2009 - Département d`économique

Département d’Economique, Université Laval
Printemps 2009
Microéconomie
Examen de Synthèse
17 juin 2009
Comité :
Yann Bramoullé
Arnaud Dellis
Patrick González
Markus Herrmann
Bruno Larue
Instructions :
1. Cet examen contient trois parties. La première partie comprend quatre
‘vrai ou faux’. Chacune de ces quatre questions vaut 5 points. La seconde
partie contient trois questions longues qui, ensemble, valent 60 points. Fi-
nalement, la troisième partie contient deux questions au choix. Répondez
à une et une seule de ces deux questions. Cette partie compte pour
20 points. Le nombre total de points est égal à 100.
2. Vous avez 240 minutes (quatre heures) pour répondre aux questions.
3. Assurez-vous que votre copie de l’examen comprend 10 pages (cette page
+ les pages numérotées 2 à 10).
4. Aucune note ni documentation n’est permise. Seules les calculatrices nu-
mériques sont autorisées.
5. Donnez une réponse structurée à chacune des questions. Justi…ez vos ré-
ponses (notez bien que la pertinence d’une justi…cation n’a rien à voir avec
sa longueur ...).
Bonne chance !

Partie I : Vrai ou Faux
Pour chacun des énoncés suivants, dites s’il est vrai ou faux et justi…ez votre
réponse. Chacune des questions vaut 5 points.
1. Un consommateur consomme seulement trois biens, indicés par
i= 1;2;3. On dénote le prix du bien ipar piet la quantité de bien ipar
xi. Pendant l’année 2008 notre consommateur a choisi les trois paniers
suivants :
Observation p1p2p3x1x2x3
A10 10 10 10 10 10
B10 1 2 9 25 7:5
C1 1 10 15 5 9
c’est-à-dire qu’aux prix pA
1; pA 2; pA 3= (10;10;10) le consommateur a
choisi le panier xA
1; xA 2; xA 3= (10;10;10), aux prix
pB
1; pB 2; pB 3= (10;1;2) il a choisi le panier xB 1; xB 2; xB 3= (9;25;7:5) et,
…nalement, aux prix pC
1; pC 2; pC 3= (1;1;10) il a choisi le panier
xC
1; xC 2; xC 3= (15;5;9).
Si les préférences de notre consommateur sont strictement convexes et
sont restées inchangées au cours de l’année 2008, alors les choix de notre
consommateur respectent l’axiome fort des préférences révélées.
2. Un consommateur doté des préférences u(x; y) = xy maximise son utilité
en (x; y). Si le ratio des prix px=pycroît de 1 %, il va diminuer le ratio
x=yde 1 %.
3. On considère la loterie suivante. Une pièce de monnaie est lancée en l’air.
Si elle tombe sur pile, l’individu doit payer $10. Si elle tombe sur face, on
lance la pièce une deuxième fois. Si elle tombe sur pile, l’individu doit
payer $15. Si elle tombe sur face, l’individu gagne $40. Si un individu
accepte de jouer à cette loterie, alors notre individu ne peut pas être
averse au risque.
2

4. Un joueur obtient toujours au moins autant selon la valeur de Shapley
qu’il pourrait obtenir en formant une coalition avec un sous-ensemble de
joueurs.
3

Partie II : Questions Longues
A. Théorie des Jeux. [20 points]
On envisage une plage, représentée par l’intervalle [0;1], sur laquelle des
vacanciers sont uniformément répartis. On normalise la masse de vacanciers à
l’unité. La localisation d’un vacancier `sur la plage est représentée par son
abscisse x`2[0;1].
Il y a deux vendeurs de crème glacée, indicés par i= 1;2. Le vendeur 1 est
localisé au point x1sur la plage, tandis que le vendeur 2 est localisé au point
x2. Exception faite de leurs localisations, les deux vendeurs sont identiques en
tous points. En particulier, chaque vendeur vend la même crème glacée au
même prix unitaire p > 0(le prix pest …xé de façon exogène et n’est donc pas
choisi par les vendeurs).
Chaque vacancier achète une (et une seule) crème glacée. De façon à minimiser
ses déplacements, un vacancier achète sa crème glacée auprès du vendeur le
plus proche. Si on dénote par d(x`; xi)la distance séparant le vacancier `du
vendeur i, on a que le vacancier `achète sa crème glacée auprès du vendeur 1
si d(x`; x1)< d (x`; x2)et il achète sa crème glacée auprès du vendeur 2 si
d(x`; x1)> d (x`; x2). Si les deux vendeurs sont localisés au même point,
x1=x2, alors les vacanciers se répartissent équitablement entre les deux
vendeurs.
1. Supposons tout d’abord que x1x2. Déterminez les revenus de chaque
vendeur en fonction de x1et x2.
2. Supposons maintenant que chaque vendeur choisisse sa localisation sur la
plage de façon à maximiser ses revenus. Les vendeurs choisissent leur
localisation simultanément et de façon non-coopérative. Montrez qu’il
existe un équilibre de Nash en stratégies pures où les deux vendeurs
choisissent de se localiser au milieu de la plage, c’est-à-dire
(x
1; x 2) = 1
2;1 2. Montrez qu’il s’agit du seul équilibre de Nash en
stratégies pures.
4

B. Choix en Incertain. [15 points]
Un individu a des préférences vis-à-vis du risque représentées par une fonction
d’utilité de Von Neumann-Morgenstern udé…nie et deux fois di¤érentiable sur
R+. Étant donné un niveau de richesse initiale w0et un risque arbitraire ~x
d’espérance nulle E~x= 0, on dé…nit les deux quantités suivantes : (i) La prime
de risque (w0; u; ~x)est telle que u(w0) = Eu(w0+ ~x); et (ii) la prime de
risque compensée p(w0; u; ~x)est telle que u(w0) = Eu(w0+ ~x+p).
1. Montrez que si l’aversion absolue au risque de uest constante
(c’est-à-dire que uest de la forme u(w) = eAw), alors
p(w0; u; ~x) = (w0; u; ~x)et la prime de risque ne dépend pas du niveau
de richesse initiale.
2. Montrez que si l’aversion absolue au risque de uest décroissante avec le
niveau de richesse (uest DARA), alors p(w0; u; ~x)(w0; u; ~x).
5