mecanique i

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MECANIQUE I
La première approche de la mécanique se limitera à des notions simples ne faisant appel, pour leur description, qu'à
des grandeurs scalaires. On débutera ainsi en présentant des éléments de cinématique, puis une introduction sur
l'énergie et la puissance. La dynamique, qui s'appuie sur des grandeurs vectorielles, ne sera abordée que plus tard.
1.
Cinématique
La cinématique est la description géométrique du mouvement mais ne se préoccupe pas de ses
causes. La cinématique à une dimension permet de traiter tous les problèmes dans lesquels le
mouvement a lieu selon une ligne droite, qu'il s'agisse, par exemple, de voitures qui 'freinent ' ou
de voitures qui 'accélèrent'. Afin de pouvoir décrire également le mouvement des carrousels ou
des satellites en orbite autour des astres, on abordera la cinématique à deux dimensions.
Les notions qui doivent être maîtrisées au cours de ce chapitre, sont les suivantes:
- Position d'un mobile en fonction du temps
- Vitesse d'un mobile en fonction du temps
- Accélération d'un mobile en fonction du temps
On remarquera qu'il s'agit de grandeur caractérisées par une norme et une direction (grandeurs
vectorielles).
1.1 Cinématique à une dimension
A. Position d'un objet et trajectoire
Pour repérer la position d'un objet, on choisit une origine et on mesure la distance x de l'objet à
cette origine. La position de l'objet variant en général au cours du temps, la donnée de x en
fonction du temps t, c'est-à-dire x(t), représente la 'trajectoire' de l'objet.
Position d'un objet: x(t)
Unités: x se mesure en mètres [m].
Exemple 1: voiture se déplaçant à vitesse constante
O
x
Exemple 2: voiture se déplaçant de plus en plus vite
O
x
Exemple 3: voiture se déplaçant de moins en moins vite
O
x
Mécanique I
Il est pratique de représenter graphiquement x en fonction de t.
Exemples:
Interprétation des graphiques ci-dessous:
Cas 1:
Cas 2:
X (m)
X (m)
t (s)
Cas 3:
t (s)
Cas 4:
X (m)
X (m)
t (s)
t (s)
2
Mécanique I
B. Vitesse d'un objet
La vitesse est définie comme étant la distance parcourue, divisée par le temps de parcours:
distan ce
vitesse =
temps
Plus précisément, soit x1 la position du mobile au temps t1; x2 sa position au temps t2. Nommons
Δx=x2-x1 et Δt=t2-t1. La vitesse s'exprime alors par:
Δx
Unité: [m/s]
v=
Δt
Notons la difficulté qui peut se présenter à ce stade et qui concerne le choix de l'élément de
distance Δx! En effet, si la vitesse n'est pas constante, on ne peut prendre une distance Δx
quelconque. Pour connaître la vitesse à un instant donné, il faut que Δx (et donc le temps de
parcours correspondant Δt) soit aussi petit que possible. On distingue alors:
a) v moy =
Δx
, vitesse moyenne entre les points x1 et x2 ou pendant l'intervalle de temps t1 et t2.
Δt
Δx
, vitesse instantanée, obtenue en choisissant des intervalles de temps (et d'espace)
Δt →0 Δt
aussi petits que possible.
b) v = lim ite
Vitesse d'un objet: v(t) Unités m/s
Exemple: une voiture roule de Neuchâtel à Lausanne et effectue le parcours (80 km) en une
heure. La vitesse moyenne est donc de 80 km/h, même si la vitesse instantanée de la voiture est
de 120 km/h à la hauteur d'Yverdon et de 40 km/h à l'entrée de l'autoroute.
Remarques:
•
•
km 1000 m
1 m
=
=
ou
1 m/s = 3,6 km/h
h 3600 s 3,6 s
La vitesse d'un mobile ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière,
c=300 000 000 m/s
Conversion d'unité: 1
•
La vitesse est caractérisée non seulement par sa norme (20m/s; 90 km/h) mais aussi par sa
direction. Mathématiquement, la vitesse est donc une grandeur vectorielle.
•
Lorsqu'une vitesse change, elle peut changer en norme (une voiture roule de plus en plus
vite sur une route droite; un autobus freine sur un bout rectiligne et s'arrête) mais elle peut
aussi changer en direction. Exemple: le passager d'un carrousel peut se déplacer
constamment à 40 km/h, cependant sa direction change continuellement. On dira que la
vitesse du passager change.
•
En physique, lorsqu'on dit "la vitesse d'un mobile est constante" on sous-entend que la
vitesse est constante en norme et en direction. Sinon, il faut ajouter des précisions
supplémentaires.
