 Corrigé On cherche les racines de P . On constate que -1 est racine évidente. Le polynôme se factorise comme ceci : P (x) = (x + 1) x2 − 2 x + 2 Le facteur (x2 − 2 x + 2) est irréductible. Il est donc toujours positif. Finalement P est simplement du signe de (x + 1) : négatif si x < −1 et positif si x > −1. 1.2 Signe des fractions rationnelles Les fractions rationnelles sont des quotients de polynômes F (x) = 3 P (x) . Q(x) Il faut exclure du domaine d’étude les racines du dénominateur Q(x). Sur le domaine de définition, le signe est le même que celui du produit P (x)× Q(x). On utilise donc la technique du tableau de signes vue précédemment. Exemple 1 Étudier le signe de F (x) = x2 + x − 2 2 x2 − 5 x + 3 Corrigé Le numérateur et le dénominateur se factorisent facilement car ils ont tous les deux la racine évidente 1. On obtient : F (x) = x+2 (x − 1)(x + 2) = (x − 1)(2 x − 3) 2x − 3 La valeur 3/2 est exclue du domaine. Le tableau de variation est : −∞ x 3 2 −2 +∞ (x + 2) − 0 + + (2x − 3) − − + + 0 − + F (x) Exemple 2 Étudier le signe de F (x) = 2 x2 − x − 1 2 x2 + x − 1 Corrigé On a la racine évidente 1 au numérateur et la racine évidente -1 au dénominateur. La fraction rationnelle se factorise alors sous la forme : F (x) = (x − 1)(2x + 1) (x + 1)(2x − 1) On doit exclure les valeurs -1 et 1/2 du domaine de définition. Sur le domaine, le signe de F (x) est celui du produit de 4 facteurs (x − 1)(2x + 1)(x + 1)(2x − 1) 4 Les changements de signe se produisent en -1, -1/2, 1/2 et 1. Le tableau de variation est : x −∞ − 12 −1 1 2 1 (x + 1) − + 0 + + + (2x + 1) − − 0 + + + (2x − 1) − − − + + (x − 1) − − − −0+ F (x) + − 0 + −0+ +∞ Exemple 3 Étudier le signe de F (x) = x2 − 3x + 3 −2x2 + x − 1 Corrigé Le numérateur et le dénominateur sont des facteurs irréductibles de degré 2. Ils ne s’annulent jamais et ont un signe constant : positif pour le numérateur et négatif pour le dénominateur car un facteur irréductible est du signe de son coefficient dominant (coefficient du terme de plus haut degré). La fraction F (x) est donc toujours négative. 1.3 Signe des radicaux Lorsqu’il y a des radicaux dans une expression, on est souvent amené à élever au carré et il faut faire très attention au signe des deux membres. La fonction x2 est décroissante pour les x négatifs et croissante pour les x positifs. On ne doit élever au carré dans une inégalité que si les deux membres sont de même signe et on doit distinguer les cas suivants : • si a et b sont tous les deux positifs, on a : a < b =⇒ a2 < b2 • si a et b sont tous les deux négatifs, on a : a < b =⇒ a2 > b2 Ici le sens de l’inégalité est renversé. • si a et b ne sont pas de même signe, on ne peut pas conclure. Par exemple, −3 < 2 et 9 > 4, tandis que −1 < 2 et 1 < 4... De même, inversement, une expression telle que a2 < b2 n’entraîne pas nécessairement que a est plus petit que b si on ne sait rien sur le signe de a et b eux-mêmes. 5 On traite ce genre d’expression en faisant passer le terme b2 à gauche et en factorisant : a2 < b2 ⇐⇒ ⇐⇒ a 2 − b2 < 0 (a − b)(a + b) < 0 Ici on a bien des équivalences. On étudie alors le signe de (a − b) et de (a + b) et on fait un tableau des signes pour trouver le signe de leur produit. Lorsqu’on a une différence de deux racines carrées, on multiplie par la quantité conjuguée qui est la somme de ces racines. On écrit : √ √ √ √ √ √ √ √ ( a)2 − ( b)2 a−b ( a − b)( a + b) √ √ √ = =√ a− b= √ √ a+ b a+ b a+ b Ici le dénominateur est positif (comme somme de deux racines) et le numérateur est du signe de (a − b). Avec les puissances impaires, tous ces problèmes ne se posent pas car les fonctions