TS Exercices loi exponentielle de paramètre ?(site)
E
EE
Ex
xx
xercices annales
ercices annales ercices annales
ercices annales
loi exponentielle de paramètre
loi exponentielle de paramètre loi exponentielle de paramètre
loi exponentielle de paramètre
P
PP
Polynésie
olynésie olynésie
olynésie juin 2004 ( annales88p212)
juin 2004 ( annales88p212)juin 2004 ( annales88p212)
juin 2004 ( annales88p212)
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un
oscilloscope est une variable aléatoire notée
X
qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi
exponentielle de paramètre
λ
avec
λ
>
0.
Toutes les probabilités seront données à 10
−
3
près.
1. Sachant que
p
(
X >
10)
=
0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10
−
3
près de
λ
est 0,125.
On prendra 0,125 pour valeur de
λ
dans la suite de l’exercice.
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à
dix ans ?
4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du
laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée
de vie supérieure à 10 ans ?
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux
fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?
A
AA
Antilles
ntilles ntilles
ntilles Juin 2006
Juin 2006Juin 2006
Juin 2006
( annales8
( annales8( annales8
( annales89
99
9p212)
p212)p212)
p212)
Partie A : Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre
λ
On rappelle que
tea
at
d)X(p
0
∫
λ−
λ=≤ . La courbe ci-dessous représente la fonction densité associée.
1.
Interpréter sur le graphique la probabilité
1p(X) ≤.
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètreλ.
Partie B : On pose 5,1=λ .
1. Calculer 1)p(X ≤, en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10
−3
près par excès.
2. Calculer 2)p(X ≥.
3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P(1
≤
X
≤
2) = 0,173 à 10
−3
près.
4. Calculer l’intégrale tte
xt
d5,1
0
5,1
∫
−
. Déterminer la limite quand x tend vers
+∞
de F(x) ; on obtient ainsi
l’espérance mathématique de la variable X.
Partie C : Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le
diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.
On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre 5,1=λ .
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une
rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est
refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
1. a Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10
−3
près.
1. b Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de
cylindres est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
2.a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
2.b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?
S
SS
Sujet
ujet ujet
ujet national Juin 2008
national Juin 2008national Juin 2008
national Juin 2008
La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire
X
qui suit une loi exponentielle
de paramètre
λ
où
λ
est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout
0
t
≥
,
( )
0
tx
P X t e dx
λ
λ
−
≤ =
∫
.
La fonction
R
définie sur l'intervalle [0 ;
+∞
[ par
(
)
(
)
R t P X t
= >
est appelée fonction de fiabilité.
1. Restitution organisée de connaissances
a. Démontrer que pour tout
0
t
≥
on a
(
)
t
R t e
λ
−
=
.
b. Démontrer que la variable
X
suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel
0
s
≥
, la
probabilité conditionnelle
(
)
X t
P X t s
>
> +
ne dépend pas du nombre
0
t
≥
.
2. Dans cette question, on prend
0,00026
λ
=
.
a. Calculer
(
)
1000
P X ≤
et
(
)
1000
P X >
.
b. Sachant que l'événement
(
)
1000
X>
est réalisé, calculer la probabilité de l'événement
(
)
2000
X>
.
c. Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000
heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
corrigés
corrigés corrigés
corrigés
A
AA
Antilles
ntilles ntilles
ntilles Juin 2006
Juin 2006Juin 2006
Juin 2006
( annales8
( annales8( annales8
( annales89
99
9p212)
p212)p212)
p212)
Partie A :
1.
La fonction densité associée définie par
est positive
Donc
représente l’aire du domaine limité par :
• les droites d’équation
• l’axe des abscisses et la courbe
.
2.
Or
coupe l’axe des ordonnées au point (0, 1.5)
Donc
Partie B :
1.
!
"
en valeur exacte
et ### à
$
près par excès
2. % & ' & (
(
)
(
*
+
"
!+
$
% & ( à
$
près par excès
3. X variable aléatoire continue sur )",)
Donc ' " &" - &
. & ' - &
% &
$
$
(#/
4. 0
1
On utilise une intégration par parties
2 (3
4
(
2
4
(3
(
(
0 5
1
)!
(
*
1
5 !6
(7
1
)!
(
*
1
"5
1
)!
(
*
1
"8
(!
(
9
1
( 1
"
(
( 1
"
(
(!(
( 1
"
(
( 1
"
(
Limite en ", :
:;<
1=>?
6(
( 1
7
:;<
1=>?
( 1
. :;<
1=>?
6
(!(
( 1
(
( 1
"
(7
&
/
Partie C :
Arbre pondéré :
1.a. « le cylindre est accepté » : A
@ ' " &!
ABA+
@
(###"(#/!C
(D
1.b « le cylindre a subi une rectification sachant qu’il est accepté » : & sachant A
E
&F &G@H
@
&!
ABA+
@
@
(#/!C
(D
(
2.a.
On prélève de manière indépendante 10 cylindres
IJ:K;LM:;NOKKPNQLLRKJ
I S J@@T@J
I
@@T@
F@H
car ….
(D
(U
2.b. « au moins 1 cylindre est refusé » est l’événement contraire de K
I
V I (U (CD
Ainsi la probabilité qu’au moins 1 cylindre parmi les 1
S
SS
Sujet national Juin 2008
ujet national Juin 2008ujet national Juin 2008
ujet national Juin 2008
1.
a.
W -
5
1
X!
1
Y
.
1
"
b.
BZ
- "K
F - G - "KH
-
- "K
-
>[
!
[
[
- K
2. a.
(+\!
(+\
(&&D
-
(+\
(##
b. Avec la question 1b , on a :
BZ
- &
BZ
- "
BZ
- &
-
(+\
(##
c.
c.c.
c.
méthode 1
méthode 1méthode 1
méthode 1
:
: :
:
BZ+
' /
F - &G ' /H
- &
& ' ' /
- &
Or :
& ' ' / 5
$
+
+
$
$
"
+
(]^
"
( +
Et -
(+\
D’où :
BZ+
' /
6
1
/
6
100%