3
Mécanique I
•
Lorsque la trajectoire est rectiligne, il est évident que la direction de la vitesse est
constante. Un 'changement' de vitesse est alors équivalent à un changement de la norme
de la vitesse.
•
La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire
C. Accélération
Pour décrire et calculer une variation de vitesse, il faut introduire la notion d'accélération. En
effet, on distingue la voiture A qui passe de 0 à 100 km/h en 15 s, de la voiture B qui passe de 0 à
100 km/h en 8 s, en disant que l'accélération de B est plus grande que l'accélération de A.
Ainsi:
variation de vitesse
m /s
m
m
Accélération =
Unités:
=
= 2 = m ⋅ s−2
int ervalle de temps
s
s ⋅s s
Comme précédemment, il faut distinguer en principe
a) amoy =
b) a =
Δv
, l'accélération moyenne pendant le temps Δt
Δt
lim ite
Δ t→ 0
Δv
, l'accélération instantanée en un temps donné.
Δt
Exemple: l'accélération de la pesanteur vaut g=9,81 m/s2. Cela signifie que, lors d'une chute
libre, la vitesse de la balle qui tombe, augmente de 9,81 m/s à chaque seconde. Si on lâche la
balle avec une vitesse initiale nulle, la vitesse est de 9,81 m/s après 1 s; de 19,62 m/s après 2 s; de
29,43m/s après 3 s, etc.
Remarques.
•
Nous nous contenterons, dans ce cours, de décrire des situations dans lesquelles l'accélération
est constante. La distinction entre accélération moyenne et accélération instantanée n'a alors
plus lieu d'être faite.
•
L'accélération de la pesanteur sur la terre vaut g=9,81 m/s2. Pour ressentir son effet, il suffit
de s'embarquer sur un engin de foire dans lequel les passagers sont en chute libre.
•
Ordres de grandeur:
freinage sur route sèche: 4 - 5 m/s2
freinage sur route mouillée: 3 - 4 m/s2
accélération subie par un pilote d'essai:
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Mécanique I
•
On ressent les effets d'une accélération, non les effets d'une vitesse. Discuter, en termes de
vitesse et d'accélération, ce qui se passe lorsqu'un train démarre tout doucement;
lorsqu'une voiture freine ou accélère brusquement .
•
Reprendre les exemples graphiques traités sous la rubrique 'position'. Discuter les
diagrammes et les graphiques correspondant pour la vitesse (en fonction du temps) et
l'accélération (en fonction du temps). En particulier, représentez a(t), v(t), x(t) pour une
situation où la vitesse est constante. Pour une situation où l'accélération est constante.
•
Tout comme la vitesse, une accélération est une grandeur vectorielle.
1.2 Mouvements particuliers à une dimension
1.2.1. Mouvement rectiligne uniforme: MRU
C'est un mouvement en ligne droite, à vitesse constante, notée v0.
Les différentes grandeurs sont alors caractérisées comme suit.
- Accélération: la vitesse ne changeant ni en norme, ni en direction. on a donc a=0
- Vitesse: elle est constante, c'est-à-dire, quelque soit le temps, v=v0.
- Position: si au temps t1=0, le mobile se trouve à la position x0=0, alors pour un temps t>0, on a
x(t)=v0.t.
Exemples:
1) Esquisser les graphiques x(t), v(t), a(t)
2) Une voiture se déplace à 60 km/h. Distance parcourue en 20 s?
1.2.2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré: MRUA
Dans ce cas, l'accélération est constante, on la note a.
- Accélération a=const
- Vitesse: si en t1=0, le mobile se trouve en x1=0 et possède à cet instant la vitesse v(0)=v0, la
vitesse s'exprime par: v(t) = a ⋅t + v0
- Position: dans ces mêmes conditions, on obtient pour la position en fonction du temps:
1
x(t) = a ⋅t 2 + v0 ⋅t + x 0
2
Exemples:
1) Esquisser les graphiques x(t), v(t), a(t)
2) L'accélération d'une voiture est de 0,3 m/s2. Sa vitesse initiale est nulle. Vitesse après 25 s?
Distance parcourue durant ce laps de temps?
3) Mêmes questions, mais la vitesse initiale est de 20 km/h.
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Mécanique I
Dessiner la vitesse et l'accélération de la balle lorsqu'elle occupe diverses positions pour les cas
suivants:
Cas 5:on laisse tomber une balle
Cas 6: on lance une balle vers le haut.