x3 , x5 , etc. sont croissantes sur R et conservent le sens des inégalités. On a : a < b ⇐⇒ a3 < b3 et inversement a < b ⇐⇒ √ 3 a< Exemple 1 Étudier le signe de l’expression x − 1 − √ √ 3 b x2 − 3. Corrigé On commence par chercher le domaine de définition. Il faut que la quantité x2 − 3 soit positive ou nulle, ce qui se produit si √ √ x ∈] − ∞, − 3] ∪ [ 3, +∞[ Déterminons quand l’expression est négative : p x − 1 − x2 − 3 < 0 p ⇐⇒ x − 1 < x2 − 3 Comme le terme de droite est toujours positif, on va discuter en fonction du signe du terme de gauche. On distingue donc deux cas : • si x − 1 < 0 ⇐⇒ x < 1 Dans ce cas, l’inégalité est toujours vraie. √ Compte-tenu du domaine de définition, cela ne laisse que x ∈] − ∞, − 3]. 6 • si x − 1 > 0 ⇐⇒ x > 1 On peut élever au carré : x−1− p x2 − 3 < 0 ⇐⇒ (x − 1)2 < x2 − 3 ⇐⇒ x2 − 2x + 1 < x2 − 3 ⇐⇒ 2x > 4 ⇐⇒ x > 2 On obtient donc x ∈ [2, +∞[. En conclusion, l’expression étudiée sera négative pour √ x ∈] − ∞, − 3] ∪ [2, +∞[ et sera par conséquent positive ou nulle sur le√complémentaire (à l’intérieur du domaine de définition), c’est-à-dire pour x ∈ [ 3, 2]. Exemple 2 √ Étudier le signe de l’expression x − 1 − 3 x3 − x2 − 3. Corrigé Cette expression est définie sur tout R car on a une racine cubique. Déterminons quand l’expression est négative : p 3 x − 1 − x3 − x2 − 3 < 0 p 3 ⇐⇒ x − 1 < x3 − x2 − 3 ⇐⇒ (x − 1)3 < x3 − x2 − 3 ⇐⇒ x3 − 3x2 + 3x − 1 < x3 − x2 − 3 ⇐⇒ − 2x2 + 3x + 2 < 0 On est donc ramenés à l’étude du signe du polynôme −2x2 + 3x + 2. On trouve facilement qu’il a deux racines réelles 2 et -1/2, donc il se factorise : P (x) = −2x2 + 3x + 2 = −(x − 2)(2x + 1) Le tableau de variation est : x −∞ − 1 2 2 (2x + 1) − 0 + + (x − 2) − −(x − 2)(2x + 1) +∞ −0+ − 0 +0− En conclusion, l’expression initiale est positive ou nulle dans l’intervalle [−1/2, 2] et négative en-dehors. 7 2 Inéquations à deux variables 2.1 Équations de droites L’équation générale d’une droite dans le plan R2 est ax + by + c = 0 On dit que les points M = (x, y) de la droite sont les zéros du polynôme de degré 1 à 2 variables P (x, y) = a x + b y + c. Si le coefficient b est non nul, on peut extraire y en fonction de x et réécrire l’équation de la droite sous la forme suivante : c a y =− x− b b Sous cette dernière forme, le coefficient de x s’appelle la pente et le coefficient constant s’appelle l’ordonnée à l’origine. On note parfois cette équation sous la forme y = px + q . a c On a donc ici p = − et q = − . b b Si on dérive cette expression, on obtient dy =p dx ce qui justifie la notion de pente : p représente les accroissements relatifs de y par rapport à x et ceux-ci sont constants. Si p est positive, la variable y est croissante en fonction de x. Si p est négative, y est décroissante en fonction de x. Enfin, pour x = 0, on obtient y = q, ce qui justifie le terme d’ordonnée à l’origine. −−→ Si A et B sont deux points distincts de la droite, le vecteur AB s’appelle vecteur directeur de la droite. Lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme a x + b y + c = 0, un vecteur directeur de la droite est le vecteur → − −b V = a Lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme y = px + q, un vecteur directeur de la droite est le vecteur → − 1 V = p Un vecteur non nul perpendiculaire à la droite s’appelle un vecteur normal. 