Table des matières 1 Inéquations à une variable

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015
L1 Économie Cours de M. Desgraupes
Mathématiques: Mise à niveau
Séance 05: Inéquations
Table des matières
1 Inéquations à une variable 1
1.1 Signe des polynômes ......................... 2
1.2 Signe des fractions rationnelles ................... 3
1.3 Signe des radicaux .......................... 5
2 Inéquations à deux variables 8
2.1 Équations de droites ......................... 8
2.2 Région du plan ............................ 10
2.3 Systèmes d’inéquations ........................ 11
3 Exercices 14
1 Inéquations à une variable
Le problème est de trouver l’ensemble des valeurs de xpour lesquelles une
expression en xest positive ou négative.
Par exemple :
•4x2−4x−3
•4x3−8x2+x+ 3
•3
√x2−1
•cos(x) sin(x)
•sin(3x−π)
•log 1
2−e−x
De manière générale, cela revient à résoudre des inéquations. Si Eest
l’expression, on part de l’inégalité E < 0ou E > 0et on essaie de la trans-
former pour extraire les valeurs de xcorrespondantes.
Exemple
1

Étudier le signe de E=x+ 1
x−2−1.
Corrigé
On pose
x+ 1
x−2−1<0⇐⇒ (x+ 1) −(x−2) x−2<0
⇐⇒ 3
x−2<0
⇐⇒ x−2<0⇐⇒ x < 2
L’expression est finalement négative pour x < 2et positive pour x > 2. En
x= 2, elle n’est pas définie.
Si l’expression peut être décomposée en un produit de sous-expressions, on
étudie le signe de chaque sous-expression et on applique les règles de signe pour
déterminer le signe du produit.
Cela conduit à construire un tableau des signes dont les colonnes correspon-
dent à des intervalles en xdans lesquels le signe de chaque sous-expression est
connu.
Exemple
Étudier le signe de cos(x) sin(x)sur l’intervalle [0,2π].
Corrigé
Sur cet intervalle, la fonction sinus change de signe en 0 et πtandis que la
fonction cosinus change de signe en π/2et 3π/2.
x0π
2π3π 22π
cos(x) + 0 − − 0 +
sin(x) + + 0 − −
cos(x) sin(x) + 0 −0 + 0 −
1.1 Signe des polynômes
Dans le cas des polynômes, il faut passer par la factorisation du polynôme en
un produit de facteurs de degré 1 et de facteurs irréductibles de degré 2.
Exemple 1
Étudier le signe de P(x) = 4 x2−4x−3
Corrigé
On cherche les racines de Pqui sont 3/2et −1/2. Le polynôme se factorise
comme ceci :
P(x)=4x−3
2x+1 2= (2x−3)(2x+ 1)
2

Le tableau de variation est :
x−∞ −1
2
3
2+∞
(2x−3) − − 0 +
(2x+ 1) −0 + +
P(x) + 0 −0 +
Exemple 2
Étudier le signe de P(x) = 4 x3−8x2+x+ 3
Corrigé
On cherche les racines de P. On constate que 1 est racine évidente. Le
polynôme se factorise comme ceci (car on reconnaît l’exemple précédent) :
P(x)=(x−1)(4 x2−4x−3) = (x−1)(2x−3)(2x+ 1)
Le tableau de variation est :
x−∞ −1
213 2+∞
(x−1) − −0 + +
(2x−3) − − − 0 +
(2x+ 1) −0 + + +
P(x)−0 + 0 −0 +
Exemple 3
Étudier le signe de P(x) = x3−x2+ 2
Corrigé
On cherche les racines de P. On constate que -1 est racine évidente. Le
polynôme se factorise comme ceci :
P(x)=(x+ 1) x2−2x+ 2
Le facteur (x2−2x+ 2) est irréductible. Il est donc toujours positif. Fi-
nalement Pest simplement du signe de (x+ 1) : négatif si x < −1et positif si
x > −1.
1.2 Signe des fractions rationnelles
Les fractions rationnelles sont des quotients de polynômes F(x) = P(x)
Q(x).
3

Il faut exclure du domaine d’étude les racines du dénominateur Q(x).
Sur le domaine de définition, le signe est le même que celui du produit P(x)×
Q(x). On utilise donc la technique du tableau de signes vue précédemment.
Exemple 1
Étudier le signe de F(x) = x2+x−2
2x2−5x+ 3
Corrigé
Le numérateur et le dénominateur se factorisent facilement car ils ont tous
les deux la racine évidente 1. On obtient :
F(x) = (x−1)(x+ 2)
(x−1)(2 x−3) =x+ 2 2x−3
La valeur 3/2 est exclue du domaine. Le tableau de variation est :
x−∞ −23
2+∞
(x+ 2) −0 + +
(2x−3) − − +
F(x) + 0 −+
Exemple 2
Étudier le signe de F(x) = 2x2−x−1
2x2+x−1
Corrigé
On a la racine évidente 1 au numérateur et la racine évidente -1 au dénom-
inateur. La fraction rationnelle se factorise alors sous la forme :
F(x) = (x−1)(2x+ 1)
(x+ 1)(2x−1)
On doit exclure les valeurs -1 et 1/2 du domaine de définition. Sur le do-
maine, le signe de F(x)est celui du produit de 4 facteurs
(x−1)(2x+ 1)(x+ 1)(2x−1)
4

Les changements de signe se produisent en -1, -1/2, 1/2 et 1.
Le tableau de variation est :
x−∞ −1−1
2
1
21 +∞
(x+ 1) −+ 0 + + +
(2x+ 1) − − 0 + + +
(2x−1) − − − + +
(x−1) − − − −0 +
F(x) + −0 + −0 +
Exemple 3
Étudier le signe de F(x) = x2−3x+ 3
−2x2+x−1
Corrigé
Le numérateur et le dénominateur sont des facteurs irréductibles de degré 2.
Ils ne s’annulent jamais et ont un signe constant : positif pour le numérateur
et négatif pour le dénominateur car un facteur irréductible est du signe de son
coefficient dominant (coefficient du terme de plus haut degré).
La fraction F(x)est donc toujours négative.
1.3 Signe des radicaux
Lorsqu’il y a des radicaux dans une expression, on est souvent amené à élever
au carré et il faut faire très attention au signe des deux membres. La fonction
x2est décroissante pour les xnégatifs et croissante pour les xpositifs.
On ne doit élever au carré dans une inégalité que si les deux membres sont
de même signe et on doit distinguer les cas suivants :
•si aet bsont tous les deux positifs, on a :
a<b=⇒a2< b2
•si aet bsont tous les deux négatifs, on a :
a<b=⇒a2>b2
Ici le sens de l’inégalité est renversé.
•si aet bne sont pas de même signe, on ne peut pas conclure. Par exemple,
−3<2et 9>4, tandis que −1<2et 1<4...
De même, inversement, une expression telle que a2< b2n’entraîne pas néces-
sairement que aest plus petit que bsi on ne sait rien sur le signe de aet b
eux-mêmes.
5