1.3 Cinématique à deux dimensions
La balle de tennis projetée par la raquette d'un joueur subit à la fois un déplacement vertical et un
déplacement horizontal. Elle effectue en général une trajectoire parabolique, qui résulte du fait
que selon l'axe horizontal il n'y a pas d'accélération, et que selon l'axe vertical la balle est soumise
à l'accélération de la pesanteur. On a affaire ici à un mouvement à deux dimensions.
* Que se passe-t-il pour un satellite en mouvement circulaire autour de la Terre? Sa vitesse
change-t-elle en norme? En direction?
* Que ressent le passager d'un carrousel? Peut-il dire, yeux fermés, s'il est immobile ou non?
A. Mouvement uniformément accéléré: MUA.
Une balle de ping-pong, une balle de fusil qui vient de quitter le canon de l'arme, suivent une
trajectoire qui est un MRU horizontalement et un MRUA verticalement.
Exemple:
On vise horizontalement le centre d'une cible avec le canon d'un fusil et on tire. La cible se trouve
à la distance L et la vitesse de la balle au sortir du canon vaut v0. Calculer à quelle distance h du
centre de la cible a lieu l'impact de la balle.
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Mécanique I
B. Mouvement circulaire uniforme: MCU.
C'est le mouvement d'un corps qui se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon r à une
vitesse v de norme constante.
r
La position du mobile peut être marquée sur le cercle en notant que la longueur l'arc parcourue
est la même pour des intervalles de temps égaux.
La période de révolution du mobile est le temps T mis pour effectuer un tour complet.
Le vecteur vitesse en différents points de la trajectoire circulaire, est un vecteur tangent au cercle.
L'accélération peut être déterminée intuitivement si l'on remarque que les effets ressentis dans un
virage sont fonction du rayon de courbure de celui-ci et de la vitesse de la voiture. Des
considérations de dimensions, permettent ensuite d'écrire:
Accélération centripète: an=
v2/r
Unités: m/s2
Exemple: Considérons le mouvement de la Terre autour du Soleil. La distance Terre-Soleil est
connue (D= 150 mio km). La période de la Terre également. Quelle est la norme de la vitesse de
la Terre dans son mouvement autour du Soleil? Quelle est l'accélération de la Terre lors de ce
mouvement? Que dire de la valeur du résultat?
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Mécanique I
2.
Introduction à la dynamique
2.1 Masse et poids
La masse d'un objet mesure sa quantité de matière. C'est la masse de l'objet qui oppose une
inertie à tout changement de l'état de mouvement de l'objet.
On la note m ou M; unité: [kg]
La masse est, en principe, une grandeur qui est conservée. Ainsi, si votre masse est de m=60 kg
sur Terre, elle vaudra 60 kg quel que soit l'endroit de la galaxie où vous cherchiez refuge.
Le poids d'un objet est dû à l'attraction gravitationnelle exercée sur ce dernier par l'astre sur
lequel il se trouve.
On le note P; unité: le newton [N]
Le poids dépend bien sûr de l'astre sur lequel on se trouve (il n'est pas le même sur Terre et sur la
Lune) et de la distance objet-centre de l'astre. Dans ce qui suit, on se limitera aux situations dans
lesquelles l'objet se trouve au voisinage de la surface de l'astre. Si l'on se trouve très éloigné de
tout corps céleste, le poids est évidemment nul.
Le poids est proportionnel à la masse m: P=m.g où g est l'accélération de la gravitation. Pour la
Terre: g=9,81 m/s2; pour la Lune: g=1,67 m/s2.
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Mécanique I
2.2 Principe d'inertie
Il a été énoncé par Galilée (1610) et stipule que tout corps conserve son état de mouvement en
l'absence d'influence extérieure.
Autrement dit: pour modifier l'état de mouvement d'un corps, il faut agir sur ce corps avec une
force nette.
Questions:
- que va-t-il se passer pour la sonde spatiale Voyager une fois qu'elle aura quitté définitivement le
système solaire?
- on lance une balle sur une surface horizontale plane et on constate qu'elle s'arrête. Pourquoi?
- vous vous êtes élancé avec votre vélo sur une route horizontale droite, à la vitesse de 30 km/h.
Pourquoi devez-vous pédaler pour conserver votre vitesse?
- On envisage de lancer un paquet survie au Lycée DDR depuis un avion survolant
l'établissement. Discuter le moment auquel le paquet doit être largué.
-Vous jouez à la balle dans un train. Si vous la lancez en l'air, retombera-t-elle sur vos genoux?
- Trajet en bus, debout, baskets aux pieds. Le bus démarre, prend un virage en trombe, freine
brutalement. Que se passe-t-il? Mêmes questions, mais le passager, debout, est en rollers...
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