8 Avec l’équation a x + b y + c = 0, un vecteur normal à la droite est le vecteur → − a N = b Lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme y = px + q, un vecteur normal de la droite est le vecteur → − p N = −1 Remarque : le vecteur directeur et le vecteur normal sont définis à multiple près. Si un vecteur est directeur, tout multiple (non nul) est aussi directeur. Si un vecteur est normal, tout multiple (non nul) est aussi normal. Il existe plusieurs manières de caractériser une droite : 1. en spécifiant la pente p et un point A1 = (x1 , y1 ) ; → − 2. en spécifiant un point A1 = (x1 , y1 ) et un vecteur directeur V ; → − 3. en spécifiant un point A1 = (x1 , y1 ) et un vecteur normal N ; 4. en spécifiant deux points distincts A1 = (x1 , y1 ) et A2 = (x2 , y2 ). Exemple 1 Déterminer l’équation de la droite passant par le point A1 = (2, 3) et de pente p = −1. Corrigé On utilise la forme y = px + q. On sait que p = −1 et il ne reste qu’à déterminer q en écrivant que le point A1 doit vérifier l’équation de la droite y = −x + q : A1 ∈ {y = −x + q} ⇒ 3 = −2 + q ⇒ q = 5 L’équation est finalement y = −x + 5 . Exemple 2 Déterminer l’équation de la droite passant par le point A1 = (−1, 2) et de → − 2 vecteur directeur V = . 1 Corrigé On utilise la forme a x + b y + c = 0. On sait que le vecteur directeur est → − −b V = . a On en déduit que b = −2 et a = 1 et il ne reste qu’à déterminer c en écrivant que le point A1 doit vérifier l’équation de la droite : A1 ∈ {x − 2y + c = 0} ⇒ −1 − 4 + c = 0 ⇒ c = 5 L’équation est finalement x − 2y + 5 = 0 . 9 Exemple 3 Déterminer l’équation de la droite passant par le point A1 = (3, 4) et de → − −3 vecteur normal N = . 2 Corrigé On utilise la forme a x + b y + c = 0. On sait que le vecteur normal est → − a N = . b On en déduit que a = −3 et b = 2 et il ne reste qu’à déterminer c en écrivant que le point A1 doit vérifier l’équation de la droite : A1 ∈ {−3x + 2y + c = 0} ⇒ −9 + 8 + c = 0 ⇒ c = 1 L’équation est finalement −3x + 2y + 1 = 0 . Exemple 4 Déterminer l’équation de la droite passant par les points A1 = (1, 1) et A2 = (0, 5). Corrigé On utilise ici la forme y = px + q et on écrit que les deux points doivent vérifier l’équation de la droite, ce qui conduit à un système linéaire de deux équations à deux inconnues : ( ( p×1+q =1 p+q =1 ⇐⇒ p×0+q =5 q =5 D’où q = 5 et p = −4. L’équation est finalement y = −4x + 5 . 2.2 Région du plan On cherche maintenant à étudier le signe d’un polynôme à deux variables de degré 1. On doit donc déterminer les points M = (x, y) du plan R2 pour lesquels une expression de la forme a x + b y + c est positive ou négative. Selon le point M , l’expression sera positive ou négative. Il y a donc deux régions dans le plan : l’ensemble de tous les points pour lesquels l’expression est positive et l’ensemble de tous les points pour lesquels l’expression est négative. La frontière entre ces deux régions est l’ensemble de tous les points pour lesquels l’expression est nulle, c’est-à-dire a x + b y + c = 0. Cette frontière est donc une droite et les deux régions sont les demi-plans de part et d’autre de cette droite. Exemple Étudier graphiquement le signe de l’expression P (x) = 2x + y − 3. 10 Corrigé On doit tracer la droite frontière qui a pour équation 2x + y − 3 = 0. Si on extrait y, on obtient y = −2x + 3. Pour tracer la droite, il suffit de placer deux points et de les joindre. On prend donc deux valeurs arbitraires de x et on calcule les y correspondants. Prenons, par exemple, x = 0 et x = 1. On obtient : ( x = 0 =⇒ y = 3 x = 1 =⇒ y = 1 4 5 La droite passe par les points A1 = (0, 3) et A2 = (1, 1). 2x + y − 3 > 0 2 3 A1 1 2x + y − 3 < 0 A2 −1 0 O −2 −1 0 1 2 3 4 On détermine le signe dans chaque demi-plan en prenant un point test. En général on teste l’origine (0, 0). L’origine ici est dans le demi-plan inférieur. Or l’expression en ce point vaut 2 × 0 + 0 − 3 = −3 < 0 et est négative. Le demi-plan inférieur est donc la région où l’expression est négative et, par conséquent, le demi-plan supérieur est la région où l’expression est positive. 