Exercices

Exercice 1 : On considère les machines d’un atelier, toutes identiques
et toutes mises en service au même moment.
Soit T la variable aléatoire qui, à chaque machine de l’atelier, associe
son temps de bon fonctionnement, en heures.
T suit la loi exponentielle de paramètre λ=0,001.
1) a. Ecrire
!f(t), la densité de probabilité de T;
!F(t) la fonction de défaillance d’une machine
!R(t) la fonction de fiabilité d’une machine.
b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de T (v.e.)
2) Donner le taux d’avarie de ces machines et la moyenne des temps
de bon fonctionnement
3) Calculer la probabilité pour qu’une machine prise au hasard dans
l’atelier
a. ait un temps de bon fonctionnement de 900 h exactement ;
b. devienne défaillante 1100 heures après la mise en service ;
c. soit en état de bon fonctionnement 2000h après la mise en service;
d. n’ait pas d’avarie au cours des 1500 premières heures d’utilisation.
e. ait une durée de vie de 1600 heures au moins;
f. tombe en panne au bout d’un temps d’utilisation de 500 h
minimum.
4) Pour une machine prise au hasard dans l’atelier, indiquer à quel
moment (ve sous la forme 1000ln ; =0)
a. la fiabilité est de 60%
b. la probabilité de survie vaut 0,05
c. la probabilité de défaillance est 0,8
d. la probabilité de tomber en panne avant ce moment est 2/3
Exercice 2 : On a relevé durant une période de 3000 h la durée de
vie de 100 éléments identiques mis en service à la même heure, 22
éléments étant encore en fonctionnement au bout de 3000 h. On a
obtenu les résultats suivants :
1) En utilisant la méthode des rangs bruts, compléter le tableau dans
lequel les valeurs approchées seront arrondies à 10-3
2) A l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la forme
y=ax+b de la droite d’ajustement des valeurs de y à celles de t, ainsi
que le coefficient de corrélation r entre t et y. r sera arrondi à 10-4, a, à
10 -4 et b à 10-5.
En déduire l’expression de R(t) et le paramètre de la loi exponentielle
R(t).
3) On prend λ=0,0005 comme valeur approchée du paramètre de la
loi exponentielle. On prélève au hasard un élément.
Soit A l’événement “l’élément est encore en fonctionnement au bout
de 1000h”.
Soit B l’événement “l’élément est encore en fonctionnement au bout
de 2000h”.
a. Calculer P(A), P(B) et P(A B).
b. Calculer la probabilité qu’un élément soit encore en fonctionnement
au bout de 2000 h sachant qu’il était en fonctionnement au bout de
1000 h.
Les valeurs approchées seront arrondies à 10-3.
fiabillité
durée de vie en h
nb dʼélmts
défaillants.
TBF=ti
F(ti) en
%
R(ti) en
%
yi=lnR
(ti)
[0;500]
22
]500;1000]
18
]1000;1500]
13
]1500;2000]
10
]2000;2500]
9
]2500;3000]
6

Exercice 3 : Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle.
1) Calculer, à 10-6 près, le paramètre de cette loi sachant que
P(T 70)=0,05.
2) Les valeurs prises par T étant en heures, déterminer, à une unité
près, la MTBF et l’écart type de T.
3) Calculer, à 10-4 près, P(T>30).
Exercice 4 : Un appareil électronique doit prendre place dans un
satellite. Soit T la VA qui, à tout appareil issu de la production, associe
sa durée de vie, exprimée en mois. T suit une loi exponentielle de
paramètre λ.
On considère des années égales de 12 mois égaux.
On note R la fonction de fiabilité.
1) Donner l’écriture de R(t) en fonction de λ et de t.
2) Sachant que R(700)=0,93, calculer λ puis sa valeur arrondie à 5
décimales.
3) Dans cette équation, on prendre λ=0,0001.
a. Déterminer la MTBF de T.
b. Calculer P(T>1500) ( =2)
c. Transcrire en phrases, dans une unité de temps adaptée, les
résultats aux questions 3) a. et 3) b.
Exercice 5
Les probabilités demandées seront arrondies au millième.
On considère des circuits intégrés issus d'une certaine production.
On choisit au hasard un des circuits. On admet que la variable
aléatoire T qui à tout circuit intégré associe sa durée de vie exprimée
en heures, suit une loi exponentielle de paramètre λ
1) Sachant que la MTBF des circuits est de 100 000 heures, calculer λ
2)Calculer la probabilité pour qu'un circuit n'ait pas de défaillance au
cours des 90 000 premières heures.
3)Déterminer à l'heure près, le temps de bon fonctionnement avec
une fiabilité de 0,8.
4)Calculer la probabilité qu'un circuit soit encore en fonctionnement
au bout de 110 000 heures, sachant qu'il était en fonctionnement au
bout de 90 000 heures.
Exercice 6 :
La durée de vie en heures d'un composant électronique est une
variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
On désigne par R sa fonction de fiabilité et par F sa fonction de
défaillance.
1. Donner l'expression de R(t) et celle de F(t), en fonction de λ et de
t.
2. À partir d'observations statistiques, on a pu évaluer que :
R(2000) = 0,8. Déterminer la valeur du paramètre λ, arrondie à
la sixième décimale.
3. On prendra dans cette question λ =0,00011.
a) Donner le temps moyen de bon fonctionnement de ce composant,
arrondi à l'heure.
b) Calculer la probabilité P(T > 3000), arrondie au millième.
4. On admettra dans cette question que les fonctionnements de
deux composants identiques sont indépendants.
On rappelle qu'un montage de deux composants en série fonctionne si
les deux composants fonctionnent simultanément et qu'un montage
de deux composants en parallèle fonctionne si au moins un des deux
composants fonctionne.
a) Quelle est la probabilité qu'un montage de deux composants en
série fonctionne au-delà de 3000 heures? (Arrondir la valeur au
millième.)
b) Même question pour un montage en parallèle.
fiabillité