2.3 Systèmes d’inéquations On rencontre souvent en économie des systèmes d’inéquations linéaires qui expriment des contraintes imposées à un modèle. 11 Les contraintes sont des expressions portant sur les variables d’état du modèle et prennent le plus souvent la forme d’une inéquation. Elles expriment des limitations, des quotas, des ressources disponibles, des demandes imposées, etc. Plusieurs inéquations qui doivent être vérifiées simultanément consituent un système d’inéquations. Définition 2.1. L’ensemble des points qui vérifient toutes les inéquations d’un système s’appelle le domaine réalisable. Dans la situation vue précédemment où il y avait une seule inéquation, le domaine réalisable était un demi-plan. C’était celui des deux demi-plans dans lequel la contrainte était réalisée. Le long de la frontière qui sépare les deux demi-plans, on dit que la contrainte est saturée. En effet, sur cette frontière, l’inégalité devient une égalité. Dans le cas d’un système d’inéquations, chaque inéquation conduit à sélectionner un demi-plan et le domaine réalisable est l’intersection de tous les demiplans obtenus. On procède de la manière suivante : on place les droites frontières pour chaque expression et on hachure pour chacune le demi-plan où la contrainte n’est pas réalisée, c’est-à-dire où l’expression n’a pas le signe voulu. À la fin, la zone qui reste non hachurée est le domaine réalisable. Exemple 1 Déterminer le domaine réalisable correspondant au système d’inéquations suivant : x + 2y ≤ 2 x≥0 y≥0 Corrigé Les deux contraintes x ≥ 0 et y ≥ 0 sont faciles à placer : elles signifient simplement qu’on se limite aux coordonnées positives, c’est-à-dire au quadrant supérieur droit. Il ne reste qu’à représenter la région dans laquelle x + 2y − 2 ≤ 0. On place la droite frontière d’équation 1 x + 2y − 2 = 0 ⇐⇒ y = − x + 1 2 Elle passe par les points A1 = (0, 1) et A2 = (2, 0). L’origine ici est dans le demi-plan inférieur. En ce point l’expression vaut 0 + 2 × 0 − 2 = −2 < 0 et est négative. Le demi-plan inférieur est donc la région où l’expression est négative et, par conséquent, le demi-plan supérieur sera hachuré. 12 2 3 Domaine réalisable 1 A1 A2 −1 0 O −1 0 1 2 3 Exemple 2 Déterminer le domaine réalisable correspondant au système d’inéquations suivant : −x + 5y ≤ 21 4x + y ≤ 21 x + 2y ≥7 Corrigé On doit placer les trois droites D1 : D2 : D3 : suivantes : −x + 5y − 21 = 0 4x + y − 21 = 0 x + 2y − 7 = 0 On peut vérifier que les intersections de A1 = D2 ∩ D3 A2 = D1 ∩ D3 A3 = D1 ∩ D2 ces droites deux à deux sont : ! 5 = 1 ! −1 = 4 ! 4 = 5 Il suffit donc de placer ces trois points et de les joindre. 13 6 Domaine réalisable 6 Frontières 3 4 A2 2 2 3 4 A2 O −1 −1 0 O 0 A1 1 1 A1 −2 3 A3 5 5 A3 0 2 4 6 −2 0 Exercices Exercices complémentaires Exercice 1 Étudier le signe des expressions polynomiales suivantes : a) 10 x2 − 3 x − 1 b) 3 x3 − 8 x2 + 3 x + 2 c) x4 + 3 x3 + x2 − 3 x − 2 d) x4 − 2 x3 + x2 + 2 x − 2 Exercice 2 Déterminer le domaine de définition et le signe des fractions rationnelles suivantes : a) x x2 − 1 14 2 4 6 b) 3 x2 − x − 2 5 x2 − 3 x − 2 c) x2 + x + 3 x2 − x + 3 d) 2 x2 + x − 3 2 x2 + 7 x + 5 Exercice 3 Étudier les régions du plan où les inéquations suivantes sont satisfaites : a) x − 2y − 2 ≤ 0 b) x + y > 0 c) |x − y| ≤ 1 Exercice 4 Représenter graphiquement les domaines réalisables correspondant aux systèmes d’inéquations suivants : 2x + 3y ≤ 30 a) x≥0 y≥0 −2x + 5y b) 5x − 2y x+y ≤ 18 ≤ 18 ≥5 15